淺談“數(shù)形結(jié)合”思想在分?jǐn)?shù)乘除法中的應(yīng)用

周冰

【摘要】“數(shù)形結(jié)合“的思想，指的是在一定的情況下，數(shù)與形之間可以互相轉(zhuǎn)化，相互滲透。讓小學(xué)生初步感受數(shù)形結(jié)合思想，有助于他們對數(shù)學(xué)知識的理解，也有助于鍛煉他們的數(shù)學(xué)思維能力，提高他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在分?jǐn)?shù)乘除法中滲透‘?dāng)?shù)形結(jié)合”思想，有助于加深小學(xué)生對于數(shù)學(xué)計(jì)算方法的理解，提高解決生活中實(shí)際問題的能力。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合 數(shù)學(xué)思維能力 數(shù)學(xué)計(jì)算方法

【中圖分類號】G623.5 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）26-0149-02

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中指出：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。”。而在數(shù)學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”的思想是一種很重要的數(shù)學(xué)思想，它主要指的是數(shù)與形之間的一一對應(yīng)關(guān)系。數(shù)與形是一對既對立又統(tǒng)一的關(guān)系，正如數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，所以這兩者之間是有著密不可分的關(guān)系，在一定的情況下它們可以互相轉(zhuǎn)化，相互滲透。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，正確進(jìn)行整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)的四則計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的基本教學(xué)目標(biāo)之一，而要正確地計(jì)算的前提是要理解相應(yīng)的計(jì)算方法，不僅僅只是要讓學(xué)生掌握“怎么做”，還要讓學(xué)生明白“為什么”。小學(xué)生雖然在高年段時(shí)已經(jīng)初步建立了簡單的數(shù)學(xué)思維體系，但還不是很完善，對于抽象的數(shù)學(xué)文字理解難度仍然較大，如果能夠借助具體的圖形，使圖形與數(shù)量關(guān)系相結(jié)合，則會(huì)有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。其中，最為典型的就是分?jǐn)?shù)的乘除計(jì)算方法和解決問題的探索過程。以下就以北師大版五年級上冊的分?jǐn)?shù)乘除法中的實(shí)際教學(xué)為例，就數(shù)形結(jié)合在北師大版五年級下冊分?jǐn)?shù)乘法和除法中的運(yùn)用和舉例，談一談自己的一些做法和體會(huì)，供大家參考和交流。

在教授北師大版五年級數(shù)學(xué)上冊分?jǐn)?shù)乘法的內(nèi)容時(shí)，我注意到了學(xué)生對于等量關(guān)系有著一些疑惑和難點(diǎn)，主要在于兩個(gè)分?jǐn)?shù)相乘意義的理解，以及兩個(gè)量之間的比較關(guān)系。

例1.=？用一張長方形的紙折一折，想一想，再算一算。

師：同學(xué)們，你們會(huì)計(jì)算上面的式子嗎？

生1：我猜測答案是。

師：能說說你的理由嗎？

生1：我覺得應(yīng)該是分子乘分子，分母乘分母。

師：你可以用我們學(xué)過的方法來驗(yàn)證你的猜想嗎？

生2：補(bǔ)充生1的猜想，我覺得可以像我們之前學(xué)整數(shù)乘分?jǐn)?shù)一樣，先畫圖，再驗(yàn)證。

師：那就來做一下活動(dòng)吧！

活動(dòng)要求：1、拿出一張長方形紙，邊折邊將分?jǐn)?shù)表示出來。

2、在每一個(gè)涂色的步驟后，請你在草稿本上記錄你的折紙和涂色的過程。

（學(xué)生活動(dòng)）

這是我搜集到的兩種做法，我將它們一齊投影展示。（如下圖）

于是學(xué)生便很直觀地可以看到第一種畫圖方法并不能很直觀地表示的意義，并且也無法正確得到算式的結(jié)果，而第二種做法便可以有助于學(xué)生理解表示的其實(shí)就是的，并且會(huì)觀察到圖中重疊部分所占的份數(shù)就是算式的結(jié)果。

【我的思考】學(xué)生對于整數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義有一定的理解，而且能夠通過畫圖得到問題的答案，但對于這類分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)的題目，要理解題目便有些難度。于是在課堂上，我在教材的基礎(chǔ)上，修改了一下，不僅要學(xué)生用一張長方形紙紙來折，并且要他們邊折邊涂顏色，然后我還會(huì)要求他們畫出一個(gè)長方形代表所折紙張，然后讓他們將過程記錄下來。

計(jì)算分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘時(shí)，要把分子相乘作為積的分子，分母相乘作為積的分母，但這并不是一個(gè)計(jì)算守則，而是由結(jié)果反推出來的一種快速計(jì)算方法。所以雖然這個(gè)方法看起來簡單，但要讓學(xué)生真正理解并卻不容易。所以，如果能夠像圖2一樣，先引導(dǎo)學(xué)生在長方形中表示出算式的結(jié)果，再啟發(fā)他們觀察算式的特點(diǎn)，再讓學(xué)生動(dòng)手畫一畫舉例，由此歸納計(jì)算方法，那么也就將難點(diǎn)突破了。

