中國股票市場的波動率聚集性研究
——基于Markov機制轉(zhuǎn)換Copu1a模型的實證分析

吳鑫育 ，李心丹，馬超群

（1.南京大學(xué) 工程管理學(xué)院，南京 210093；2.安徽財經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030；3.湖南大學(xué) 工商管理學(xué)院，長沙 410082）

“波動率聚集”是指金融資產(chǎn)價格的變化往往大的波動后緊跟著大的波動（高波動率的聚集），小的波動后緊跟著小的波動（低波動率的聚集）。波動率聚集是金融資產(chǎn)收益率序列中的一個重要特征，它反映了波動率的正相關(guān)性（即后一期的波動率與前一期的波動率的相關(guān)性為正）。事實上，波動率的相關(guān)性是波動率建模和預(yù)測的前提和依據(jù)，而波動率是資產(chǎn)組合配置、風(fēng)險管理及期權(quán)定價中的一個重要變量。因此，準(zhǔn)確描述波動率動態(tài)特征，考察波動率的相關(guān)性結(jié)構(gòu)（波動率線性、非線性相關(guān)性及高、低波動率的非對稱相關(guān)性等），對波動率聚集性進(jìn)行建模具有重要的意義，有助于加深對金融市場微觀結(jié)構(gòu)的了解，為投資者和風(fēng)險管理者提供信息和決策參考。

傳統(tǒng)上，學(xué)者們主要采用（G）ARCH模型和隨機波動率（SV）模型來捕獲波動率聚集性[1-3]。然而，這些模型并不能用于測度和解釋波動率聚集性。近年來，學(xué)者們提出了新的模型對波動率聚集性進(jìn)行了考察。文獻(xiàn)[4-6]中提出基于Agent的模型來考察波動率聚集性；Jiang等[7]基于無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型對金融市場的聚集行為進(jìn)行了考察；Tseng等[8]提出一個量化方法來測度波動率聚集性；Xue等[9]提出了一個離散時間多階段的市場微觀結(jié)構(gòu)模型來考察波動率聚集性；Stádník[10]探討了波動率聚集的金融學(xué)解釋；Kumar[11]考察了波動率聚集對期權(quán)效用無差別定價的影響。

綜上所述，已有研究主要考察的是正常市場條件下線性、對稱的波動率聚集性，但對極端市場條件下的波動率聚集性及其可能存在的尾部非線性、非對稱以及動態(tài)特征的考察還非常少見[12]，但是，文獻(xiàn)[12]中沒有考慮波動率聚集的動態(tài)性。鑒于此，本文采用Copula方法來捕獲和測度中國股票市場的波動率聚集性。Copula方法是金融市場變量相關(guān)性結(jié)構(gòu)研究中的一種重要方法，它能靈活且有效地捕獲金融市場變量間復(fù)雜的相關(guān)性結(jié)構(gòu)，如非線性相關(guān)性、極端市場條件下的尾部相關(guān)性、非對稱相關(guān)性以及動態(tài)相關(guān)性等。此外，Copula允許對金融市場變量的邊際分布與相關(guān)性結(jié)構(gòu)分別進(jìn)行建模，通過選擇不同的邊際分布和Copula來構(gòu)造復(fù)雜的非正態(tài)聯(lián)合分布，這使得建模的靈活性增加，有助于充分刻畫金融市場變量（如波動率）的“偏斜”“尖峰厚尾”等非正態(tài)特征。因此，Copula在金融學(xué)文獻(xiàn)中引起了眾多學(xué)者的關(guān)注[13-14]。

傳統(tǒng)靜態(tài)Copula模型假定相關(guān)性參數(shù)是常數(shù)，不能捕獲變量間的動態(tài)相關(guān)性結(jié)構(gòu)。為了克服該問題，近年來，學(xué)者們提出了許多動態(tài)Copula模型，例如時變Copula模型[15-16]、半?yún)?shù)動態(tài)Copula模型[17]、隨機Copula模型[18]以及Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型[19-21]。Manner等[22]對這些動態(tài)時變Copula模型進(jìn)行了綜述，研究表明，Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型相比其他動態(tài)Copula模型具有更為優(yōu)越的數(shù)據(jù)擬合效果，且模型較為簡單、易于實現(xiàn)。

鑒于Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型在理論與實踐中的優(yōu)越性，以及為了彌補目前國內(nèi)學(xué)者對中國股票市場的波動率聚集性研究的不足，本文通過考察極端市場條件下我國股票市場波動率的尾部相關(guān)性結(jié)構(gòu)，選擇合適的Copula函數(shù)，構(gòu)建相應(yīng)的Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型，對中國股票市場的波動率聚集性進(jìn)行研究，考察波動率聚集可能存在的尾部非對稱、動態(tài)特征。

