初中幾何證明題教學(xué)淺析

蘇鳳英

[摘 要]幾何是一門邏輯性十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，要想讓學(xué)生熟練地掌握幾何證明題的證明方法，學(xué)好幾何，提高數(shù)學(xué)成績(jī)，首先得讓學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)產(chǎn)生興趣，使學(xué)生牢固掌握幾何定義、性質(zhì)和定理；其次要培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣；第三要讓學(xué)生善于總結(jié)歸納，掌握解題的思路；最后再讓學(xué)生做一定量的練習(xí)題，積累證題經(jīng)驗(yàn)。

[關(guān)鍵詞]幾何證明題；初中幾何；幾何語(yǔ)言

[中圖分類號(hào)] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1674-6058（2018）14-0019-02

初中幾何即平面幾何，它是初中數(shù)學(xué)的重要組成部分。平面幾何是運(yùn)用邏輯推理的方法來研究平面圖形性質(zhì)的一門學(xué)科。按新課標(biāo)的要求：在圖形與證明中，學(xué)生應(yīng)掌握用綜合法證明的格式，體會(huì)證明的過程要步步有理有據(jù)。而初一學(xué)生在小學(xué)里雖然學(xué)過一些幾何知識(shí)，但只要求能看懂圖形，根據(jù)圖形回答問題即可。到了初中，要從實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何過渡，在剛開始學(xué)習(xí)時(shí)很多學(xué)生會(huì)覺得很難，不知從何入手，從而害怕幾何而怕學(xué)數(shù)學(xué)，有的甚至因此而放棄數(shù)學(xué)。作為一線教師，如何才能使學(xué)生喜歡幾何，不怕幾何，掌握好幾何證明題的證明方法呢？筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，可從以下幾個(gè)方面入手。

一、激發(fā)幾何學(xué)習(xí)興趣

興趣是最好的老師，有了興趣任何教學(xué)活動(dòng)都很容易實(shí)現(xiàn)。因此，在正式上幾何證明課之前，教師可先上一節(jié)預(yù)備課，教學(xué)內(nèi)容為幾何的重要性。教師可用多媒體投影介紹幾何的發(fā)展歷程，如從古希臘的測(cè)地術(shù)到當(dāng)今世界到處可見的高樓大廈，讓學(xué)生了解從日常生活到工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)都離不開幾何，到處都是幾何的蹤影，懂得幾何這門學(xué)科既是學(xué)習(xí)其他學(xué)科的工具，更是培養(yǎng)邏輯思維能力，開發(fā)智力的起點(diǎn)，從而激發(fā)學(xué)生的幾何學(xué)習(xí)興趣。

二、入好幾何證明門

幾何證明要使用幾何語(yǔ)言，而幾何語(yǔ)言是學(xué)好幾何的“敲門磚”。有部分學(xué)生對(duì)幾何學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏懼心理，感到幾何難學(xué)，其主要原因是沒有掌握好幾何語(yǔ)言。在幾何中，幾何語(yǔ)言分為文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言，三種語(yǔ)言可以互譯互補(bǔ)。因此，要入好幾何證明門，關(guān)鍵是做好以下兩點(diǎn)。

1.幾何語(yǔ)言表達(dá)要準(zhǔn)確

首先，要使用幾何語(yǔ)言來表達(dá)。這對(duì)于剛學(xué)幾何的學(xué)生來說，是一件很難的事情。因此，教師要教會(huì)學(xué)生幾何語(yǔ)言的使用和表達(dá)方法。在每一節(jié)幾何課里，都要特別強(qiáng)調(diào)注意幾何語(yǔ)言的規(guī)范性，要讓學(xué)生理解并熟練掌握規(guī)范的幾何語(yǔ)言，如：“過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D”“延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，使AC=2AB” “過點(diǎn)A作直線l[?]CD”等，引導(dǎo)學(xué)生逐字逐句地閱讀分析句子的含義，邊讀邊演示邊作圖，把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)換為圖形語(yǔ)言；反復(fù)多次進(jìn)行三種幾何語(yǔ)言的互譯訓(xùn)練，讓學(xué)生理解每一句話，讀懂題意，會(huì)用幾何語(yǔ)言來表達(dá)又會(huì)作出圖形。

