基于去冗余的MIMO雷達(dá)多維角度分階段估計(jì)

陳 麗 劉慶華

(桂林電子科技大學(xué)無線寬帶通信與信號(hào)處理省部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣西桂林 541004)

1 引言

MIMO雷達(dá)是一種比較新的雷達(dá)概念,具有諸多優(yōu)點(diǎn)和廣泛應(yīng)用領(lǐng)域,其潛在優(yōu)勢近年來已引起了人們的廣泛關(guān)注[1-3]。

目前,針對(duì)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中目標(biāo)收發(fā)角度的估計(jì)方法大多數(shù)都是在高斯白噪聲假設(shè)條件下實(shí)現(xiàn),但高斯白噪聲假設(shè)下的收發(fā)角度估計(jì)算法在實(shí)際環(huán)境中性能將急劇下降[4],又因雙基地MIMO雷達(dá)同時(shí)估計(jì)離開角(DOD, direction of department)和到達(dá)角[5](DOA, direction of arrival),需要考慮參數(shù)的配對(duì)問題,且這些算法研究一般都是在均勻線陣中進(jìn)行,僅能估計(jì)目標(biāo)的二維角度,難以達(dá)到精確定位的目的。對(duì)此,文獻(xiàn)[6]使用基于累積量的稀疏表示方法,得到色噪聲背景中目標(biāo)的角度信息,但其僅在單基地MIMO雷達(dá)中進(jìn)行,只能估計(jì)出一維信息。文獻(xiàn)[7]在色噪聲環(huán)境中應(yīng)用傳統(tǒng)MUSIC估計(jì)DOA、DOD,但是其在均勻線性陣列結(jié)構(gòu)中完成,僅得到目標(biāo)的二維角度信息。文獻(xiàn)[8]通過兩次使用ESPRIT算法,達(dá)到估計(jì)參數(shù)自動(dòng)配對(duì)的目的,但是是在高斯白噪聲條件下實(shí)現(xiàn)的。文獻(xiàn)[9]通過酉雙分辨ESPRIT方法求得DOA、DOD估計(jì)值,同時(shí)參數(shù)能實(shí)現(xiàn)自動(dòng)配對(duì)。對(duì)于實(shí)際應(yīng)用,L型的陣列結(jié)構(gòu)可得到目標(biāo)的多維角度信息,達(dá)到更精確的目標(biāo)定位目的。文獻(xiàn)[10]根據(jù)傳播算子的旋轉(zhuǎn)不變性,估計(jì)二維離開角和二維到達(dá)角,參數(shù)無需額外配對(duì),但是低信噪比時(shí)性能較差。文獻(xiàn)[11]在L型陣列結(jié)構(gòu)的雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中兩次使用ESPRIT,可得目標(biāo)的四維角度信息,參數(shù)能自動(dòng)配對(duì),算法性能相對(duì)較好。文獻(xiàn)[6]、[7]所提算法均能在色噪聲背景條件下實(shí)現(xiàn)目標(biāo)角度估計(jì),但由于算法分別是在單基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)和均勻線性陣列結(jié)構(gòu)的雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn),僅能得到目標(biāo)的一維、二維角度信息,針對(duì)這問題,本文應(yīng)用L型陣列結(jié)構(gòu)的雙基地MIMO雷達(dá)作為算法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng),提出基于四階累積量的算法,以實(shí)現(xiàn)色噪聲背景條件下目標(biāo)的四維角度估計(jì),同時(shí),針對(duì)本文所用系統(tǒng)及估計(jì)方法,提出了分段部分去冗余的方法,改善了算法復(fù)雜度。文獻(xiàn)[8-9]所提算法均實(shí)現(xiàn)了參數(shù)的自動(dòng)配對(duì),但都是在均勻線性陣列結(jié)構(gòu)的雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn),且算法是在白噪聲背景條件下進(jìn)行研究,無法實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的多維角度信息估計(jì),同時(shí)在色噪聲背景條件下,算法性能將急劇下降。本文首先利用ESPRIT算法估計(jì)二維DOA,然后利用MUSIC算法估計(jì)二維DOD,可實(shí)現(xiàn)二維DOA、二維DOD各自的內(nèi)部參數(shù)自動(dòng)配對(duì),又因DOD的求解依賴于DOA,所以DOA、DOD之間也可實(shí)現(xiàn)配對(duì),從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)四維角度估計(jì)以及估計(jì)參數(shù)的自動(dòng)配對(duì),與此同時(shí),本文算法在色噪聲環(huán)境下實(shí)現(xiàn)。文獻(xiàn)[10-11]所提算法估計(jì)了目標(biāo)的四維角度,但是僅研究高斯白噪聲的情況,并且收發(fā)角度的估計(jì)性能不相關(guān)。本文利用基于四階累積量的分步估計(jì)方法,實(shí)現(xiàn)色噪聲背景條件下目標(biāo)的四維角度聯(lián)合估計(jì)。

