如何在大學(xué)工科數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化基礎(chǔ)知識的教學(xué)

付 瑤 宋東哲 趙玉娟

（吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教學(xué)與研究中心，吉林 長春 130012）

眾所周知，在大學(xué)工科眾多課程中，數(shù)學(xué)是一門非常重要的基礎(chǔ)課。一般包含：高等數(shù)學(xué)、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計。一方面，數(shù)學(xué)理論、方法是學(xué)生學(xué)習(xí)后繼課程的基礎(chǔ)；另一方面，在數(shù)學(xué)近兩學(xué)年的教學(xué)中，在傳授知識的同時，逐步培養(yǎng)學(xué)生抽象思維、邏輯推理、創(chuàng)新創(chuàng)造能力也是大學(xué)培養(yǎng)人才的一個重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。

而數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是概念抽象、推理嚴(yán)謹(jǐn)、內(nèi)容銜接緊密、邏輯性強(qiáng)。這也給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來很大困難：前面概念理解不透，后面定理就很難深刻透徹地把握；而基本定理掌握不好，定理的推廣應(yīng)用也就無從談起。

那么，如何強(qiáng)化基礎(chǔ)知識教學(xué)，使學(xué)生深刻理解掌握基本概念、基本定理，進(jìn)而在解題中能融會貫通舉一反三呢？本文從以下幾個方面做了一些嘗試和探討。

一、從四種命題的不同角度，反復(fù)討論同一知識點(diǎn)

大家知道，原命題、逆命題、否命題、逆否命題知識是中學(xué)數(shù)學(xué)邏輯的內(nèi)容。而許多同學(xué)，對四種命題關(guān)系還不夠清晰，或是不能應(yīng)用到大學(xué)數(shù)學(xué)具體問題中去。我們要學(xué)生掌握好基本概念，并不是要求其如何背得滾瓜爛熟，而是能深刻透徹理解、并會應(yīng)用。如數(shù)列{xn}收斂和有界的關(guān)系。原命題是：“如果{xn}收斂，則{xn}一定有界”，則其逆否命題：“如果{xn}無界，則{xn}發(fā)散”一定成立，教師可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)數(shù)列無界去判別它一定發(fā)散。例如一定發(fā)散。同時強(qiáng)調(diào)，該命題的逆命題、否命題并不成立，即“有界未必收斂”、“發(fā)散未必?zé)o界”，例如{（-1）n+1}是有界的，因│（-1）n+1│≤1，而它是發(fā)散的。

又如，在高等數(shù)學(xué)中，數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則是一個重要的知識點(diǎn)。如“和”的運(yùn)算法則是：“如果數(shù)列{xn}收斂于A，數(shù)列{yn}收斂于B，則數(shù)列{xn+yn}一定收斂于A+B ”，這個定理告訴我們的是：“如果兩個數(shù)列都收斂，則相加以后的新數(shù)列仍收斂”。在教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生通過例子分析其逆命題并不成立，即{xn}、{yn}均收斂是{xn+yn}收斂的充分條件，而不是充分必要條件。如數(shù)列{（-1）n+1}、{（-1）n}都是發(fā)散的，但{（-1）n+1+（-1）n}，各項全為0，是收斂的，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生去思考兩個數(shù)列，如果都收斂，則其和一定收斂；如果都發(fā)散，其和也可能收斂；如果一個收斂、一個發(fā)散和的斂散性怎么樣？更深一層，要求學(xué)生能將此結(jié)論引申推廣，比如嘗試討論更復(fù)雜的兩數(shù)列乘積的極限情況，另一方面能舉一反三，能把這部分結(jié)論方法應(yīng)用到其它，如連續(xù)性、可導(dǎo)性、可積性等諸多類似問題中去。

二、將抽象問題形象化、具體化

如在線性代數(shù)課程中，矩陣的秩是一個非常抽象的概念，而定理“矩陣和的秩小于等于矩陣秩的和”，即“R（A+B）≤R（A）+R（B）”的理解和證明也是學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)。一般教材都是在講完向量組的秩后利用矩陣的秩就是其行（或列）向量組的秩，再將A+B的行（或列）用A、B的行（或列）線性表示出來，然后利用向量組秩的結(jié)論才能給出這個定理的證明。所涉及的幾個定理都很抽象，不易理解；而如果利用矩陣行列式秩的概念，即矩陣的秩是其非零子式的最高階數(shù)，再構(gòu)造矩陣則顯然 R（C）=R（A）+R（B），再對 C 進(jìn)行初等變換，將C的后m行依次加到前m行，后n列依次加到前n列上，即因A+B為D的一個子塊，同樣利用較形象的行列式秩定義，則顯然R（A+B）≤R（D）=R（C），這個結(jié)論就容易理解和把握了。

