MIMO雷達(dá)迭代最差性能最優(yōu)魯棒波束形成算法

譚志浩 金 偉 賈維敏

(火箭軍工程大學(xué),陜西西安 710025)

1 引言

多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Output, MIMO)雷達(dá)[1],可以利用發(fā)射天線發(fā)射正交波形提高系統(tǒng)的自由度,從而獲得很好的目標(biāo)分辨能力和干擾抑制能力。波束形成是MIMO雷達(dá)領(lǐng)域的重要研究方面。MIMO雷達(dá)輸出信號(hào)模型與相控陣?yán)走_(dá)具有相同的形式,因此可以直接將自適應(yīng)波束形成算法應(yīng)用于MIMO雷達(dá)中。

自適應(yīng)波束形成算法一般可分為四類[2]：對(duì)角加載類算法,特征空間類算法,協(xié)方差重構(gòu)類算法和不確定集類算法。對(duì)角加載類算法[3]可以通過(guò)部分加載的方式保證很好的魯棒性,但最優(yōu)加載量的選取卻難以確定。特征空間類算法[4],低信噪比條件下信號(hào)成分與噪聲成分的“纏繞”現(xiàn)象亟待解決。對(duì)于MIMO雷達(dá)來(lái)說(shuō),協(xié)方差矩陣維數(shù)為發(fā)射陣元數(shù)和接收陣元數(shù)之積,其維數(shù)往往較高。協(xié)方差重構(gòu)類算法[5-7],要保證估計(jì)的協(xié)方差矩陣足夠準(zhǔn)確,需要更多的訓(xùn)練樣本和很高的計(jì)算復(fù)雜度,不利于實(shí)際的工程應(yīng)用。不確定集類算法[8-9],當(dāng)估計(jì)的導(dǎo)向矢量與真實(shí)的導(dǎo)向矢量無(wú)失配誤差時(shí),可以保證很好的性能。文獻(xiàn)[8]提出的基于最差性能最優(yōu)(Worst-case, WC)算法和文獻(xiàn)[9]提出的基于不確定集的導(dǎo)向矢量估計(jì)(Robust Capon Beamforming, RCB)算法,是最經(jīng)典的自適應(yīng)波束形成算法。為了獲得更準(zhǔn)確的目標(biāo)導(dǎo)向矢量,大量改進(jìn)的不確定類算法被提出[10-12]。最差情形一般以較小的概率出現(xiàn),文獻(xiàn)[10]提出基于概率約束對(duì)WC算法進(jìn)行一定的改進(jìn)。文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[12]提出利用較小的不確定集來(lái)約束誤差,通過(guò)迭代不斷更新假定導(dǎo)向矢量,從而獲得更準(zhǔn)確的導(dǎo)向矢量。針對(duì)MIMO雷達(dá)收發(fā)兩端的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),文獻(xiàn)[13]提出雙迭代的方法分別獲得發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量。文獻(xiàn)[14]在文獻(xiàn)[13]的基礎(chǔ)上,提出利用整體線性聯(lián)合方法估計(jì)協(xié)方差矩陣,并結(jié)合目標(biāo)角域范圍對(duì)誤差約束集進(jìn)行改進(jìn),將假定導(dǎo)向矢量和真實(shí)導(dǎo)向矢量之間的失配量約束在假定導(dǎo)向矢量正交補(bǔ)空間中。

本文依據(jù)MIMO雷達(dá)陣列結(jié)構(gòu),對(duì)聯(lián)合導(dǎo)向矢量失配誤差,尤其是方向誤差進(jìn)行了理論推導(dǎo),給出了集中式MIMO雷達(dá)方向估計(jì)誤差的收斂經(jīng)驗(yàn)值,并基于此對(duì)大不確定集算法的局限性進(jìn)行分析。針對(duì)聯(lián)合導(dǎo)向矢量初始假定值和真實(shí)值失配較大的情況,在文獻(xiàn)[12]的基礎(chǔ)上,提出基于小不確定集的MIMO雷達(dá)迭代最差性能最優(yōu)波束形成算法,首先基于WC算法由初始假定聯(lián)合導(dǎo)向矢量獲得較為準(zhǔn)確的權(quán)矢量,然后利用權(quán)矢量與聯(lián)合導(dǎo)向矢量對(duì)應(yīng)關(guān)系,求解出新的假定聯(lián)合導(dǎo)向矢量,通過(guò)不斷迭代更新假定值,最終獲得更準(zhǔn)確的聯(lián)合導(dǎo)向矢量,從而提升MIMO雷達(dá)系統(tǒng)性能。

