高三微專題復(fù)習(xí)模式探究——由《圓的方程》課例引起的思考

黃雅麗

【摘要】高三一輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)是以課程標(biāo)準(zhǔn)和考試大綱為依據(jù)，以教材為根本，意圖在于加強(qiáng)雙基教學(xué)，提高學(xué)生的解題能力，如何提高高三復(fù)習(xí)課堂的有效性是我們追求的目標(biāo)。利用微專題復(fù)習(xí)模式，可以與專題復(fù)習(xí)相結(jié)合，不但可以提升學(xué)生的解題能力，也可促進(jìn)教師本身的進(jìn)步，真正做到教學(xué)相長(zhǎng)。

【關(guān)鍵詞】一輪復(fù)習(xí) 微專題 課堂有效性

【中圖分類號(hào)】G633.41 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2018）13-0063-02

一、學(xué)情分析

《圓的方程》是高三一輪復(fù)習(xí)的一節(jié)課，本班學(xué)生基礎(chǔ)較好，注意力能夠較長(zhǎng)時(shí)間集中，學(xué)習(xí)目的明確，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有濃厚的興趣，前面已經(jīng)掌握了直線與方程的內(nèi)容，已經(jīng)具備用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的能力，能用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決解析幾何的問(wèn)題。

二、課堂實(shí)錄

師：上節(jié)課我們復(fù)習(xí)了解析幾何中有關(guān)直線與方程的相關(guān)內(nèi)容，理解了用代數(shù)的方法來(lái)研究圖形的幾何性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)了數(shù)形結(jié)合的思想。在此基礎(chǔ)上，這節(jié)課我們來(lái)復(fù)習(xí)圓的知識(shí)，進(jìn)行一個(gè)專題復(fù)習(xí)——圓的方程。

我們先來(lái)看目標(biāo)導(dǎo)引的問(wèn)題：ΔABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A（-1，2），B（2，1），C（3，4）。求ΔABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

師：如何求解ΔABC外接圓的方程呢？

生1：設(shè)ΔABC外接圓的一般方程，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，通過(guò)解方程組得解；

生2：設(shè)ΔABC外接圓的一般方程，列出關(guān)于a，b，r的方程組，通過(guò)解方程組得解；

師總結(jié)：上述兩位同學(xué)用到的求解方法叫做待定系數(shù)法，兩種方法中標(biāo)準(zhǔn)方程的運(yùn)算量較大，一般方程更為簡(jiǎn)潔。

師追問(wèn)：是否有其他方法可以解決這個(gè)問(wèn)題呢？我們可否結(jié)合幾何圖形，從中確定圓的兩大要素——圓心和半徑。

生3：由AB，BC的中垂線的交點(diǎn)確定圓心，進(jìn)而得到半徑；

生4：結(jié)合題意可以證明ΔABC是直角三角形，確定AC的中點(diǎn)為此外接圓的圓心，進(jìn)而得到半徑。

師總結(jié)：上述兩位同學(xué)用到的方法是幾何法，通過(guò)分析幾何圖形，簡(jiǎn)化幾何條件，確定圓心和半徑。上述兩種方法就是今天復(fù)習(xí)的內(nèi)容。

師：請(qǐng)看例1：一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______

師：同學(xué)們用了哪種方法解決這個(gè)問(wèn)題？

生1：可由任兩邊中垂線的交點(diǎn)來(lái)確定圓心。

師追問(wèn)：橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)選哪三個(gè)頂點(diǎn)呢？

生2：已知條件知圓心落在x軸的正半軸上，例如，對(duì)于ΔA1B1A2中垂線的交點(diǎn)落在y軸負(fù)半軸上；ΔA2B1B2中垂線交點(diǎn)落在x軸的負(fù)半軸上，以此類推，可以確定是ΔA1B1B2。