本文為在色噪聲背景中獲得MIMO雷達(dá)目標(biāo)的多維角度信息及降低計(jì)算復(fù)雜度,利用四階累積量對(duì)色噪聲的不敏感性及其結(jié)構(gòu)特點(diǎn),提出基于去冗余的FOC-ESPRIT-MUSIC多維角度分階段估計(jì)算法。針對(duì)所提算法,首先,由接收陣列導(dǎo)向矢量估計(jì)值通過交換矩陣得到發(fā)射陣列導(dǎo)向矢量,利用該發(fā)射陣列導(dǎo)向矢量重構(gòu)DOD估計(jì)對(duì)應(yīng)的重構(gòu)信號(hào),然后,對(duì)MIMO雷達(dá)的接收數(shù)據(jù)和重構(gòu)信號(hào)構(gòu)造四階累積量矩陣,并使用分段部分去冗余的方法對(duì)累積量矩陣進(jìn)行處理。最后,為避免四維譜峰搜索,分別利用FOC-ESPRIT、FOC-MUSIC算法求解目標(biāo)的二維DOA、DOD。對(duì)于DOA估計(jì),使用FOC-ESPRIT算法實(shí)現(xiàn),首先通過特征分解方法求解相應(yīng)信號(hào)子空間,再根據(jù)信號(hào)子空間的旋轉(zhuǎn)不變性,估計(jì)出DOA方位角和仰角；對(duì)于DOD估計(jì),使用FOC-MUSIC算法實(shí)現(xiàn),首先通過特征值分解方法求解相應(yīng)噪聲子空間,再寫出相應(yīng)譜函數(shù),最后將DOA方位角和仰角的估計(jì)值帶入其中,并通過二維譜峰搜索估計(jì)出DOD方位角和仰角。理論分析表明,所提算法實(shí)現(xiàn)了目標(biāo)的四維角度聯(lián)合估計(jì),有效抑制高斯噪聲影響,免除高維譜峰搜索,又因SEG_INC_RR方法的使用,再次改善了算法復(fù)雜度。

2 信號(hào)模型

考慮雙基地MIMO雷達(dá)系統(tǒng)內(nèi)使用L型陣列結(jié)構(gòu)。假設(shè)發(fā)射端的L型陣列在x軸和y軸上均有M個(gè)陣元,接收端的L型陣列在x軸和y軸上均有N個(gè)陣元,并且陣元間隔均為d=λ/ 2。發(fā)射端發(fā)射正交脈沖信號(hào)S=[s1,s2,...,s2M-1]T(S∈C(2M-1)×Ls),快拍數(shù)為Ls,假設(shè)有K個(gè)不相關(guān)點(diǎn)目標(biāo)位于遠(yuǎn)場,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 L型陣列系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