1 Markov機制轉(zhuǎn)換Copu1a模型

1.1 模型構(gòu)建

這部分構(gòu)建Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型來描述波動率聚集性（波動率期限結(jié)構(gòu)）。令x t為股票收益率的波動率，波動率聚集性即由t和t-1時刻的連續(xù)波動率變量x t和x t-1的聯(lián)合分布函數(shù)H（x t，x t-1）刻 畫。根 據(jù)Sklar定 理，存 在 一 個CopulaC（·，·）：[0，1]2→[0，1]，使得

式中：u1=F（x t），u2=F（x t-1），分別為x t和x t-1的邊際分布函數(shù)；θ為Copula的參數(shù)向量?？梢?，Copula是由均勻分布在區(qū)間[0，1]上的邊際分布u1=F（x t）和u2=F（x t-1）構(gòu)造的一個聯(lián)合分布函數(shù)，它充分捕獲了連續(xù)波動率變量x t與x t-1的相關(guān)性（波動率聚集性）。

基于Copula可以方便地測度兩變量在極端市場情形下的尾部相關(guān)性，即兩變量同時處于下（左）尾或上（右）尾的概率。連續(xù)波動率變量x t和x t-1的下尾和上尾相關(guān)系數(shù)分別為：

式中，λL，λU∈[0，1]。如果λL（λU）∈（0，1]，則x t和x t-1存在下（上）尾相關(guān)性；如果λL（λU）=0，則x t和x t-1不存在下（上）尾相關(guān)性。通過選擇不同的Copula函數(shù)可以刻畫不同的尾部相關(guān)性結(jié)構(gòu)。實際中，常用的Copula函數(shù)及其各Copula函數(shù)的尾部相關(guān)性表達(dá)式如下所示：

可見，Gaussian Copula不能描述尾部相關(guān)性，Student-tCopula能夠描述對稱的尾部相關(guān)性，Gumbel Copula和Survival Clayton Copula能夠描述上尾相關(guān)性，但不能描述下尾相關(guān)性，Survival Gumbel Copula和Clayton Copula能夠描述下尾相關(guān)性，但不能描述上尾相關(guān)性。

考慮到連續(xù)波動率變量可能同時存在下尾和上尾相關(guān)性，且呈現(xiàn)非對稱特征，因此，引入能同時捕獲下尾和上尾相關(guān)性的SJC（Symmetrized Joe Clayton）Copula。SJC Copula[15]通 過 對“BB7”Copula（也稱為Joe-Clayton Copula）[23]進(jìn)行修正后得到。SJC Copula允許非對稱的下尾與上尾相關(guān)性，且包含對稱的尾部相關(guān)性為一個特例。因此，它是一個非常靈活的Copula。SJC Copula的表達(dá)式為

當(dāng)λL=λU時，SJC Copula是對稱的。

另一種能同時捕獲下尾和上尾相關(guān)性的Copula是混合Copula。構(gòu)建如下兩種混合Copula——Gumbel混 合Copula和Clayton混 合Copula：

式中：θ=（ω，α1，α2）′；CGum、CSG、CClay和CSC分別表示Gumbel Copula、Survival Gumbel Copula、Clayton Copula和Survival Clayton Copula函數(shù)；ω反映了具有下尾相關(guān)性的Copula（Survival Gumbel Copula和Clayton Copula）在混合Copula中的相對重要程度。對于Gumbel混合Copula，下尾和上尾相關(guān)性分別為：

對于Clayton混合Copula，下尾和上尾相關(guān)性分別為：

上述傳統(tǒng)靜態(tài)Copula假設(shè)相關(guān)性參數(shù)不隨時間變化，不能捕獲連續(xù)波動率變量間可能存在的尾部動態(tài)相關(guān)性，因此，需要將靜態(tài)Copula模型擴(kuò)展為動態(tài)Copula模型。本文采用動態(tài)Copula模型中的Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型展開研究。在Copula函數(shù)中引入狀態(tài)變量st，假設(shè)st=｛0，1｝服從一個一階兩狀態(tài)的Markov過程，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率

設(shè)

