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    有理數(shù)乘法法則“負(fù)負(fù)得正”的五種教學(xué)法

    2018-08-10 10:29沙稼璐
    關(guān)鍵詞:教學(xué)設(shè)計(jì)

    沙稼璐

    【摘 要】根據(jù)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)7-9年級(jí)數(shù)與代數(shù)部分的教學(xué)要求,筆者查閱各版本初中數(shù)學(xué)教材、初中數(shù)學(xué)及小學(xué)奧數(shù)教輔用書中“負(fù)負(fù)得正”相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)、教法、解法,提出總計(jì)兩個(gè)大類、五種解決方法,有理數(shù)乘法法則。

    【關(guān)鍵詞】課程分析;教學(xué)設(shè)計(jì);有理數(shù)乘法法則;負(fù)負(fù)得正

    【中圖分類號(hào)】G633 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

    【文章編號(hào)】2095-3089(2018)21-0008-02

    引言

    有理數(shù)乘法法則作為初中數(shù)學(xué)課程教育的一大基石,也是初中義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程“數(shù)與代數(shù)”部分的基礎(chǔ)。有關(guān)于有理數(shù)乘法法則教學(xué)設(shè)計(jì)的話題討論經(jīng)久不息,其中對(duì)于“負(fù)負(fù)得正”的討論與設(shè)計(jì)更是匯集了前人無數(shù)智慧并渴望將其解決的。筆者通過查閱,匯總各類初中數(shù)學(xué)版本教材、初中數(shù)學(xué)及小學(xué)奧數(shù)教輔用書中“負(fù)負(fù)得正”相關(guān)的教學(xué)設(shè)計(jì)、教法、解法,提出總計(jì)五種解決方法,希望有理數(shù)乘法中“負(fù)負(fù)得正”這一課程難點(diǎn)教學(xué)提供一些幫助。

    基礎(chǔ)解釋方法:引入現(xiàn)實(shí)問題,建立對(duì)應(yīng)模型。

    數(shù)學(xué)起源于人類早期的生產(chǎn)活動(dòng),可以說數(shù)學(xué)自誕生起便是直接服務(wù)于實(shí)際生活的一門學(xué)科,引入現(xiàn)實(shí)問題,建立對(duì)應(yīng)模型是幫助理解、記憶數(shù)學(xué)原理和規(guī)律最常用的方式,下文通過建立類似“1+1=2”對(duì)應(yīng)“一個(gè)蘋果加一個(gè)蘋果等于兩個(gè)蘋果”,的現(xiàn)實(shí)模型,從現(xiàn)實(shí)問題出發(fā)引入解釋“負(fù)負(fù)得正”。

    導(dǎo)入:乘法法則的初步學(xué)習(xí)中,人教版通過對(duì)“一個(gè)人有兩個(gè)蘋果,那么四個(gè)人有幾個(gè)蘋果?”一類問題的思考進(jìn)行引入,再通過引入兩個(gè)不同的量,人和蘋果,定義乘法并得出:

    2+2+2+2=2×4,得出:2×4=8個(gè)。

    負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中,人教版首先通過“比沒有蘋果還少一個(gè)蘋果”的思考,“0-1=?”的思考進(jìn)行引入,再通過依靠建立具有相反意義的模型,如將今天記為0,明天記為1,得出昨天記為-1,從而解釋了正數(shù)的相反數(shù)——負(fù)數(shù),此部分,通過類似的方法:引入現(xiàn)實(shí)問題,建立對(duì)應(yīng)模型。

    方法一:建立兩組具有相反意義的量的模型

    方法一導(dǎo)入:選取三種生活中的例子,從現(xiàn)實(shí)生活中解釋負(fù)負(fù)得正。提出測(cè)量類模型,運(yùn)動(dòng)類模型,以及“司湯達(dá)之問”的負(fù)債模型共計(jì)三種具有相反意義的量的模型作為參考。

    以上三種模型就本質(zhì)而言均為建立兩組具有相反意義的量進(jìn)行解釋,掌握本質(zhì)后,可以舉出眾多例子。

    測(cè)量型模型:我們通過題目來引入講解:某氣象站測(cè)得海拔每升高1千米,溫度降低0.6度,觀察地點(diǎn)的氣溫是0度;試問:在觀察地點(diǎn)以上2千米的地方氣溫是多少度?觀察地點(diǎn)以下3千米的地方氣溫是多少度?

    規(guī)定,氣溫升高為正,氣溫下降為負(fù)觀察地點(diǎn)以下為負(fù),觀察地點(diǎn)以上為正。

    可知:

    每升高1千米,海拔+1;溫度降低0.6度,溫度-0.6

    每降低1千米,海拔-1;溫度升高0.6度,溫度+0.6

    ①觀察地點(diǎn)以上2千米的地方氣溫是

    (-0.6)×(2)=1.2度

    海報(bào)增加1km溫度變化量×海拔增加千米數(shù) =觀察地點(diǎn)地方氣溫

    ②易得上述問題觀察地點(diǎn)以下3千米的地方氣溫是的算式為:

    (-0.6)×(-3)=1.8度

    總結(jié):建立兩組具有相反意義的量的模型中測(cè)量型模型是一種常見的證明方法。說明過程簡(jiǎn)單易懂。

    運(yùn)動(dòng)類模型:我們同樣通過題目來引入講解:一個(gè)人沿著公路慢跑,一直向東方行走,速度5公里每小時(shí),請(qǐng)問下午4點(diǎn)時(shí),他回頭跑到下午1點(diǎn)所在位置需要奔跑的距離是?