2 MIMO雷達(dá)基本模型

假設(shè)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)是陣元間隔為半波長(zhǎng)的均勻線陣,發(fā)射和接收陣元數(shù)分別為M和N。研究對(duì)象一般為遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)目標(biāo),目標(biāo)信號(hào)的波離角為θt,波達(dá)角均為θr。則發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量可分別表示為：

at=[1,ejπsin(θt),…,ejπ(M-1)sin(θt)]T

ar=[1,ejπsin(θr),…,ejπ(N-1)sin(θr)]T

(1)

S(t)=[S1(t),S2(t),...,SM(t)]T

(2)

其中,t為發(fā)射信號(hào)在周期內(nèi)的某一時(shí)刻,(·)T和(·)H分別表示矩陣的轉(zhuǎn)置和共軛轉(zhuǎn)置。

假定有K個(gè)目標(biāo),則接收到的信號(hào)可表示為：

(3)

其中,αl(τ)為散射系數(shù),al,t和al,r分別表示第l個(gè)信號(hào)的發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量,τ表示脈沖數(shù),n(t,τ)為復(fù)高斯白噪聲。這里需要說(shuō)明,本文采用的雷達(dá)散射模型服從施威林II模型,即對(duì)每個(gè)目標(biāo)來(lái)說(shuō),散射系數(shù)在脈沖內(nèi)完全相關(guān),脈沖間則統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。

接收端對(duì)N個(gè)接收陣元的接收信號(hào)進(jìn)行匹配濾波,將獲得的信號(hào)向量化,可表示為：

(4)

因此,獲得的采樣協(xié)方差矩陣可表示為：

(5)

其中,L為采樣快拍個(gè)數(shù)。最終獲得的輸出信干噪比SINR采用一般形式,可以表示為：

(6)

其中,w為獲得的權(quán)矢量,Rs和Ri+n分別表示信號(hào)協(xié)方差矩陣和干噪?yún)f(xié)方差陣。

3 MIMO雷達(dá)迭代最差性能最優(yōu)算法

本節(jié)首先結(jié)合MIMO雷達(dá)的陣元結(jié)構(gòu),對(duì)聯(lián)合導(dǎo)向矢量失配誤差,尤其是方向估計(jì)誤差,進(jìn)行理論分析,來(lái)說(shuō)明選用小不確定集的優(yōu)勢(shì)。然后,提出迭代更新假定聯(lián)合導(dǎo)向矢量的方法,利用聯(lián)合導(dǎo)向矢量和權(quán)矢量的對(duì)應(yīng)關(guān)系,獲得更為準(zhǔn)確的聯(lián)合導(dǎo)向矢量。

3.1 失配量理論分析

實(shí)際中,由于陣元幅相誤差、陣元位置誤差、目標(biāo)角度估計(jì)誤差等各類因素的存在,假定的聯(lián)合導(dǎo)向矢量和真實(shí)的聯(lián)合導(dǎo)向矢量之間往往存在一定的失配,真實(shí)的聯(lián)合導(dǎo)向矢量可表示為：

a=(at+et)?(ar+er)=

at?ar+at?er+et?ar+et?er

(7)

其中,et和er分別表示發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量的失配量,均滿足復(fù)高斯分布,且失配量滿足一定的范數(shù)約束：

‖et‖≤εt

‖er‖≤εr

(8)

其中,‖·‖表示向量的歐式范數(shù)。因此,聯(lián)合導(dǎo)向矢量失配量可表示為：

‖e‖=‖at?er+et?ar+et?er‖≤

‖at?er‖+‖et?ar‖+‖et?er‖≤

(9)