師總結(jié)：這題是求三個(gè)頂點(diǎn)確定三角形外接圓的方程。難點(diǎn)是四個(gè)頂點(diǎn)中選哪三個(gè)頂點(diǎn)，由已知條件圓心落在 軸的正半軸上，再結(jié)合圖形分析，可確定三個(gè)頂點(diǎn)，又回到了目標(biāo)導(dǎo)引的問(wèn)題，這里不再重復(fù)。通過(guò)本道題，我們復(fù)習(xí)鞏固了有關(guān)圓方程的求法，接下來(lái)我們進(jìn)一步來(lái)學(xué)習(xí)圓及圓方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用。

師：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)看例2：已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求：（1）y-x的最小值；（2）的最大值和最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值

師：這是一道以圓的方程為背景，探求二元變量x，y的最值問(wèn)題。求解最值問(wèn)題的方法有哪些呢？

生1：函數(shù)法（消元思想）、幾何法（關(guān)注目標(biāo)函數(shù)及幾何意義）、基本不等式（尋求和或積為定值）

師追問(wèn)：那么你打算如何解決這個(gè)問(wèn)題呢？

生1：以（1）問(wèn)為例，t=y-x可表示直線與y軸相交的縱截距，當(dāng)該直線與圓相切時(shí)的縱截距即為最大值或最小值。

生2：可從代數(shù)的角度解決這個(gè)問(wèn)題，以（3）為例，結(jié)合圓的方程可得x2+y2=4x-1，，利用一次函數(shù)的單調(diào)性即可求得最值；也可結(jié)合圓的參數(shù)方程（θ為參數(shù)），利用三角換元轉(zhuǎn)化為關(guān)于θ的函數(shù)，即可解決此問(wèn)題。

師總結(jié)：剛才兩位同學(xué)從幾何和代數(shù)的角度分別對(duì)該題目進(jìn)行了剖析，對(duì)于給定代數(shù)式幾何特征較為明顯的，用幾何法來(lái)做；但若幾何特征不夠明顯的，應(yīng)從函數(shù)角度入手。

師：求軌跡問(wèn)題的方法有哪些呢？

生1：直接法、定義法（幾何法）、待定系數(shù)法、坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法

師：用哪種方法取決于動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，若動(dòng)點(diǎn)滿足某種曲線的定義，則用定義法；若動(dòng)點(diǎn)滿足已知曲線類型，則用待定系數(shù)法；若動(dòng)點(diǎn)的軌跡類型無(wú)法確定，則用直接法。我們來(lái)看例3：已知圓x2+y2=4上一定點(diǎn)A（2，0），B（1，1）為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)。求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程。

生1：設(shè)AP中點(diǎn)為N，N隨P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，N是被動(dòng)點(diǎn)，P是主動(dòng)點(diǎn)，可用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法來(lái)解決。

師追問(wèn)：解決這類問(wèn)題的策略是將被動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為主動(dòng)點(diǎn)的幾何關(guān)系。除了上述方法，有沒(méi)有其他方法呢？

生2：由AP為圓的弦且N為AP的中點(diǎn)可得ON⊥AP，即∠ONA=90°，可得N點(diǎn)的軌跡是以（1，0）為圓心，1為半徑的圓。

師總結(jié)：很好，這位同學(xué)能從圖形出發(fā)，充分挖掘圖形的幾何特征，找到垂直關(guān)系，得到動(dòng)點(diǎn)所滿足的關(guān)系。

師追問(wèn)：將此題做個(gè)變式：若∠PBQ=90°，求線段PQ中點(diǎn)N的軌跡方程。

師：這里是雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，無(wú)法像上題那樣直接求解，我們應(yīng)想辦法減少動(dòng)點(diǎn)個(gè)數(shù)，將動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何關(guān)系簡(jiǎn)化為與定點(diǎn)的關(guān)系，再進(jìn)行求解。

分析：在ΔPBQ中，N為PQ的中點(diǎn)，可得：

由PQ為圓的弦，且N為PQ的中點(diǎn)，可得ON⊥PQ

即在ΔONP中，有：

即：

師總結(jié)：求解軌跡方程的方法有很多種，同學(xué)們應(yīng)認(rèn)真分析題意，作出幾何圖形，簡(jiǎn)化幾何條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題。