    規(guī)定:選定向東的方向?yàn)檎较?,向西的方向?yàn)樨?fù)方向。

    ①依照時(shí)間的順序,表示為:

    將來的時(shí)間使用正值,表示過去的時(shí)間使用負(fù)值,

    人的初始位置在零點(diǎn),初始時(shí)間也設(shè)定為0。

    依照方向的順序,表示為:

    向右走為正值,向左走為負(fù)值。

    ②下午1點(diǎn)距離下午4點(diǎn)所在的時(shí)間是-3小時(shí)

    每小時(shí)行進(jìn)距離-5公里(向西)

    易知:他距離現(xiàn)在所在位置的距離( -5 ) ×(-3) = 15 公里

    總結(jié):建立兩組具有相反意義的量的模型中運(yùn)動(dòng)類模型是一種不常見的證明方法。說明過程中往往需要運(yùn)用到時(shí)間概念。時(shí)間的概念需要初中物理知識(shí)作為支撐,運(yùn)動(dòng)類模型在各類教材版本中往往出現(xiàn)于課后習(xí)題(如蘇教版、人教版、北師大版等),少見于直接證明。

    負(fù)債模型:

    負(fù)債模型由數(shù)學(xué)見M.kelien正式提出并廣泛為人接受。我們同樣通過題目來引入講解約定:某人每天支出5元人民幣,給定日期4天后,此人負(fù)債20元人民幣。

    ①采取記債:支出5人民幣記為:-5;

    每天支出5人民幣,負(fù)債4天可以數(shù)學(xué)表達(dá):(-5)× 4 = - 20。

    同樣一人每天負(fù)債5人民幣,那么給定日期4天前,他的財(cái)產(chǎn)比給定日期的財(cái)產(chǎn)多20人民幣。

    (-4):表示4天前;

    (-5):表示每天負(fù)債;

    ②那么4天前,此人經(jīng)濟(jì)情況為:(-5)×(-4)=20。

    方法二:建立向量模型,引入數(shù)軸表示法。

    導(dǎo)入:數(shù)軸表示法是小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的一種基本方法,數(shù)軸作為圖形更加直觀,兼顧復(fù)習(xí)已學(xué),聯(lián)系新知識(shí),有承上啟下的作用。因此,運(yùn)用向量模型中的數(shù)軸表示法作為一種數(shù)學(xué)情景的講解不失為一種好的課程教學(xué)辦法。

    數(shù)軸模型:規(guī)定數(shù)軸的正方向?yàn)闁|,負(fù)方向?yàn)槲?一個(gè)人在數(shù)軸的原點(diǎn)處,一2看作向西運(yùn)動(dòng)2米,(一3)×(一2)看作沿反方向(東)運(yùn)動(dòng)2次,結(jié)果向東運(yùn)動(dòng)了6米,

    所以(-3)×(-2)=6.

    〖XC44.JPG;%30%30〗

    數(shù)理邏輯解釋方法:利用已知數(shù)理知識(shí),計(jì)算推導(dǎo)證明結(jié)論

    導(dǎo)入:義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中,學(xué)生學(xué)習(xí)依靠反復(fù)的運(yùn)算和實(shí)踐,將諸如數(shù)學(xué)中的結(jié)合律、分配率等進(jìn)行了強(qiáng)有力的驗(yàn)實(shí),達(dá)到對(duì)對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)計(jì)算方法和運(yùn)算法則的理解。這部分參照國內(nèi)教材,部分修改與調(diào)整,,列舉三種經(jīng)典的針對(duì)初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的數(shù)理邏輯解釋方法,從具體到抽象(純數(shù)字和理論),通過數(shù)學(xué)的計(jì)算推導(dǎo),使用數(shù)理邏輯解釋或者證明“負(fù)負(fù)得正”。

    方法三:使用觀察歸納法證明負(fù)負(fù)得正

    導(dǎo)入:歸納法通過對(duì)現(xiàn)實(shí)的觀察、探索、分析、推理、歸納五個(gè)部分,獲得合情推理得到結(jié)果,是人類認(rèn)識(shí)世界最原始也是最基礎(chǔ)的方式。有關(guān)于“負(fù)負(fù)得正”的問題,在教學(xué)的前期使用歸納法,引入知識(shí)同時(shí)鍛煉學(xué)生的探究意識(shí)。一般的歸納模型作為不完全歸納,并不完整,此處補(bǔ)充觀察歸納方法。