其中,ε表示聯(lián)合導(dǎo)向矢量失配量。然而,式(9)給定的導(dǎo)向矢量失配量是基于發(fā)射和接收導(dǎo)向矢量失配量獲得的。實(shí)際上,失配量ε的選取依然是盲目的。一方面,我們期望ε盡可能的大,以保證假定的導(dǎo)向矢量和真實(shí)導(dǎo)向矢量之間的失配量被包含在不確定集中；另一方面,我們期望ε盡可能的小,從而避免不確定集將無(wú)效角域包含在內(nèi),造成性能損失。因此,失配量的選取必須是適當(dāng)?shù)摹?/p>

由式(1)可以獲得聯(lián)合導(dǎo)向矢量的形式：

a=[a11,a12,...,a1N,a21,a22,...,aMN]T

(10)

聯(lián)合導(dǎo)向矢量a的元素amn滿足：

amn=e-jπmsin(θt)×e-jπnsin(θr)=

e-jπ(msin(θt)+nsin(θr))=e-jβπ

(11)

其中,β=msin(θt)+nsin(θr)。一般的,各類誤差對(duì)于導(dǎo)向矢量失配有幅度和相位兩方面影響,因此聯(lián)合導(dǎo)向矢量的元素可以表示為：

amn=e-jβπ×|γ|e-jφ=|γ|e-j(βπ+φ)

(12)

其中,γ和φ分別表示各類誤差的幅度因子和相位因子。由于失配誤差產(chǎn)生的途徑較多,誤差影響因子的實(shí)際分布往往較復(fù)雜。本文只針對(duì)集中式MIMO雷達(dá)的方向估計(jì)誤差進(jìn)行研究,用來(lái)說(shuō)明選用小不確定集的優(yōu)勢(shì)。

對(duì)于集中式MIMO雷達(dá),其收發(fā)端共置,因此可以認(rèn)為波離角和波達(dá)角相同,即θt=θr,因此,式(11)可以獲得更加簡(jiǎn)潔的形式：

(13)

其中,bmn=e-jπ(m+n),是發(fā)射和接收陣元數(shù)之和的函數(shù),而sin(θ)是真實(shí)方向角θ的函數(shù)。因此,聯(lián)合導(dǎo)向矢量方向誤差失配量滿足以下形式：

(14)

(15)

(16)

假定κ=e-jπsin(θ),則失配量的部分表達(dá)式可以分解為三部分,從而進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為

-2N(-κ)N-1-2N(-κ)N+…+

6(-κ)M-2+4(-κ)M-1+2(-κ)M=

-2κ0+4κ1-6κ2+ο(κ3)

(17)

其中,ο(κ3)表示變量κ的三階無(wú)窮小。這是因?yàn)棣省蔥0,1],可以用高階無(wú)窮小來(lái)近似取值。實(shí)際上,對(duì)于陣元數(shù)較大情形下,η?MN,因此失配量取值滿足經(jīng)驗(yàn)取值,即ε2≈2MN,即誤差失配量約為虛擬陣元數(shù)的兩倍。一般的,誤差失配量可以近似取為

ε2≈2MN-2κ0+4κ1-6κ2

(18)

根據(jù)式(9)和式(18),大不確定集的選取必須是適當(dāng)?shù)摹．?dāng)不確定集選取過(guò)大時(shí),即遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)式(18)的約束范圍,那么將會(huì)把包括干擾在內(nèi)的所有誤差包含在內(nèi),從而失去約束集的實(shí)際意義。當(dāng)不確定集選取過(guò)小時(shí),即遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于式(18)的約束時(shí),雖然可以將其他干擾方向因素排除,但不能將目標(biāo)方向附近的誤差失配量完全約束。當(dāng)虛擬陣元數(shù)較大時(shí),方向失配量在真實(shí)方向角附近急劇變化,中心峰值高于式(18)的經(jīng)驗(yàn)值,而后迅速收斂。因此,當(dāng)取值過(guò)小時(shí),大不確定集只約束了估計(jì)方向角附近極小角域,導(dǎo)致算法在大失配條件下失效。

3.2 迭代最差性能最優(yōu)波束形成算法

WC算法是經(jīng)典的自適應(yīng)波束形成算法,對(duì)任意誤差均具有較好的魯棒性,其目標(biāo)函數(shù)可表示為：

s.t.wHa≥ε‖w‖+1

Im{wHa}=0

(19)

