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    分類討論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

    2018-08-23 09:12:58單蘭花
    教師博覽 2018年8期
    關(guān)鍵詞:等腰三角切線例題

    單蘭花

    (蘇州工業(yè)園區(qū)第十中學(xué),江蘇蘇州 215021)

    分類思想主要是將研究對(duì)象合理分類,并進(jìn)行相應(yīng)的分析討論,再歸納得出結(jié)果。分類討論是深入研究問題較常用的手段,需要人們?cè)趯?shí)踐中了解、掌握解答問題的思路和技巧。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,分類討論方法的運(yùn)用范圍相對(duì)廣泛,如有理數(shù)、不等式、絕對(duì)值、圓的位置關(guān)系、等腰三角形、圖形位置關(guān)系、含字母的方程等。本文主要對(duì)分類討論思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行分析。

    一、分類討論在坐標(biāo)與圖形中的應(yīng)用

    分類討論思想在坐標(biāo)和圖形中的應(yīng)用較多,教學(xué)的重點(diǎn)通常集中于坐標(biāo)系中各種圖形的變化方式,并將坐標(biāo)與三角形、雙曲線、矩形以及拋物線等結(jié)合。同時(shí),將分類討論的方法應(yīng)用于坐標(biāo)圖中,有助于題目靈活變換,并能有效培養(yǎng)學(xué)生的想象力。

    例1:在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為,點(diǎn)M為坐標(biāo)軸上的點(diǎn),并且△MOA是等腰三角形,則滿足相應(yīng)條件的點(diǎn)M有多少個(gè)?

    本例題主要考查等腰三角形的判定、圖形性質(zhì)、坐標(biāo)、分類討論以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)知識(shí)。分別以O(shè)、A為圓心,以O(shè)A長(zhǎng)為半徑作圓,與坐標(biāo)軸交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M,再作線段OA的垂直平分線,與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)也是所求的點(diǎn)M,作出圖形。采用圖形分析,得出結(jié)論為6個(gè)。見圖1。

    圖1

    例2:如圖2,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),矩形OABC的A、C坐標(biāo)分別為(10,0)、(0,4),OA的中點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)P在BC上可移動(dòng),當(dāng)△ODP為腰長(zhǎng)為5的等腰三角形時(shí),點(diǎn)P應(yīng)該在哪個(gè)位置?

    圖2

    本例題主要考查坐標(biāo)與等腰三角形的性質(zhì)、圖形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí),并且需要應(yīng)用到分類討論來對(duì)題目問題進(jìn)行解答。點(diǎn)P屬于不確定點(diǎn),應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)分三種情況來討論,再采用勾股定理便可解出P點(diǎn)的坐標(biāo)?!鱋DP的腰長(zhǎng)為5,可有3種情況:當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)的左邊時(shí),若PD=OD=5,得出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4);若OP=OD=5,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,4);當(dāng)P點(diǎn)在D點(diǎn)的右側(cè)時(shí),PD=OD=5,P點(diǎn)的坐標(biāo)為(8,4)。

    二、分類討論在等腰三角形中的應(yīng)用

    涉及等腰三角形的問題經(jīng)常需要分類討論,并且中考出現(xiàn)的概率相對(duì)較高。該類型題目通常會(huì)出現(xiàn)三角形腰長(zhǎng)與其底邊長(zhǎng)的比較,或頂角與底角的比較等。相對(duì)復(fù)雜的等腰三角形問題,主要結(jié)合圓形或者坐標(biāo)等知識(shí)來綜合考查。而由于綜合題目具有一定的難度,學(xué)生需要掌握等腰三角形的性質(zhì)以及核心內(nèi)容。

    例3:已知(a-1)2+∣b-2∣=0,a、b為等腰三角形的邊長(zhǎng),此等腰三角形的周長(zhǎng)應(yīng)為多少?

    本例題主要考查偶次方、絕對(duì)值以及三角形的性質(zhì),難點(diǎn)在于解題的思路。應(yīng)用分類討論來分析問題的結(jié)果,并且進(jìn)行相應(yīng)的說明,更有助于學(xué)生理解。首先根據(jù)平方、絕對(duì)值可計(jì)算出a、b,即a=1,b=2,再根據(jù)三角形三條邊之間的聯(lián)系,即兩邊之和大于第三條邊,兩邊之差小于第三條邊,即得出此等腰三角形的腰為2,底為1,周長(zhǎng)為5。

    例4:已知等腰三角形的一個(gè)角為80°,求此等腰三角形的頂角度數(shù)。

    本例題主要對(duì)等腰三角形的底角度數(shù)相等、三角形的基本性質(zhì)等進(jìn)行考查,運(yùn)用定理:三角形內(nèi)角和等于180°,即可解答問題。此等腰三角形的頂角可直接為80°。當(dāng)三角形的底角為80°時(shí),其頂角應(yīng)為180°-80°×2=20°。由此可知,此等腰三角形的頂角可為80°,也可為20°。