    〖XC45.JPG;%30%30〗

    歸納得出:“當(dāng)乘數(shù)增加1,最后乘積減少2”;“當(dāng)乘數(shù)減少1,最后乘積增加2?!?/p>

    由此寫出右邊算式的結(jié)論。歸納得出:“負(fù)負(fù)得正”這一結(jié)論。

    觀察歸納法需要教師一步步詳細(xì)的指引,朱文芳《初中生函數(shù)概念發(fā)展的研究》一書中,表明58.6%的初一學(xué)生難以使用變化的觀點(diǎn)解決數(shù)學(xué)問題。此類方法出現(xiàn)于部分教材的引入部分。

    方法四:使用分配律證明負(fù)負(fù)得正

    導(dǎo)入:據(jù)北京1969版的數(shù)學(xué)教材,運(yùn)算律分配律作為公理,使用分配率證明負(fù)負(fù)得正。對(duì)于分配率證明負(fù)負(fù)得正,近年的教材中并不再出現(xiàn),究其原因:運(yùn)算律應(yīng)該產(chǎn)生于運(yùn)算之后,使用運(yùn)算律證明運(yùn)算的法則的做法并不可取。此處對(duì)原書中數(shù)學(xué)推理作相關(guān)的修改優(yōu)化,部分用語文字化以降低理解難度,過程如下:

    ①使用構(gòu)造法:

    由:3×(-2)+3×(2)

    =3×[(-2)+2] = 3 × 0 = 0

    所以構(gòu)造有:3 ×(-2)+ 3 ×(2)= 0

    移項(xiàng)有:3 ×(-2)+ 3 ×(2)- [3 ×(2)] = 0 – [3 ×(2)]

    所以有:3 ×(-2)= – [3 ×(2)]

    ②類比以上過程:

    由:(-3) ×(-2)+ (-3) ×(2)

    = (-3) × [(-2)+ 2] = (-3) × 0 = 0

    所以有:(-3) ×(-2)+ (-3) ×(2)= 0

    移項(xiàng)有:(-3) ×(-2)+ (-3) ×(2)- [(-3) ×(2)] = 0 – [(-3) ×(2)]

    所以有:(—3) ×(-2)= – [(-3) ×(2)]

    因?yàn)椋酣C [(-3) ×(2)] = 3 × 2

    所以最終有:(—3) ×(-2)= 3 × 2

    ③由此得出結(jié)論:使用分配律證明負(fù)負(fù)得正??梢钥闯觯C明過程通過 “保持”運(yùn)算律從而得到法則,與正常教學(xué)中運(yùn)算應(yīng)先規(guī)定法則再驗(yàn)證運(yùn)算律不同。

    方法五:使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正

    導(dǎo)入:據(jù)華師版,人教版教材,使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正。相反數(shù)的定義賦予了其在“負(fù)負(fù)得正”數(shù)學(xué)推理中的簡(jiǎn)便,是最常見的數(shù)理邏輯解釋方法。

    ①通過舉例特殊情況下:

    3 × 2 = 3 + 3 = 6;

    (-3) ×2 = (-3) + (-3) = -6;

    通過: (-3) ×2 = (-3) + (-3) = -6;

    (-2) ×3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6;

    - (2 ×3) = - 6;

    由以上三式有結(jié)論:(-3)×2 =(-2) ×3 = - (2 ×3);

    對(duì)負(fù)負(fù)得正的情況: ( -3)×(-2)= -[ 3 ×(-2)] = - [-6] = 6

    ②一般情況下,m、n均為正整數(shù)下,類比特殊情況可以寫出:

    m × n = m + m + m+ … + m 共計(jì)n項(xiàng)

    = mn;

    (-m) ×n = (-m) +(-m)+ …+ (-m) 共計(jì)n項(xiàng)

    = -mn;

    通過:(-m) ×n = (-m) + (-m)+ …+ (-m) 共計(jì)n項(xiàng)

    = -mn;

    (-n) ×m = (-n) + (-n)+ …+ (-n) 共計(jì)m項(xiàng)

    = -mn;

    - (n ×m) = - mn;

    由以上三式有結(jié)論:(-m)×n =(-n) ×m = - (n ×m);

    對(duì)負(fù)負(fù)得正的情況: ( -m)×(-n)= -[ m ×(-n)] = - [-mn] = mn

    ③由此得結(jié)論:( -m)×(-n)= -[ m ×(-n)] = - [-mn] = mn

    特殊情況下即為:( -3)×(-2)= -[ 3 ×(-2)] = - [-6] = 6

    語言敘述為:有理數(shù)乘法中,一個(gè)因數(shù)換成它的相反數(shù),所得乘積為原式子乘積的相反數(shù).

    以上方法經(jīng)歷了特殊到—般再到特殊,具有具體直觀的特點(diǎn),通過歸納和類比,最終達(dá)到使用相反數(shù)證明負(fù)負(fù)得正。

    參考文獻(xiàn)

    [1]龔烈炯.“負(fù)負(fù)得正”教學(xué)再思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考,2008(8).

    [2]中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版). 北京 . 北京師范大學(xué)出版社.

    [3]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì). 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011版)解讀. 北京 . 北京師范大學(xué)出版社.

    [4]馬復(fù).義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(七年級(jí)上冊(cè))[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2005.

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