上述問(wèn)題可以利用CVX等凸優(yōu)化工具包輕松解決。需要注意的是,WC算法也是基于大不確定集。在上一小節(jié)中,以集中式MIMO雷達(dá)的方向估計(jì)誤差為對(duì)象,對(duì)基于大不確定集的算法局限性進(jìn)行了理論分析。顯然,對(duì)于各類誤差引起的失配量,大不確定集的選取都會(huì)面臨類似上述方向誤差的情形。因此,選用較小不確定集,可以有效地避免不確定集包含無(wú)效角域引起的性能損失。但值得注意的是,基于小不確定集依然需要考慮將所有失配量包含在選定的不確定集中。

基于大不確定集假定初始聯(lián)合導(dǎo)向矢量不變,忽視了接收數(shù)據(jù)對(duì)聯(lián)合導(dǎo)向矢量的信息挖掘。這也是該類算法在導(dǎo)向矢量估計(jì)性能受限的根本原因。文獻(xiàn)[12]在提出一種迭代更新假定導(dǎo)向矢量的方法,本文將其引入到MIMO雷達(dá)中,以解決小不確定集難以約束大失配量的問(wèn)題。

基于WC算法的權(quán)矢量和聯(lián)合導(dǎo)向矢量的關(guān)系可表示為：

(20)

(21)

(22)

由式(22)可以獲得新的聯(lián)合導(dǎo)向矢量,用其代替初始假定的聯(lián)合導(dǎo)向矢量,進(jìn)行迭代,從而不斷逼近真實(shí)的聯(lián)合導(dǎo)向矢量,最終獲得最優(yōu)聯(lián)合導(dǎo)向矢量。

實(shí)際上,迭代更新聯(lián)合導(dǎo)向矢量的過(guò)程也是將假定聯(lián)合導(dǎo)向矢量在角度維進(jìn)行搜索的過(guò)程,通過(guò)不斷移動(dòng)的多個(gè)小不確定集替代原先的單個(gè)大不確定集,從而解決了小不確定集不能約束初始大失配量的情況。

3.3 迭代終止條件

對(duì)于MIMO雷達(dá),其終止條件可以直接采用文獻(xiàn)[11]提出的失配量與角域雙約束的方式,即：

(23)

(24)

值得注意的是式(23)的第二個(gè)判別條件是為了避免估計(jì)的聯(lián)合導(dǎo)向矢量收斂到干擾信號(hào)對(duì)應(yīng)的聯(lián)合導(dǎo)向矢量。

本文提出的MIMO雷達(dá)迭代最差性能最優(yōu)算法，算法具體總結(jié)如下：

步驟3結(jié)合式(23)判斷是否滿足迭代終止條件,若滿足,則wi即為所提算法的最優(yōu)權(quán)矢量,否則,重復(fù)執(zhí)行步驟2。

4 仿真結(jié)果及分析

不失一般性的,假設(shè)MIMO雷達(dá)系統(tǒng)為陣元間隔為半波長(zhǎng)的均勻線陣,發(fā)射陣元數(shù)M=10,接收陣元數(shù)N=10,研究對(duì)象為遠(yuǎn)場(chǎng)點(diǎn)目標(biāo),空間存在兩個(gè)干擾目標(biāo),其干噪比(Interference and Noise Ratio, INR)均為30 dB,噪聲成分為標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲。為驗(yàn)證算法對(duì)于聯(lián)合導(dǎo)向矢量大失配情形的性能,仿真實(shí)驗(yàn)將所提算法和文獻(xiàn)[8]提出的WC算法、文獻(xiàn)[9]的RCB算法、文獻(xiàn)[13]的BIA-RCB算法以及文獻(xiàn)[14]的BI-QCQP算法進(jìn)行了性能比較。蒙德卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)均為100次。為充分說(shuō)明算法有效性,在研究集中式MIMO雷達(dá)時(shí),仿真實(shí)驗(yàn)基本條件和文獻(xiàn)[14]一致,研究分布式MIMO雷達(dá)時(shí),仿真實(shí)驗(yàn)基本條件與文獻(xiàn)[13]一致。