其次，幾何語(yǔ)言表達(dá)要準(zhǔn)確。例如，鈍角的定義：“大于直角而小于平角的角叫作鈍角?！边@里的“而”字千萬不能說成“或”字?！耙蛔种睢币馑几鳟?，所以，要注意幾何語(yǔ)言表達(dá)的準(zhǔn)確性。

2.推理過程要有理有據(jù)

幾何證明的推理過程要求每一步都要有理有據(jù)，推理證明的書寫是有格式的，都是從已知條件出發(fā)，根據(jù)已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)定理、定義、公理、性質(zhì)等知識(shí)，順著推理，由“已知”得出“推知”，由“推知”得出“未知”，逐步地推出求證的結(jié)論。這種證題格式就叫作“演繹法”。課本上的例題及定理的證明，多數(shù)都是采用這種格式。它的書寫表達(dá)常用的幾何語(yǔ)言是“因?yàn)椤浴?。在學(xué)生開始學(xué)習(xí)幾何證明時(shí)，教師應(yīng)要求學(xué)生掌握規(guī)范的證明題書寫格式和步驟。為此，筆者常要求學(xué)生寫好證明過程，并在每一步后面的括號(hào)內(nèi)填寫理由，而且強(qiáng)調(diào)推理論證過程要步步有理有據(jù)。

例如，在《平行線的判定》的教學(xué)中，筆者以填空題的形式出示下列證明題讓學(xué)生填寫。

如右圖所示，①因?yàn)椤?=∠3（已知），

所以 AB[?]CD（ ）；

②因?yàn)椤?=∠4（已知），

所以AB[?]CD （ ）。

然后再改變填空的形式：

③因?yàn)?（已知），

所以AB[?]CD（ 同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直

線平行）。

通過不同形式、反復(fù)地填寫，讓學(xué)生掌握平行線判定的表達(dá)格式，體會(huì)圖形與題目存在的依存關(guān)系。

最后，讓學(xué)生在會(huì)填寫理由的基礎(chǔ)上模仿例題書寫格式自己編制證明題，并逐步由簡(jiǎn)到難，由淺入深，讓學(xué)生慢慢體會(huì)到做幾何證明題其實(shí)不難，從而提高對(duì)幾何證明題的學(xué)習(xí)信心。

三、厘清證明思路

“幾何證明難”其實(shí)就是難在證明思路上。對(duì)于眾多的幾何證明題，都是有證明方法和思路的，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)探索證題的方法和技巧，使學(xué)生一看到求證結(jié)論就想到要采用的證題思路，提高解題的速度和效率。那么，怎樣引導(dǎo)學(xué)生厘清證明思路呢？

一要認(rèn)真審，即認(rèn)真讀題，要逐字逐句地讀題，邊讀題邊看圖邊思考：題目給的條件有什么用？要使結(jié)論成立需從什么地方入手去尋找條件？

二要用心記，即標(biāo)記和牢記。標(biāo)記就是在所給的圖形中標(biāo)記每一個(gè)已知條件。如給出“對(duì)邊相等”，就要用符號(hào)“、”在相等的邊上做標(biāo)記。牢記即記住題目給的條件，做到不看題，都可以把題目復(fù)述出來。

三要分析證題思路。思路一般有三種：

（1）正向思維。對(duì)于一般簡(jiǎn)單的題目，通常用正向思維，由已知條件出發(fā)推出要證明的結(jié)論。

（2）逆向思維。即從相反的方向去思考問題。也就是從題目要證明的結(jié)論出發(fā)往回找。

（3）正逆結(jié)合。即正向思維和逆向思維相結(jié)合進(jìn)行應(yīng)用。

四要熟記證題依據(jù)。即看到證明結(jié)論就想到可能要采用的方法。例如：

（1）“證明兩線段相等”就要想到可能采用“等腰三角形底邊的高和頂角平分線都平分底邊”“同一個(gè)三角形等角對(duì)等邊”“兩全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等”“直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等”“平行四邊形的對(duì)邊相等”“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”“同圓（或等圓）中相等的弧所對(duì)的弦相等”“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等”“同圓（或等圓）中相等的圓心角或圓周角所對(duì)的弦相等”“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”“兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等”“從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，那么兩切線長(zhǎng)相等”“垂直于弦的直徑平分這條弦”等。