定義第k(k=1,2,...,K)個(gè)目標(biāo)的方位為(θrk,φrk,θtk,φtk),其中,DOA仰角和DOA方位角分別是θrk和φrk,DOD仰角和DOD方位角分別是θtk和φtk,則第k個(gè)目標(biāo)對(duì)應(yīng)收、發(fā)陣列的方向矢量分別為：

ar(θrk,φrk)=[1,e-jπcos(φrk)sin(θrk),…,e-jπ(N-1)cos(φrk)sin(θrk),

e-jπsin(φrk)sin(θrk),…,e-jπ(N-1)sin(φrk)sin(θrk)]T

at(θtk,φtk)=[1,e-jπcos(φtk)sin(θtk),…,e-jπ(M-1)cos(φtk)sin(θtk),

e-jπsin(φtk)sin(θtk),…,e-jπ(M-1)sin(φtk)sin(θtk)]T

在第q(q=1,2,...,Q)個(gè)發(fā)射脈沖下,定義βq=diag(η1,q,η2,q,...,ηK,q),其中,ηk,q為目標(biāo)回波的復(fù)幅度,則接收端接收到的信號(hào)為

(1)

式中,信號(hào)Yq∈C(2N-1)×Ls,Ar(Ar=[ar(θr1,φr1),ar(θr2,φr2),...,ar(θrK,φrK)])為接收方向矩陣,At(At=[at(θt1,φt1),at(θt2,φt2),...,at(θtK,φtK)])為發(fā)射方向矩陣；Wq表示加性復(fù)高斯色噪聲,diag(·)表示對(duì)角化操作。

(2)

式中,Xq∈C(2M-1)(2N-1)×1,定義A=Ar°At為收、發(fā)陣列的聯(lián)合方向矩陣,則A=[ar(θr1,φr1)?at(θt1,φt1),ar(θr2,φr2)?at(θt2,φt2),...,ar(θrK,φrK)?at(θtK,φtK)],其中,‘?’表示Kronecker積運(yùn)算,wq是噪聲項(xiàng)。

方向陣A也可以表示為

(3)

Φrx=diag(exp(-jπcos(φr1)sin(θr1)),…,

exp(-jπcos(φrk)sin(θrk)))

Φry=diag(exp(-jπsin(φr1)sin(θr1)),…,

exp(-jπsin(φrk)sin(θrk)))

3 四階累積量的構(gòu)造及去冗余

3.1 四階累積量矩陣

對(duì)于復(fù)隨機(jī)過程,四階累積量的定義有多種方式,本文采用以下方式來定義四階累積量：

1≤K1,K2,K3,K4≤(2M-1)(2N-1)

(4)

R4X((K1-1)(2M-1)(2N-1)+K2,

(K3-1)(2M-1)(2N-1)+K4)=

(5)

式中,C4w表示高斯色噪聲對(duì)應(yīng)四階累積量矩陣,且在理想情況下,其恒等于零[12],即C4w=0。B為擴(kuò)展的陣列流行矩陣,其表達(dá)式為

B=A°A

(6)

利用高階累積量的估計(jì)方法具有較多優(yōu)點(diǎn),但其運(yùn)算量大,導(dǎo)致計(jì)算復(fù)雜度增高。下面將討論如何降低算法復(fù)雜度。

3.2 分段部分去冗余

由Kronecker乘積的規(guī)律,L型陣列中的高階方向矢量較復(fù)雜,且包含大量冗余項(xiàng)。本文利用分段思想提出分段部分去冗余(SEG_INC_RR, incomplete redundancy removal through segmenting)的方法,以部分去除其中的冗余項(xiàng)。該方法有效去除矩陣的部分冗余元素,改進(jìn)算法復(fù)雜度,保證了虛擬擴(kuò)展后ESPRIT算法中滿足旋轉(zhuǎn)不變性的兩個(gè)子陣陣元數(shù)相同,同時(shí)由于累積量矩陣的陣列擴(kuò)展作用,部分去除冗余后不會(huì)造成孔徑損失,且能分辨出的目標(biāo)數(shù)多于物理陣元數(shù),同時(shí)提高估計(jì)精度。

