函數(shù)零點(diǎn)問題的題型歸類及解題策略

甘肅 張自鶴

函數(shù)的零點(diǎn)問題，是高中數(shù)學(xué)中常見的一類問題，縱觀近幾年的高考試卷可發(fā)現(xiàn)，因其考查范圍廣，考查方式靈活，設(shè)計(jì)的題目可淺可深，變化多樣，對學(xué)生思維要求的高低靈活性大，零點(diǎn)問題已越來越頻繁地出現(xiàn)在各類試題之中，試題的考查也已由易變難，呈現(xiàn)方式也越來越靈活多樣.故有必要對函數(shù)的零點(diǎn)問題做一歸類研究，以期對教與學(xué)有所幫助.歸納起來主要有以下幾種類型.

類型一：根據(jù)零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)的位置

利用函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理確定零點(diǎn)所在的位置，是零點(diǎn)問題中最常見的一類題型，其要點(diǎn)是要保證函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，且在這個(gè)區(qū)間兩端點(diǎn)處的函數(shù)值為異號.

( )

A.(0,1)_____________________B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

【分析】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，此類題屬基礎(chǔ)題．

【評注】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判定零點(diǎn)所在的區(qū)間是解決此類問題的基本方法.

【變式訓(xùn)練】已知實(shí)數(shù)a,b滿足2a=3,3b=2，則f(x)=ax+x-b的零點(diǎn)所在的區(qū)間是

( )

A.(-2,-1) B.(-1,0)

C.(0,1) D.(1,2)

答案：B

類型二:根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)的零點(diǎn)

求函數(shù)零點(diǎn)的基本方法：一是求方程f(x)=0在定義域內(nèi)的根，二是求函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【分析】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的求法，其基本思路就是令函數(shù)值為0，進(jìn)而解方程并在其定義域內(nèi)取值即可.

【解析】∵當(dāng)x<0時(shí)，g(x)=f(x)，

∴g(-2)=f(-2)=-ln3．

令y=g(x)+1=0得g(x)=-1，

【評注】本題考查了分段函數(shù)函數(shù)值的計(jì)算，函數(shù)零點(diǎn)的計(jì)算，屬基礎(chǔ)題．

答案：x=-3，x=e2.

類型三：根據(jù)函數(shù)解析式判斷和討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)

判斷和討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù)也是常見的一類問題，此類問題常常是與含參數(shù)的函數(shù)式有關(guān)，其常用的解決方法：一是分類討論，通過研究函數(shù)的單調(diào)性來研究函數(shù)圖象的變化趨勢，進(jìn)而借助數(shù)形結(jié)合思想來解決；二是利用分離參數(shù)法進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，構(gòu)造新函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點(diǎn)問題來解決，一般是轉(zhuǎn)化為一條直線與一條曲線，通過研究新曲線的變化趨勢，然后借助數(shù)形結(jié)合解決.題目屬中等偏難問題.

例3設(shè)a為非負(fù)實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=x|x-a|-a．

(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出零點(diǎn)．

【分析】(Ⅰ)先討論去絕對值，寫成分段函數(shù)，然后分別考慮當(dāng)x≥2時(shí)與當(dāng)x<2時(shí)的單調(diào)區(qū)間；(Ⅱ)討論a的正負(fù)，利用二次函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值與0進(jìn)行比較，再分別判定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

【解析】(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí)，

①當(dāng)x≥2時(shí)，f(x)=x2-2x-2，

∴f(x)在(2，+∞)上單調(diào)遞增；

②當(dāng)x<2時(shí)，f(x)=-x2+2x-2，

∴f(x)在(-∞，1)上單調(diào)遞增，在(1，2)上單調(diào)遞減；

故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，1)和(2，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1，2)．

(Ⅱ)(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x|x|，

函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為x0=0；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，

故當(dāng)x≥a時(shí)，f(x)=x2-ax-a，

∴f(x)在(a，+∞)上單調(diào)遞增，f(a)<0；

當(dāng)x

由x2-ax-a=0解得f(x)的零點(diǎn)為

∵f(a)<0，∴函數(shù)f(x)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，

即有三個(gè)零點(diǎn)，

∴函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為

綜上可得，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)為0；

當(dāng)0

當(dāng)a>4時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)

【評注】求函數(shù)零點(diǎn)的基本方法是解方程f(x)=0的根，并在其定義域內(nèi)取值，有時(shí)還需要先利用數(shù)形結(jié)合來判斷根的個(gè)數(shù)及根的情形，然后再解方程取值.

(Ⅱ)討論函數(shù)y=f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

類型四：根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍

此類問題近年來頻頻出現(xiàn)在高考試卷中，考查題型也已由選擇題、填空題逐步過渡為解答題，解決這類問題的基本思路是通過研究函數(shù)的單調(diào)性，借助數(shù)形結(jié)合思想來解決；常用方法一是分類討論法；二是分離參數(shù)法.