由此，Copula參數(shù)隨狀態(tài)變量st的變化而變化，可以捕獲波動率聚集的尾部動態(tài)性。

1.2 模型參數(shù)估計

本文采用半?yún)?shù)的兩階段估計法，即IFM（Inference Function for Margins）方法[23]來估計Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型。第1階段，對股票收益率的波動率的邊際分布進(jìn)行非參數(shù)估計；第2階段，將估計的邊際分布代入Copula函數(shù)中，估計出Copula參數(shù)。根據(jù)已有研究[23-24]，兩階段法是非常有效的估計方法，且在計算上容易處理。此外，半?yún)?shù)估計可以使邊際分布免于設(shè)定誤差，獲得穩(wěn)健的Copula參數(shù)估計結(jié)果[25-26]。

為了能夠充分刻畫股票收益率的波動率的“偏斜”“尖峰厚尾”等經(jīng)驗特征事實，本文采用非參數(shù)方法來估計邊際分布函數(shù)F（x）。具體地，根據(jù)重標(biāo)度的經(jīng)驗累積分布函數(shù)估計得到邊際分布函數(shù)：

式中，1｛·｝為示性函數(shù)。經(jīng)驗累積分布函數(shù)重標(biāo)度是為了確保Copula對數(shù)似然函數(shù)的一階條件對所有有窮的T有定義。根據(jù)Glivenko-Cantelli定理，一致收斂于真實的經(jīng)驗累積分布函數(shù)F（x）。

在Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型中，待估計的參數(shù)向量給定波動率的經(jīng)驗累積分布函數(shù)的非參數(shù)估計，運用極大似然方法獲得Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型參數(shù)的估計為

式中：⊙為Hadamard乘積；初始值設(shè)為無條件概率（遍歷概率），即

2 實證研究

本文采用上證綜合（SSE）指數(shù)和深證成份（SZSE）指數(shù)日內(nèi)5 min高頻交易價格數(shù)據(jù)作為研究樣本。數(shù)據(jù)抽樣的時間跨度為2010-01-04～2015-12-31，兩指數(shù)均有69 600個日內(nèi)觀測值。所有數(shù)據(jù)均來源于天軟數(shù)據(jù)庫。

眾所周知，波動率不能從金融市場中直接觀測得到?；诖?，本文采用日內(nèi)高頻交易數(shù)據(jù)構(gòu)建已實現(xiàn)波動率作為隱波動率的代理變量。第t交易日已實現(xiàn)波動率定義為

式中：n為日內(nèi)收益率總數(shù)目；rt，i=100（lnPt，ilnP t，i-1）為t交易日的第i個日內(nèi)（對數(shù)）收益率。研究表明[27]，在理想的市場條件下（不存在市場微觀結(jié)構(gòu)噪聲、資產(chǎn)可連續(xù)交易以及資產(chǎn)價格不存在跳躍），已實現(xiàn)波動率RV依概率收斂于積分波動率（Integrated Volatility，IV），即

式中，σ2（t）為波動率過程。

式（18）計算的已實現(xiàn)波動率RV忽略了重要的隔夜信息，實際應(yīng)用中往往低估真實波動率。為了克服該問題，Hansen等[28]引入“隔夜效應(yīng)”，構(gòu)建了如下修正的已實現(xiàn)波動率：

式中，rt，0=100（lnPt-1，n-lnPt，0）為隔夜收益率，

μ0、μ1和μ2分別為（r2t，0+RV t）、r2t，0和RV t的均值。研究表明[28]，修正的已實現(xiàn)波動率RV*是真實波動率的一個非常有效的代理指標(biāo)。鑒于此，本文運用式（20）來構(gòu)建已實現(xiàn)波動率，并以此作為隱波動率的代理變量。

圖1為SSE和SZSE指數(shù)已實現(xiàn)波動率序列。

圖1 SSE和SZSE指數(shù)已實現(xiàn)波動率序列圖

表1給出兩指數(shù)已實現(xiàn)波動率的描述性統(tǒng)計量。由表1可見，兩指數(shù)已實現(xiàn)波動率均呈現(xiàn)正偏（偏度＞0），且存在尖峰、厚尾特征（峰度＞3），也都拒絕正態(tài)分布的假定（Jarque-Bera統(tǒng)計量顯著）。