假設(shè)收、發(fā)端在x、y軸方向上均有2個(gè)陣元,即M=N=2,則收、發(fā)陣列的方向矢量為ar(θr,φr)=[1,e-jπcos(φr)sin(θr),e-jπsin(φr)sin(θr)]T,at(θt,φt)=[1,e-jπcos(φt)sin(θt),e-jπsin(φt)sin(θt)]T,令u=e-jπcos(φr)sin(θr),p=e-jπsin(φr)sin(θr),m=e-jπcos(φt)sin(θt),n=e-jπsin(φt)sin(θt),聯(lián)合方向矢量a(θr,φr,θt,φt)∈C9×1,即

a(θr,φr,θt,φt)=ar(θr,φr)?at(θt,φt)=

[1,m,n,u,um,un,p,pm,pn]T

(7)

則高階方向矢量B的每一列b(θr,φr,θt,φt)=a(θr,φr,θt,φt)?a(θr,φr,θt,φt),b(θr,φr,θt,φt)∈C81×1,b內(nèi)存在大量的重復(fù)項(xiàng),僅有36個(gè)元素為有效項(xiàng)：

{1,m,n,u,um,un,p,pm,pn,m2,mn,um2,umn,pm2,pmn,

n2,un2,pn2,u2,u2m,u2n,up,upm,upn,u2m2,u2mn,upm2,

upmn,u2n2,upn2,p2,p2m,p2n,p2m2,p2mn,p2n2}

(8)

根據(jù)以上對(duì)M=N=2情況下的研究,類推到一般情況,即當(dāng)發(fā)射端在x、y軸方向上均有M(M≥2)個(gè)陣元,接收端在x、y軸方向上均有N(N≥2)個(gè)陣元時(shí),a(θr,φr,θt,φt)∈C(2M-1)(2N-1)×1,b(θr,φr,θt,φt)∈C((2M-1)(2N-1))2×1。上述特殊情況中(M=N=2),36個(gè)有效項(xiàng)是完全去冗余的結(jié)果,本文算法中為保證虛擬擴(kuò)展后的陣列仍滿足旋轉(zhuǎn)不變性,僅做部分去冗余的SEG_INC_RR運(yùn)算。

圖2中bother由首個(gè)元素僅為1、ui或pi(i=1,…,N-1)的所有段組成,b1m由首個(gè)元素僅包含mi(i=1,…,M-1)的所有段組成,b1n由首個(gè)元素僅包含ni(i=1,…,M-1)的所有段組成。

bother、b1m、b1n又可表示如下：

(9)

(10)

(11)

由于bother、b1m、b1n中有效項(xiàng)所處位置的規(guī)律均不同,接下來對(duì)bother、b1m、b1n分別使用不同的方式提取有效項(xiàng),具體實(shí)現(xiàn)方法如下：

圖2 分段部分去冗余

bother、b1m、b1n對(duì)應(yīng)有效項(xiàng)位置的索引向量分別記為Ioth、Im、In。通過下面方法獲取Ioth：

Ioth=[];

Ioth=[Ioth,s(2M-1)2(2N-1)+1:s(2M-1)2(2N-1)+(2M-1)(2N-1)];

end

通過類似方式獲取Im、In即可得總的有效項(xiàng)位置索引向量如下：

I=[Ioth,Im,In];

I=sort(I);

由上節(jié)知,理想情況時(shí)接收信號(hào)對(duì)應(yīng)四階累積量矩陣可寫為R4X=(A?A)C4F(A?A)H,其中包含了大量冗余項(xiàng)。同對(duì)高階方向矢量矩陣的部分去冗余操作一樣,利用索引向量I對(duì)R4X的行和列分別作如下的部分去冗余操作：

((2M-1)(2N-1))2×((2M-1)(2N-1))2→(2N-1)2(M2+2M-2)×((2M-1)(2N-1))2

→ (2N-1)2(M2+2M-2)×(2N-1)2(M2+2M-2)

R4X(I,I)