4.1 方向估計(jì)誤差失配量實(shí)驗(yàn)

以集中式MIMO雷達(dá)方向誤差為研究對(duì)象,假定真實(shí)目標(biāo)的發(fā)射和接收角度為θt=θr=0°。圖1給出了發(fā)射陣元數(shù)M=5時(shí),不同接收陣元數(shù)條件下的方向角估計(jì)誤差值變化曲線。值得指出的是,發(fā)射和接收陣元數(shù)對(duì)于方向估計(jì)誤差的影響是相同的。從圖1可以看出,一方面當(dāng)接收陣元數(shù)一定時(shí),隨著方向角估計(jì)誤差變大,其失配量逐漸收斂于一特定值,但是在臨近真實(shí)方向角時(shí),曲線變化劇烈,其峰值和谷值相差很大；一方面,失配量變化曲線隨著接收陣元數(shù)增加,在真實(shí)方向角附近收斂速度更快。選用大不確定集時(shí),當(dāng)大不確定集高于峰值,此時(shí)不確定集將所有的角度均約束在內(nèi),其約束實(shí)際上無(wú)意義,即算法已經(jīng)失效。當(dāng)不確定集值小于峰值時(shí),雖然能夠避免將其他方向包含,但此時(shí)約束集不能完全約束失配量。換言之,大不確定集算法此時(shí)只能將真實(shí)方向角附近極小角域包含在內(nèi),顯然不能適應(yīng)大失配情形,這在陣元數(shù)較大情況下更為突出。本文所提算法的迭代過(guò)程等效于變化曲線在橫軸方向上平移的過(guò)程。因此可以選用小不確定集,通過(guò)不斷逼近,最終獲得準(zhǔn)確的聯(lián)合導(dǎo)向矢量。

圖1 不同接收陣元數(shù)下方向估計(jì)誤差失配量

陣元數(shù)358101520316.028.048.060.088.0120.0528.048.080.0100.0148.0200.0848.080.0128.0160.0240.0320.01060.0100.0160.0200.0300.0400.01588.0148.0240.0300.0448.0600.020120.0200.0320.0400.0600.0800.0

注：表中數(shù)據(jù)形式(.0)表示保留小數(shù)點(diǎn)后15位取值。

圖2 不同虛擬陣元數(shù)下失配量曲線

圖3 不同虛擬陣元數(shù)下失配量曲線局部放大圖

4.2 集中式MIMO雷達(dá)

集中式MIMO雷達(dá)收發(fā)共置,其發(fā)射角和接收角是一致的。假定真實(shí)的目標(biāo)方向?yàn)?°,假定的目標(biāo)方向?yàn)?°,方向角存在3°的失配誤差,干擾方向分別為30°和50°?？炫臄?shù)為L(zhǎng)=200。各算法參數(shù)選取為：文獻(xiàn)[8]WC算法參數(shù)ε=7,文獻(xiàn)[9]RCB算法參數(shù)ε=8,文獻(xiàn)[13]BIA-RCB算法參數(shù)ε=8，文獻(xiàn)[14]BI-QCQP算法和本文所提算法的約束角度容限Δθ=5°。

圖4給出了各種算法在不同信干比(Signal and Interference Ratio, SNR)條件下的輸出信干噪比。從圖4可以看出,所提算法對(duì)于方向角估計(jì)誤差具有很好的魯棒性,在SNR大于-20 dB時(shí),能夠獲得最高的輸出信干噪比性能。圖5給出了SNR=-5 dB時(shí),不同快拍的輸出SINR性能。可以看出,所有算法在樣本數(shù)超過(guò)200時(shí)開(kāi)始收斂,而所提算法始終能保證獲得最高的SINR。

圖4 不同SNR條件下的輸出信干噪比

圖5 不同快拍條件下的輸出信干噪比

圖6給出了不同的角度估計(jì)誤差條件下的性能比較。可以看出,WC算法和RCB算法對(duì)于角度估計(jì)誤差比較敏感,當(dāng)角度估計(jì)誤差較大時(shí), SINR性能會(huì)嚴(yán)重下降,而本文所提算法和BIA-RCB算法、BI-QCQP算法對(duì)于方向角估計(jì)誤差具有很好的魯棒性,且本文所提算法在方向誤差全角域上均能取得最高輸出SINR。