根據(jù)式（11）計算得到已實現(xiàn)波動率的邊際分布，進(jìn)而采用極大似然方法得到各Copula的參數(shù)估計結(jié)果，如表2所示。由表2可見，所有Copula的相關(guān)性參數(shù)估計值均在統(tǒng)計上顯著，表明滬深股市波動率聚集存在線性或非線性相關(guān)性。由Gaussian Copula和Student-tCopula的估計結(jié)果可見，滬市波動率聚集（線性）相關(guān)性約為0.75，深市波動率聚集（線性）相關(guān)性約為0.7，滬市相比深市呈現(xiàn)更為明顯的波動率聚集性特征。比較Gaussian Copula和Student-tCopula的估計結(jié)果，發(fā)現(xiàn)Student-tCopula具有更大的對數(shù)似然值和更小的AIC值，表明能描述尾部相關(guān)性的Student-tCopula具有更好的擬合效果以及滬深股市波動率聚集尾部相關(guān)性的存在?；贏IC信息準(zhǔn)則，能同時描述下尾和上尾相關(guān)性，且允許非對稱的下尾和上尾相關(guān)性的SJC Copula在所有Copula中具有最好的擬合效果。由SJC Copula的估計結(jié)果可見，上尾相關(guān)性參數(shù)估計值相比下尾相關(guān)性參數(shù)估計值明顯更大，表明高波動率的聚集相比低波動率的聚集發(fā)生概率要更高，滬深股市波動率聚集具有尾部非對稱特征。

表1 描述性統(tǒng)計量

表2 Copu1a參數(shù)估計結(jié)果

對波動率聚集非對稱性的一種解釋是信息到達(dá)率[29]，即波動率聚集來源于信息到達(dá)在時間上的聚集。在金融市場中，極端的與平穩(wěn)的時期在時間上是聚集的。在極端的金融市場危機時期，股票市場波動率較高，信息到達(dá)速度快、頻率高，從而導(dǎo)致更高的高波動率聚集的可能性。而在平穩(wěn)時期，股票市場波動率較低，信息到達(dá)速度慢、頻率低，從而導(dǎo)致更低的低波動率聚集的可能性。

為了捕獲滬深股市波動率聚集可能存在的尾部動態(tài)特征，選擇Copula為具有最優(yōu)擬合效果的SJC Copula，構(gòu)建相應(yīng)的Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型進(jìn)行分析。運用極大似然參數(shù)估計方法，得到模型的參數(shù)估計結(jié)果，如表3所示。由表3可見，基于AIC信息準(zhǔn)則，引入機制轉(zhuǎn)換后，SJC Copula模型的擬合能力有較大提高。在st=0下，滬深股市波動率聚集的下尾相關(guān)性分別為0.215 8和0.148 0，上尾相關(guān)性分別為0.760 9和0.634 0；在st=1下，滬深股市波動率聚集的下尾相關(guān)性分別為0.496 7和0.653 8，上尾相關(guān)性分別為0.537 5和0.470 0。無論是st=0或st=1，滬市上尾相關(guān)性均明顯大于下尾相關(guān)性。深市在st=0下，上尾相關(guān)性明顯大于下尾相關(guān)性；但在st=1下，下尾相關(guān)性明顯大于上尾相關(guān)性。采用Hamilton[30]算法，計算得到滬深股市波動率聚集濾過的下尾和上尾部動態(tài)過程：

如圖2、3所示。由圖2、3可見，滬深股市波動率聚集確實呈現(xiàn)明顯的尾部動態(tài)特征。

表3 Markov機制轉(zhuǎn)換SJC Copu1a模型參數(shù)估計結(jié)果

圖2 SSE指數(shù)波動率聚集的下、上尾部動態(tài)相關(guān)性

圖3 SZSE指數(shù)波動率聚集的下、上尾部動態(tài)相關(guān)性

3 結(jié)語

波動率聚集性是金融資產(chǎn)收益率序列中的一個重要特征，也是金融領(lǐng)域關(guān)注的重要問題。通過對波動率聚集性的研究有助于加深對金融市場微觀結(jié)構(gòu)的了解，對資產(chǎn)組合配置、風(fēng)險管理及期權(quán)定價都具有重要意義。本文構(gòu)建了Markov機制轉(zhuǎn)換Copula模型來研究中國股票市場的波動率聚集性（波動率相關(guān)性結(jié)構(gòu)）。采用上證綜合指數(shù)和深證成份指數(shù)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)，構(gòu)造已實現(xiàn)波動率作為隱波動率的代理變量，對中國股票市場進(jìn)行了實證分析。結(jié)果表明，SJC Copula函數(shù)相比其他Copula函數(shù)能更好地刻畫中國股票市場的波動率聚集性，波動率聚集具有明顯的尾部非對稱特征，高波動率的聚集相比低波動率的聚集發(fā)生概率要更高。波動率聚集非對稱性表明，股票市場中壞時刻的聚集相比好時刻的聚集更頻繁，金融市場動蕩相比平穩(wěn)具有更高的可能性。另外，基于Markov機制轉(zhuǎn)換SJC Copula模型的研究表明，中國股票市場的波動率聚集還展現(xiàn)出明顯的尾部動態(tài)特征。