這一段教學(xué)設(shè)計(jì)，雖然我只是小小地改動(dòng)了一下教材的編排，耗費(fèi)了一些時(shí)間，但卻取得了比較好的效果，使得學(xué)生的活動(dòng)不僅僅是停留在了表面，而且是將活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)記錄下來變成更直觀的圖形，這樣有助于學(xué)生之后對分?jǐn)?shù)乘法的理解不用再借助于實(shí)物的“紙”，而是可以根據(jù)頭腦中的“操作”將實(shí)際操作直接轉(zhuǎn)化成“畫圖”，更方便直接。

例2.一個(gè)長方形的長是8厘米，寬是長的，寬是多少厘米？這個(gè)長方形的面積是多少平方厘米？

這一道題目首先考察的是學(xué)生要先算出寬是幾厘米，然后才能對長方形的面積進(jìn)行計(jì)算，學(xué)生可以利用線段圖，先表示出長和寬的關(guān)系，這里的“單位1”是長。

【我的思考】一直以來，由于受到應(yīng)試教育的影響，我國小學(xué)數(shù)學(xué)教育中通常采用的是模仿和理論灌輸?shù)哪Ｊ?，學(xué)生很多時(shí)候根本沒有理解題目，而是采取了死記硬背的方式，未能真正地理解知識點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)習(xí)不扎實(shí)，知識點(diǎn)的掌握流于表面。比如，當(dāng)學(xué)生本單元學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時(shí)，學(xué)生遇到例題的此類題目便一下子就列出了乘法的算式，而并沒有真正地去讀題和理解題目中的等量關(guān)系。這樣一來，時(shí)間一久，學(xué)生便記憶模糊，不能獨(dú)立解題。而且這種刻板的教育方式，學(xué)生對于數(shù)學(xué)的真諦便失去了探索的熱情，并不利于學(xué)生對數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)。所以數(shù)形結(jié)合的方式，可以讓學(xué)生動(dòng)手去尋找題目中的數(shù)量關(guān)系，更便于學(xué)生理解問題和學(xué)習(xí)知識，有效地鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，為學(xué)生提供更好的啟迪，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)的教學(xué)模式的缺陷。所以雖然此類題目簡單，我在課堂中仍然會(huì)培養(yǎng)他們數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問題的方式。

當(dāng)我后面接觸到分?jǐn)?shù)除法時(shí)，我便將這道目進(jìn)行了一個(gè)變式訓(xùn)練，如例3。

例3.一個(gè)長方形的長是8厘米，長是寬的，寬是多少厘米？這個(gè)長方形的面積是多少平方厘米？

【我的思考】先把情境中的已知條件、所求問題以及它們之間的關(guān)系用合適的圖形表示出來，再借助圖形進(jìn)行分析推理，確定解決問題的思路，是小學(xué)數(shù)學(xué)最為常見的策略。所以一般來說，如果能用圖形表達(dá)出來數(shù)量關(guān)系，對于邏輯思維能力偏弱的孩子來說，更有助于激發(fā)他們主動(dòng)探索的愿望。

學(xué)生還可以利用長方形圖來解決一些簡單的數(shù)量關(guān)系，提高解決問題的能力。如例4。

例4.算一算，結(jié)合圖形說一說。

解決這道問題時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生觀察圖形的規(guī)律，找出每個(gè)數(shù)字之間的數(shù)量關(guān)系，他們便會(huì)發(fā)現(xiàn)右方框中的除法算式其實(shí)可以利用長方形圖，轉(zhuǎn)換成能夠直接口算的除法題。

以上舉的是比較典型的分?jǐn)?shù)乘除法中利用“數(shù)形結(jié)合”思想理解乘除法計(jì)算方法和解決問題的例子，綜上所述，數(shù)形結(jié)合的思想是小學(xué)數(shù)學(xué)中研究數(shù)學(xué)不可或缺的一種數(shù)學(xué)思想，它的本質(zhì)就是將抽象的數(shù)字語言與具體的圖形相結(jié)合。要將這種思想運(yùn)用在數(shù)學(xué)中，必須是不斷地啟迪學(xué)生自己去嘗試，去“形”中找“數(shù)”，去“數(shù)”中思“形”，使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，開拓他們的結(jié)題思路，享受解題的喜悅，鍛煉他們的數(shù)學(xué)思維能力，提高數(shù)學(xué)的綜合素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳蕾.讓小學(xué)生感受“數(shù)形結(jié)合”的教學(xué)策略[J].上海教育科研，2016，2：83-87.

[2]李伊丹.數(shù)形結(jié)合法在小學(xué)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的應(yīng)用[J].新西部，2015，（17）：167，172.

[3]曹麗霞.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”方法探析[J].學(xué)周刊，2016，10（30）：123-124.