(12)

其中,R4X(I,I)即是信號(hào)對(duì)應(yīng)四階累積量矩陣通過部分去冗余操作后所得的結(jié)果。

經(jīng)過上述變換,矩陣R4X的大小從((2M-1)(2N-1))2×((2M-1)(2N-1))2降到(2N-1)2(M2+2M-1)×(2N-1)2(M2+2M-1),去除了R4X中大量的冗余項(xiàng),極大地減小了矩陣維數(shù),改進(jìn)了算法的計(jì)算復(fù)雜度。

4 FOC-ESPRIT-MUSIC算法聯(lián)合估計(jì)DOA、DOD

4.1 FOC-ESPRIT算法估計(jì)二維DOA

由前面章節(jié)的推導(dǎo),通過3.1節(jié)四階累積量的定義計(jì)算出第2節(jié)中接收信號(hào)模型對(duì)應(yīng)四階累積量矩陣R4X,并利用3.2節(jié)所提分段部分去冗余的方法去除R4X中的部分冗余項(xiàng),得到含部分冗余項(xiàng)的四階累積量矩陣R,最后對(duì)R進(jìn)行特征值分解,取K個(gè)較大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量組成US。

根據(jù)(3)中A的結(jié)構(gòu),可將高階方向矢量B=A°A分塊表示如下

(13)

(14)

由(14)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可得下式

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

uk=-angle(λk)/π=cos(φrk)sin(θrk)

(20)

vk=-angle(rk)/π=sin(φrk)sin(θrk)

(21)

則第k個(gè)目標(biāo)相對(duì)接收陣的二維角度,也即DOA仰角和DOA方位角的求解式依次為

(22)

(23)

仰角和方位角可自動(dòng)配對(duì)。

4.2 FOC-MUSIC算法估計(jì)二維DOD

首先根據(jù)接收陣列的方向矩陣求解發(fā)射陣列的方向矩陣,再重構(gòu)信號(hào)Z,同時(shí)構(gòu)造信號(hào)Z的四階累積量矩陣,使用FOC-MUSIC,將上節(jié)所得二維DOA估計(jì)值帶入FOC-MUSIC譜函數(shù),并通過二維譜峰搜索獲得DOD方位角及DOD仰角[13]。尋找一個(gè)合適的行交換矩陣Q以保證下式成立,

(24)

其中Φtx=diag(exp(-jπcos(φt1)sin(θt1)),L,exp(-jπcos(φtK)sin(θtK))),Φty=diag(exp(-jπsin(φt1)sin(θt1)),L,exp(-jπsin(φtK)sin(θtK)))。

通過發(fā)射矩陣的方向矢量G重構(gòu)信號(hào)Z,由式(2)得：

(25)

由前面推導(dǎo)算出重構(gòu)信號(hào)Z對(duì)應(yīng)含部分冗余項(xiàng)的四階累積量矩陣R4Z,并特征值分解R4Z以求解出EN,EN是由后(2N-1)2(M2+2M-2)-K2個(gè)較小特征值對(duì)應(yīng)的特征向量張成的噪聲子空間[14],即EN=span[ek2+1,ek2+2,...,e(2N-1)2(M2+2M-2)]。EN與ES正交,可得本文對(duì)應(yīng)的FOC-MUSIC譜函數(shù)為

(26)

5 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

本文通過蒙特卡羅(Monte Carlo)實(shí)驗(yàn)來說明所提算法的估計(jì)性能。設(shè)仿真次數(shù)C_total=100,收、發(fā)端陣元間的間隔dr及dt均取半個(gè)波長,即dr=dt=λ/ 2,且陣元數(shù)M=N=4。假設(shè)K=3個(gè)非相關(guān)點(diǎn)目標(biāo)的離開角和接收角分別為(φt1,θt1,φr1,θr1)=(30°20°5° 19°),(φt2,θt2,φr2,θr2)=(40° 40° 20° 30°),(φt3,θt3,φr3,θr3)=(60°70° 80° 60°)?？炫臄?shù)Ls=200,一個(gè)周期碼元數(shù)H_num=128,發(fā)射端采用相互正交的Hadamard碼。

