把握數(shù)學(xué)本質(zhì)的高三復(fù)習(xí)課堂

周先華　原坤

新課標(biāo)提出：要把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué).下面以多面體的外接球相關(guān)計(jì)算問題為例說明把握球的本質(zhì)來解題的過程并歸納、總結(jié)其解題的一般規(guī)律.

一、柱體的外接球問題

【例1】 （2017年全國II卷）長方體的長、寬和高分別為[3，2，1]，其頂點(diǎn)都在球[O]的球面上，則球O的表面積為 .

解析：定義法.長方體的對(duì)角線的交點(diǎn)[O] 為其外接球的球心.令其半徑為[R]，所以[2R=32+22+12=14，S=4πR2=14π].

[點(diǎn)評(píng)]

（1）長方體的對(duì)角線交點(diǎn)就是其外接球球心.長、寬、高分別為[a、b、c]的長方體的外接球的半徑為[R=a2+b2+c22].

（2）同理，棱長為[a]的正方體的外接球半徑為[R=32a].

（3）長方體的上、下底面中心連線交點(diǎn)即為其外接球球心.

（4）一切直棱柱的外接球球心為上、下底面外接圓圓心連線之交點(diǎn).

（5）若圓柱的上、下底面圓在同一個(gè)球面上，則此球的球心為其上、下底面圓心邊線之交點(diǎn).

二、圓錐與特殊的棱錐的外接球

【例2】 求棱長為[a]的正四面體的外接球的半徑.

【解法一】定義法（利用球體的定義找球心）

如圖1，設(shè)E為底面[△ADC]的中心，則外接球球心[O]必在直線BE上，令外接球半徑為[R]，在[RT△ODE]中，[R2=（63a-R）2+（33a）2]，得[R=64a].

【解法二】構(gòu)造法（或補(bǔ)形法）

如圖2，在正方體中取其四個(gè)頂點(diǎn)，此正四面體的外接球即為正方體的外接球.其外接球半徑為[R=32×22a=64a].

[點(diǎn)評(píng)]

（1）解法一是利用球的定義尋找其球心，是抓住了數(shù)學(xué)本質(zhì)的方法.

（2）利用球的定義，類比上述方法可求圓錐的外接球（即其底面圓和頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上）的半徑.

如圖3，圓錐PS的高為[h]，底面半徑為[r].令其外接球半徑為[R]，則[R2=r2+（h-R）2]，得[R=r2+h22h].

（3）其他一切棱錐的外接球問題均可以用解法一.

（4）解法二是一種技巧性方法，把正四面體放入正方體中，則正四面體與正方體的外接球重合，化難為易.

（5）可以構(gòu)造成長方體的常見模型有：

①從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐構(gòu)造如圖4所示長方體.如圖4.[PA，PB，PC]兩兩互相垂直，則三棱錐的外接球與長方體的外接球重合.

②三組對(duì)棱對(duì)應(yīng)相等的三棱錐.如圖5左圖，PA=BC，PB=AC，PC=AB.將它放入右圖長方體中，則此三棱錐的外接球與長方體的外接球重合.

③四個(gè)面都是直角三角形，但沒有從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直的三棱錐.如圖6左圖，[PB⊥]面[ABC]，[AC⊥BC].將其放在右圖的長方體中，其外接球與長方體的外接球重合.

三、特殊多面體的外接球

【例3】 在四面體中[S-ABC]，[AB⊥BC，AB=BC=2，SA=SC=2]，二面角[S-AC-B]的余弦值是[-33]，則該四面體外接球的表面積是 .

解析：定義法.

如圖7，取AC中點(diǎn)D，連接BD，SD，則[∠SDB]為二面角S-AC-B的平面角，取SB的中點(diǎn)[O]，則點(diǎn)[O]即為此四面體的外接球的球心，則半徑為[R=12SB=62]，所以其表面積為[S=4πR2=6π].

[點(diǎn)評(píng)]本題利用定義尋找到其外接球的球心，抓住了其概念的本質(zhì).

四、一般多面體的外接球

【例4】 已知三棱錐[P-ABC]中，側(cè)面[PAC⊥]底面[ABC]，[∠BAC=90°， AB=AC=4， PA=10， PC=2]，則三棱錐[P-ABC]外接球的表面積為 .