（2）“證明兩個(gè)角相等”要想到可能采用“同一個(gè)三角形中等邊對(duì)等角”“等腰三角形中，底邊上的高和底邊上的中線平分頂角”“兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等”“兩條直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等”“平行四邊形的對(duì)角相等”“同弧（或等?。┧鶎?duì)的圓周角相等”“同圓（或圓）中，相等的弦（或?。┧鶎?duì)的圓心角相等”“弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角”“同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等”“從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分這兩條切線的夾角”“圓的內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)對(duì)角”“相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等”等。

（3）“證明兩條直線互相垂直”就想到可能采用“等腰三角形的頂角平分線和底邊的中線都與底邊的高重合，即垂直于底邊”“在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角”“三角形中一邊的中線如果等于這邊的一半，則這一邊所對(duì)的角是直角”“一條直線垂直于平行線中的其中一條，則必垂直于另一條”“鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直”“兩條直線相交成直角，則兩條直線垂直”“到一條線段兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上”“菱形的對(duì)角線互相垂直”“直徑所對(duì)的圓周角是直角”“ 平分弦（或弧）的直徑垂直于弦”等。

（4）“證明兩條直線平行”就要想到可能采用“如果內(nèi)錯(cuò)角或同位角相等，那么兩直線平行”“如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么兩直線平行”“如果是梯形的中位線，那么它平行于兩底”“如果是平行四邊形，那么它的對(duì)邊平行”“如果兩條直線都垂直于同一直線，那么這兩條直線也互相平行”“如果是三角形的中位線，那么它平行于第三邊”“如果一條直線截三角形的兩邊（或延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于第三邊”“如果兩條直線都平行于同一直線，那么這兩條直線平行”等。

（5）“證明線段的和差倍分”就要想到可能采用“在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明剩下的部分等于第二條線段”“作兩條線段的和，證明它與第三條線段相等”“取長(zhǎng)線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段”“延長(zhǎng)短線段為其二倍，再證明它與較長(zhǎng)的線段相等”等。

（6）“證明角的和差倍分”就要想到可能采用“與證明線段的和差倍分思路相同”“三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和”“利用角平分線的定義”等。

（7）“證明線段不等”就要想到可能采用“垂線段最短”“在同一個(gè)三角形中，大角對(duì)大邊”“三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊”“在兩個(gè)三角形中，有兩邊分別相等而夾角不等，那么夾角大的所對(duì)的邊就大”“全量大于它的任何一部分”“同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小”等。

（8）“證明兩角不等”就要想到可能采用“在同一個(gè)三角形中，大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角”“三角形的外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角”“全量大于它的任何一部分”“同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大”等。

（9）“證明比例式或等積式”就要想到可能采用“平行線截線段成比例”“相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例”“與圓有關(guān)的比例定理——相交弦定理、切割線定理及其推論”“直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理”“比例式化為等積式”等。

（10）“證明四點(diǎn)共圓”就要想到可能采用“到同一個(gè)定點(diǎn)的距離都相等的各點(diǎn)在同一個(gè)圓上”“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上”“同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上”“外角等于它的內(nèi)對(duì)角的四邊形內(nèi)接于圓”等。

總之，幾何是一門邏輯性十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，為了讓學(xué)生熟練掌握幾何證明題的證明方法，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，熟悉掌握解題的常見思路。最后再輔以一定量的練習(xí)題讓學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練，幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn)，從而有效解決幾何證明題。

（責(zé)任編輯 黃春香）