    三、分類討論在動(dòng)點(diǎn)型題目中的應(yīng)用

    動(dòng)點(diǎn)型分類討論題是中考題中常出現(xiàn)的壓軸題,同時(shí)也是難度相對(duì)較大的題目。想要解決此類大題,學(xué)生需要了解數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),并熟悉、掌握、運(yùn)用坐標(biāo)、三角形、圓形以及運(yùn)動(dòng)理論等相關(guān)知識(shí)。同時(shí),還需先尋找出問題的關(guān)鍵詞,掌握題目的變化量以及運(yùn)動(dòng)要素,以便更好地解決問題。

    例5:射線QN和△ABC的兩條邊AB、BC相交于M、N,并且AC//QN,AM=MB=2cm,且QM=4cm。動(dòng)點(diǎn)P從Q點(diǎn)出發(fā),沿著射線QN以1cm/s的速度向右邊移動(dòng),t秒之后,以點(diǎn)P為圓心,以 3cm為半徑的圓形與△ABC相切,兩圖形的切點(diǎn)在其邊上,求出t可選擇的一切值。

    應(yīng)該結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)來對(duì)題目進(jìn)行解答。題目中已知△ABC為等腰三角形,并且AM=MB=2cm,點(diǎn)P從Q點(diǎn)出發(fā),沿著射線QN以1cm/s的速度向右邊移動(dòng),會(huì)出現(xiàn)3種切線情況。利用切線的性質(zhì)、直角三角形的勾股定理、等邊三角形基礎(chǔ)知識(shí),以及速度、時(shí)間、路程之間的關(guān)系進(jìn)行解題,即可得出t=2,t=3和t=7,t=8;隨后,對(duì)其進(jìn)行分類討論分析,便可得出答案為t=2或7≥t≥3或t=8。

    本例題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及切線的性質(zhì)等知識(shí)。在解答題目的過程中,需要注意對(duì)題目進(jìn)行分類討論和分析,并對(duì)得出的結(jié)果進(jìn)行總結(jié)和歸納,且在計(jì)算出結(jié)果之后,需要再一次對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證,以保證答案的準(zhǔn)確性。

    四、分類討論在圖形拼接中的應(yīng)用

    在對(duì)幾何圖形進(jìn)行拼接的過程中,需要合理應(yīng)用分類討論方法,必須注意拼接的合理性,即需要從問題的角度以及已知的長(zhǎng)度方面來進(jìn)行配合,不能夠任意拼接;同時(shí),需要仔細(xì)觀察拼接后得出的圖形,然后對(duì)拼接前的切線進(jìn)行合理的規(guī)劃。

    例6:一張含一個(gè)30°角,并且最小邊長(zhǎng)為2的直角三角形紙,沿著圖片中的中位線剪開后,再將兩個(gè)小紙片拼接為一個(gè)平行四邊形,拼接得出的平行四邊形周長(zhǎng)為多少?

    運(yùn)用三角函數(shù)可得出BC=4,AC=23,再通過中位線的性質(zhì)得出AD=CD=3,BF=CF=2,DF=1,隨后再進(jìn)行拼圖,可得出圖3顯示的結(jié)果,即一個(gè)可拼接成矩形,一個(gè)可拼接成平行四邊形,隨后即可計(jì)算出拼接圖形的周長(zhǎng),其周長(zhǎng)為8或4+23。

    圖3

    本例題主要考查圖形的拼接,其解答的關(guān)鍵就是根據(jù)題目要求來畫出需要的圖形,然后再對(duì)題目進(jìn)行全面的考慮。對(duì)題目進(jìn)行分類討論的同時(shí),合理采用數(shù)形結(jié)合的方法,有助于快速而正確地對(duì)題目進(jìn)行全面的總結(jié)和歸納,從而有利于快速得出正確的計(jì)算結(jié)果。

    總之,分類討論思想在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中使用的頻率相對(duì)較高,在解答問題時(shí),需要深入理解,掌握問題的本質(zhì),并對(duì)解題的思想和方法進(jìn)行相應(yīng)的研究,從而才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的不同點(diǎn)和相同點(diǎn),也才能對(duì)數(shù)學(xué)題目進(jìn)行分類研究。注意,在分析的過程中,需要做到不重復(fù)、不遺漏,對(duì)于問題要學(xué)會(huì)進(jìn)行合理、科學(xué)的分析,然后將計(jì)算得出的結(jié)果進(jìn)行分類總結(jié),并對(duì)得出的答案進(jìn)行驗(yàn)證。

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