解析：

【解法一】定義法（把與底面垂直之側(cè)棱BA豎直放置）

如圖8，令平面PAC的外心為G，作直線[OG⊥平面PAC]， 取線段AB的中點(diǎn)D，取[GO=AD]，則點(diǎn)O為三棱錐的外接球的球心.令外接球的半徑為[R]，可求得[R2=9]，其表面積為[S=36π].

【解法二】定義法（圖形任意放置）

如圖9，取BC中點(diǎn)G，過點(diǎn)G作[OG⊥平面ABC]，設(shè)三角形PAC之外心為D，取AC的中點(diǎn)H，連接DH，取[OG=DH]，則點(diǎn)O為三棱錐P-ABC的外接球的球心.下同解法一求解.

[點(diǎn)評(píng)]

（1）這兩種方法均為直接利用定義先找外接球的球心，體現(xiàn)了對(duì)球的概念本質(zhì)把握.

（2）兩種解法中均利用了結(jié)論：過三角形的外心且與該三角形所在平面垂直的直線上任意一點(diǎn)到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)等距.

（3）利用上述結(jié)論，可以按下面的步驟確定三棱錐的外接球的球心，如圖10，E、F分別為[△PAC，△ABC]的外心，取AC中點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M.作[OF⊥平面ABC]，[EO⊥ME]，交直線FO于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為三棱錐的外接球的球心.

（4）針對(duì)有一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，可以利用方法一的解題步驟確定其外接球的球心并求其半徑.

如圖11，若三棱錐P-ABC 中，[PA⊥平面ABC].

第一步，過底面三角形ABC的外接圓圓心G作直線[OG⊥平面ABC]；

第二步，取PA的中點(diǎn)D，取[OG=DA]，則點(diǎn)O為三棱錐的外接球球心；

第三步，在[RT△OAG]中求外接球半徑[R=OA=GA2+OG2].

縱觀近年高考試題中的外接球問題，無一不是以上4個(gè)例題中所體現(xiàn)的四種類型，下面略舉幾例.

1.（2017年新課標(biāo)3文理）如圖12，已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（ ）.

A.[π] B.[3π4] C.[π2] D.[π4]

解析：[r2=1-14=34]，則其體積為[V=πr2h=3π4].故選B.

[點(diǎn)評(píng)]與例1同類型.圓柱的外接球球心為上下底面圓的圓心連線之中點(diǎn).

2.（2017年全國新課標(biāo)I）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為________.

解析：由于SC是三棱錐S-ABC的外接球O的直徑， 設(shè)SC之中點(diǎn)為點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為球心[O].設(shè)[OA=r]，則[VA-SBC=13×S△SBC×OA=13×12×2r×r×r=13r3]，[13r3=9?r=3]，所以球的表面積為[4πr2=36π].

[點(diǎn)評(píng)]與例3同類型.直接利用定義法找球心.

3.（2014年大綱版理科）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為（ ）.

A.[81π4] B.[16π] C.[9π] D.[27π4]

解析：

如圖13，由正四棱錐的對(duì)稱性，其外接球球心必在高PG上，令球心為O，球半徑為[R]，則有[R2=（4-R）2+2，R=94，]則其表面積為[S=4πR2=81π4].選A.

[點(diǎn)評(píng)]與例2同類型.正四棱錐的外接球球心必在其高上.利用勾股定理列方程求其半徑.

4.（2017年成都市高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測(cè)題）如圖14，某三棱錐的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖分別是直角三角形、等腰三角形和等邊三角形.若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）.

A. [27π] B. [48π] C. [64π] D. [81π]

解析：定義法.如圖15，此三棱錐側(cè)棱PA與底面垂直，底面是邊長為6的正三角形.與類型4同法，可得外接球半徑為[R=OA=4]，表面積為[S=4πR2=64π].選C.

[點(diǎn)評(píng)]與例4同類型.由球的定義找球心后再計(jì)算其半徑.

只有追求數(shù)學(xué)本質(zhì)的高三復(fù)習(xí)課堂才會(huì)是真正的高效課堂.我們要和學(xué)生一起，更加深入地學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系、數(shù)學(xué)規(guī)律的形成過程、數(shù)學(xué)思想方法的提煉和數(shù)學(xué)理性精神的體驗(yàn).這樣才能在高三復(fù)習(xí)課堂中高屋建瓴，確保對(duì)學(xué)生的指導(dǎo)方法恰當(dāng)，條理清晰，課堂效益達(dá)到最大化.

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）