圖6 不同角度估計(jì)誤差條件下的輸出信干噪比

圖7給出了校正誤差條件下的輸出SINR性能。校正誤差時(shí)由于陣元幅相誤差及陣元位置誤差產(chǎn)生的,因此在仿真實(shí)驗(yàn)中,假定發(fā)射導(dǎo)向矢量和接收導(dǎo)向矢量每個(gè)元素都受均值為0,方差為0.005的加性復(fù)高斯成分的“污染”。從圖7可以看出,所提算法可以獲得最高輸出SINR,即算法對(duì)校正誤差也具有較好的魯棒性。

圖7 校正誤差條件下的輸出信干噪比

圖8給出了不同算法的方向圖,圖9是圖8的局部放大圖。從圖中可以明顯看出,本文所提算法對(duì)于方向角的估計(jì)基本與理論值相近,而B(niǎo)IA-RCB算法和BI-QCQP算法對(duì)于方向角估計(jì)偏差較大。換言之,本文所提算法可以獲得更為準(zhǔn)確的聯(lián)合導(dǎo)向矢量。實(shí)際上,所提算法之所以能獲得很好的輸出信干噪比性能,且對(duì)于方向誤差、校正誤差都具有很強(qiáng)的魯棒性,就是因?yàn)槟塬@得更精確的聯(lián)合導(dǎo)向矢量,保證權(quán)矢量更優(yōu)。算法在迭代過(guò)程中不斷更新假定聯(lián)合導(dǎo)向矢量,因而可以用多個(gè)移動(dòng)的小不確定集將所有失配量完全約束住。同時(shí)在真實(shí)的方位角附近時(shí),因?yàn)椴捎玫氖禽^小的不確定集,與大不確定集算法相比,可以保證估計(jì)的聯(lián)合導(dǎo)向矢量與真實(shí)的聯(lián)合導(dǎo)向矢量的失配更小。

圖8 不同算法的方向圖

圖9 不同算法的方向角估計(jì)圖

4.3 分布式MIMO雷達(dá)

分布式MIMO雷達(dá)收發(fā)端分布較遠(yuǎn),其發(fā)射角和接收角一般不同。用(θt,θr)表示波離角和波達(dá)角。仿真試驗(yàn)中真實(shí)的目標(biāo)角為(-30°,10°),假定的目標(biāo)角為(-33°,7°),方向角存在3°的失配誤差,兩個(gè)干擾的角度分別為(-40°,20°)和(20°,-30°)。其他仿真條件與上一小節(jié)中的集中式MIMO雷達(dá)相一致。圖10給出了不同SNR條件下的輸出SINR性能比較。圖11給出了校正誤差條件下的輸出SINR性能比較。從圖中可以明顯看出,本文所提算法對(duì)于分布式MIMO雷達(dá)各類誤差也具有很好的魯棒性,且能獲得最高的輸出SINR。

圖10 不同SNR條件下的輸出信干噪比

圖11 不同角度估計(jì)誤差條件下的輸出信干噪比

5 結(jié)論

本文提出的采用小不確定集的MIMO雷達(dá)迭代最差性能最優(yōu)波束形成算法,首先基于WC算法由初始假定聯(lián)合導(dǎo)向矢量獲得較為準(zhǔn)確的權(quán)矢量,然后利用權(quán)矢量與聯(lián)合導(dǎo)向矢量的對(duì)應(yīng)關(guān)系,求解出新的假定聯(lián)合導(dǎo)向矢量,通過(guò)不斷迭代更新假定值,最終獲得更準(zhǔn)確的聯(lián)合導(dǎo)向矢量。實(shí)驗(yàn)證明：所提方向估計(jì)誤差經(jīng)驗(yàn)取值與理論值相吻合,所提算法與其他算法相比,對(duì)聯(lián)合導(dǎo)向矢量失配較大的情形下具有很強(qiáng)的魯棒性,且輸出信干噪比性能達(dá)到最優(yōu)。

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