巧用模擬題梳理導(dǎo)數(shù)解題方法

王曼鈴

摘 要 在高考之中導(dǎo)數(shù)是相當(dāng)重要的考點(diǎn)內(nèi)容，同時(shí)其也是學(xué)生學(xué)習(xí)更加高深數(shù)學(xué)知識(shí)的重要基礎(chǔ)。但是學(xué)生掌握起來卻存在一定的困難，因此解題時(shí)也很難確保正確率。模擬題是重要的學(xué)習(xí)資源。在文中就如何通過模擬題來梳理導(dǎo)數(shù)解題方法進(jìn)行探討。

關(guān)鍵詞 導(dǎo)數(shù)；模擬題；解題方法

中圖分類號(hào)：D045 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）06-0002-02

在高考試卷中，導(dǎo)數(shù)題始終是當(dāng)之無愧的殺手锏。首先是因?yàn)槠浔旧淼膬?nèi)容繁雜，學(xué)生不易抓住知識(shí)的主線和重點(diǎn)；其次，試題形式變幻莫測(cè)，考察方式靈活，十分考驗(yàn)學(xué)生高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)功底。因此，導(dǎo)數(shù)題一直是學(xué)生解題最困難的地方。

但是，導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)并非無跡可尋，筆者認(rèn)為教師在教學(xué)中可以根據(jù)試題的類型和難度，將常規(guī)題目進(jìn)行分類，進(jìn)而針對(duì)每一類別分析常規(guī)策略，幫助學(xué)生提高導(dǎo)數(shù)的解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心；同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的能力，進(jìn)而更好地應(yīng)對(duì)高考。

下面是2018年東北三省三校第二次模擬考試的第12題，考察的是利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)范圍的問題。由于學(xué)生對(duì)于函數(shù)及方程等概念理解不透徹，導(dǎo)致對(duì)此題目望而卻步。然而，此題型其實(shí)屬于導(dǎo)數(shù)的常規(guī)問題，下面筆者將以此題目為載體，示范解決參數(shù)范圍問題的三種常規(guī)方法，以便學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，快速解決問題。

題目：已知當(dāng) 時(shí)：關(guān)于 的方程 有唯一實(shí)數(shù)解，則 值所在的范圍是（ ）

A. B. C. D.

視角1：分離參數(shù)法

解法1：將 整理

得 ，

由于 ，所以 故 。令 ，則 ，

，

由于 ，故 恒成立， 在定義域內(nèi)單調(diào)遞增。由 ， 。

所以 。①

且當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。所以，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增。因此， 是 的最小值點(diǎn)。所以， 由①知， ，

。所以， 的范圍為 。

評(píng)注：此方法的關(guān)鍵是在分離參數(shù)之后，利用導(dǎo)數(shù)思想來找出 的最小值，難點(diǎn)在于 的最小值不是可以求出的確定數(shù)，需要通過零點(diǎn)存在性定理來判斷最小值點(diǎn) 的范圍，這是解決綜合性題目的一種重要手段。

視角2：直接求導(dǎo)法

解法2：將 整理得

，即 。

問題轉(zhuǎn)化為 在 時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)。 ，當(dāng) 時(shí)， 。且當(dāng) 時(shí)， ；且當(dāng) 時(shí)， 。

當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增， ，所以無零點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減； 當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增。所以， 由于 在 時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以 。

設(shè) ，

則 ， 單調(diào)遞增。 ， 的范圍為 。

評(píng)注：學(xué)生需要具備利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性的能力，由于此題自變量 的限制，解題中要將極值點(diǎn) 與1的大小進(jìn)行比較，來確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性。關(guān)于 范圍的討論是本題的關(guān)鍵點(diǎn)，需要學(xué)生重視和練習(xí)。

視角3：圖象觀察法

解法3：原式可整理為

設(shè) 。則當(dāng) 時(shí)， 有唯一實(shí)數(shù)解等價(jià)于 圖象只有一個(gè)交點(diǎn)。 得 ，且當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， 。所以 為極小值，也是最小值。 。當(dāng) 時(shí)，由洛必達(dá)法則， ；當(dāng) 時(shí)， 。所以， 的圖象如圖所示：

過定點(diǎn) ，則依題意可知直線與曲線相切。設(shè)切點(diǎn)為 ， ，過點(diǎn) 的切線方程為

，將 代入化簡(jiǎn)得 。令 ，

則

由于 ，所以 恒成立。因此， 在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。由于 ， 。所以 。

， 。

評(píng)注：圖象法是解決函數(shù)問題最直觀的方法。此題我們可以將原方程分離成兩個(gè)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)換成求兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題。此方法的難點(diǎn)在于曲線相切位置的確定，充分考查了學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解。同時(shí)，可以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力。

通過對(duì)一道導(dǎo)數(shù)選擇題的思考，既總結(jié)了解決導(dǎo)數(shù)問題的一般方法，也讓學(xué)生們體會(huì)了多種高中數(shù)學(xué)解題所需的技巧與策略，復(fù)習(xí)了多個(gè)與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，并通過方法的綜合使用達(dá)到了溫故知新的效果。高三數(shù)學(xué)習(xí)題課任務(wù)量很大，對(duì)題目進(jìn)行深入探究與方法總結(jié)方能讓習(xí)題課生動(dòng)并且高效。