實(shí)驗(yàn)1在SNR=10 dB 條件下,FOC-ESPRIT-MUSIC算法散布圖仿真結(jié)果如下：

圖3 本文算法的接收角(DOA)估計(jì)散布圖

圖4 本文算法目標(biāo)離開角(DOD)估計(jì)散布圖

從圖3、圖4可以看出,在高斯色噪聲背景下,本文算法能正確估計(jì)出目標(biāo)的二維DOA、二維DOD角度信息。

實(shí)驗(yàn)2算法仿真性能分析。為說明所提算法性能,分別求解DOA和DOD的均方根誤差(root mean square error, RMSE),仿真參數(shù)不變,定義

式中,αmk和βmk分別表示第k個(gè)目標(biāo)的仰角和方位角在第m次實(shí)驗(yàn)中的仿真結(jié)果,α0k和β0k分別為對(duì)應(yīng)的實(shí)際值。圖5、圖6分別體現(xiàn)了不同算法中DOA和DOD估計(jì)的RMSE隨SNR的變化,同時(shí)描繪了本文算法用于白噪聲背景條件下的估計(jì)性能曲線圖。從圖可知,本文算法在收發(fā)二維角度的估計(jì)性能上,SNR從1 dB開始逐漸增加過程中,角度估計(jì)的RMSE變化曲線趨于平穩(wěn),而且即使在較低信噪比條件下估計(jì)性能仍相對(duì)較好,除此之外,由于四階累積量能有效地抑制高斯色噪聲,本文的四階累積量算法比基于二階統(tǒng)計(jì)量的ESPRIT-MUSIC算法具有更高的估計(jì)精度,估計(jì)性能具有明顯的優(yōu)勢,充分地表現(xiàn)了四階累積量能最大限度地抑制高斯過程,即具有盲高斯性。從圖中也可看出,本文算法適用于白噪聲背景條件下的估計(jì)場景,且此時(shí)算法的整體估計(jì)性能較好。

圖5 DOA估計(jì)均方根誤差比較

圖6 DOD估計(jì)均方根誤差比較

圖7 不同快拍下DOA估計(jì)性能

圖8 不同快拍下DOD估計(jì)性能

6 結(jié)論

本文主要針對(duì)色噪聲背景中在雙基地MIMO雷達(dá)內(nèi)使用L型陣列結(jié)構(gòu)來聯(lián)合估計(jì)目標(biāo)的多維角度信息以及降低多維估計(jì)計(jì)算復(fù)雜度高的問題,提出了一種基于分段部分去冗余的FOC-ESPRIT-MUSIC算法。由于收發(fā)端均選用了L型陣列結(jié)構(gòu),可估計(jì)出目標(biāo)的四維角度信息,更有利于目標(biāo)定位。使用SEG_INC_RR方法去除累積量矩陣中的部分冗余項(xiàng),極大程度地降低了算法復(fù)雜度,并且本文方法首先利用FOC-ESPRIT估計(jì)DOA二維角度,再利用FOC-MUSIC將DOA二維角度的估計(jì)值帶入相應(yīng)譜函數(shù)以估計(jì)DOD二維角度,提高了DOD估計(jì)精度,參數(shù)無需額外配對(duì),且免除了高維譜峰搜索,進(jìn)一步改善算法復(fù)雜度,同時(shí)四階累積量的引入有效地抑制了空間色噪聲的影響,由于其能虛擬陣列擴(kuò)展陣列,增大了系統(tǒng)可識(shí)別目標(biāo)的數(shù)量,能在工程上實(shí)現(xiàn)更好的應(yīng)用。今后研究的關(guān)注方向?qū)⑹侨绾螌?shí)現(xiàn)完全去除L型陣列結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中四階累積量的冗余項(xiàng)。

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