三、引導(dǎo)學(xué)生掌握各概念、定理的實質(zhì),借助圖表等來揭示其中的本質(zhì)聯(lián)系

在多元函數(shù)微分學(xué)中,函數(shù)可微、連續(xù)、可偏導(dǎo)等概念之間的關(guān)系涉及的知識點(diǎn)很多，學(xué)生容易混淆，而借助如下關(guān)系圖：

從上至下是函數(shù)可微、連續(xù)、有極限的關(guān)系，一元函數(shù)、多元性函數(shù)性質(zhì)相同；從左至右是二元函數(shù)和一元函數(shù)的相應(yīng)的關(guān)系。所涉及的十多個結(jié)論就一目了然了。

四、在處理較難的知識點(diǎn)時，注意啟發(fā)學(xué)生抓問題的關(guān)鍵點(diǎn)

如學(xué)生易將一元函數(shù)“可導(dǎo)一定連續(xù)”用到多元函數(shù)，得到“偏導(dǎo)存在一定連續(xù)”。如上圖，這是不成立的，關(guān)鍵在于“偏導(dǎo)”是x或y的一元函數(shù)（平行x軸或y軸特殊方向）的導(dǎo)數(shù)，而“連續(xù)”是多元函數(shù)“全面連續(xù)”，即當(dāng)動點(diǎn) P（x，y）依任何方式趨于定點(diǎn)P0（x0，y0）時，二元函數(shù)f（x，y）的極限都存在并且為f（x0，y0），問題的關(guān)鍵在于“特殊”和“一般”，“偏”和“全”，不能以偏概全！

五、借助典型例題，幫助學(xué)生理解和記憶

在多元函數(shù)微分學(xué)中就是一個很典型的問題，它在O（0，0）處二重根不存在，從而不連續(xù)；但一元函數(shù)f（x，0）、f（0，y）連續(xù)，且fx（0，0）、fy（0，0）都存在，可以用來幫助同學(xué)來理解和記憶一元函數(shù)和多元函數(shù)的關(guān)系，偏導(dǎo)存在函數(shù)不一定連續(xù)等重要結(jié)論。又如二元函數(shù)z=xy的圖形是雙曲面拋物面（鞍形曲面），原點(diǎn)O（0，0）是它的駐點(diǎn)，但非極值點(diǎn)，借助其圖形幫助學(xué)生理解駐點(diǎn)未必為極值點(diǎn)，結(jié)論就直觀、形象容易把握了。

六、將綜合問題分解、通過階梯訓(xùn)練強(qiáng)化基本知識點(diǎn)的教學(xué)

所謂難題，一類是技巧性強(qiáng)，解題思路不好把握；另一類就是綜合性強(qiáng)，一個題涉及好幾個知識點(diǎn)，而每個知識點(diǎn)都是我們強(qiáng)調(diào)的基本問題。對這種問題，我們要引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生深入細(xì)致審題，將所涉及的知識點(diǎn)逐層分解，找到各知識點(diǎn)解決的關(guān)鍵點(diǎn)、整個題目也就迎刃而解了。如下體是非數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽的試題，求極限：

給出題目，要注意引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生該類求n項和極限問題解題思路。

首先看看能否恒等變形，如能，先變形；不容易恒等變形的，試試兩邊夾準(zhǔn)則，將其放大、縮小，看兩端的極限是否相同，本體放縮以后極限不同，所以也不能直接有兩邊夾準(zhǔn)則得出極限；然后考慮能否用定積分定義處理特殊數(shù)列的極限……。而本題就是綜合兩邊夾準(zhǔn)則和定積分定義得出。

本文雖是從六個方面探討了如何在工科數(shù)學(xué)教學(xué)中強(qiáng)化基本概念、基本定理等基礎(chǔ)知識的教學(xué)，將其應(yīng)用在各門課程，并取得了較好的教學(xué)效果。但數(shù)學(xué)課程本身的特點(diǎn)和工科整體教學(xué)要求也決定了在這些方面分作為老師還有很多工作要做，要進(jìn)一步研究探索。工科數(shù)學(xué)，其抽象性、嚴(yán)密性也決定了它是諸多課程中最鍛煉人思維的一問學(xué)科，而如何在教學(xué)中深入淺出、循序漸進(jìn)地傳授基礎(chǔ)知識，同時注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維方式方法的掌握，逐步鍛煉培養(yǎng)學(xué)生分析解決問題的能力也是擺在廣大數(shù)學(xué)教師面前一項永遠(yuǎn)也做不完的課題！