例4(2017·全國卷Ⅰ理·21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【解析】(Ⅰ)f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)·(2ex+1)(x∈R).

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)=(aex-1)(2ex+1)<0恒成立，故函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減.

②當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)=(aex-1)(2ex+1)=0

得x=-lna，

當(dāng)x∈(-∞,-lna)時(shí),f′(x)<0;

當(dāng)x∈(-lna,+∞)時(shí),f′(x)>0.

故而可得函數(shù)在(-∞,-lna)單調(diào)遞減，

在(-lna,+∞)單調(diào)遞增.

(Ⅱ)(ⅰ)若a≤0,∵函數(shù)f(x)在R上遞減,

則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).

(ⅱ)若a>0由(Ⅰ)可知，

故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；

故函數(shù)f(x)沒有零點(diǎn)；

即極小值小于0，

又f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0，

故f(x)在(-∞,-lna)有一個(gè)零點(diǎn).

則f(n0)=en0(aen0+a-2)-n0>en0-n0>0.

因此f(x)在(-lna,+∞)有一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，a的取值范圍為(0,1).

【評注】函數(shù)零點(diǎn)問題常?？膳c相應(yīng)方程的實(shí)根問題相互轉(zhuǎn)化.已知函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍，第一種方法是直接對含參函數(shù)進(jìn)行研究，研究其單調(diào)性、極值、最值，注意點(diǎn)是若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)先減后增，則只需其最小值小于0，且還需驗(yàn)證在最小值兩邊存在大于或等于0的點(diǎn)，反之亦然.第二種方法是分離參數(shù)法，構(gòu)造一個(gè)不含參數(shù)的函數(shù)，進(jìn)而研究新函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，并判斷y=a與其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，從而求出a的范圍.

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

類型五：證明與零點(diǎn)有關(guān)的不等式

證明與零點(diǎn)有關(guān)的不等式問題常常是與函數(shù)的雙零點(diǎn)有關(guān)的不等式，其類型主要是與雙零點(diǎn)的和，積，商等形式有關(guān)的不等式，其常用的解決方法：一是合理轉(zhuǎn)化進(jìn)行等價(jià)變形；二是構(gòu)造出輔助函數(shù)，通過研究該函數(shù)的單調(diào)性來證明.

例5(2016·全國卷Ⅰ理·21)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn),證明：x1+x2<2.

【分析】對(Ⅰ)可繼續(xù)沿用例4的方法，先求導(dǎo)，進(jìn)而對參數(shù)進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)f(x)的大致圖象，進(jìn)而得到f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)的條件.本題也可通過分離參數(shù)法將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題來解.對(Ⅱ)可借助第(Ⅰ)問的結(jié)論來證明，由于不能求出f(x)的表達(dá)式，從而問題的關(guān)鍵是將x1+x2<2的證明轉(zhuǎn)化為證明f(x1)>f(2-x2)，進(jìn)而構(gòu)造出輔助函數(shù)h(x)=f(x)-f(2-x)，通過研究h(x)的單調(diào)性得到問題的證明.

【解析】(Ⅰ)本例我們用分離參數(shù)法來解決.

令f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0，

當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=-e≠0，∴x=1不是f(x)的零點(diǎn)；

可知當(dāng)x<1時(shí)，g′(x)>0，g(x)>0；

∴g(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0，而g(x)∈R；

畫出g(x)的簡圖可得，欲使直線y=a與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則只需a>0即可.

綜上可得，a的取值范圍為(0,+∞)．

(Ⅱ)不妨設(shè)x1

x1∈(-∞,1),x2∈(1，+∞),2-x2∈(-∞,1)，

∵f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減，

從而將x1+x2<2的證明轉(zhuǎn)化為證明f(x1)>f(2-x2)(x2>1)，又f(x1)=f(x2)=0，

從而問題可轉(zhuǎn)化為證明f(x2)>f(2-x2)，

證明如下：

令h(x)=f(x)-f(2-x)，

代入可得h(x)=(x-2)ex+xe2-x，

則h′(x)=(x-1)(ex-e2-x)，

∴當(dāng)x>1時(shí)，h′(x)>0，∴h(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增，

故當(dāng)x>1時(shí)，h(x)>h(1)=0，

從而有f(x)>f(2-x)，也即f(x1)>f(2-x2)，

∵f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減，故x1+x2<2.

【評注】對于含有參數(shù)的函數(shù)的零點(diǎn)問題,通常要根據(jù)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論或分離參數(shù)后研究新函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而借助數(shù)形結(jié)合來解決；而解決函數(shù)不等式證明問題的思路則是通過適當(dāng)轉(zhuǎn)化后，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或極值來破解.

【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=lnx-cx(c∈R).

(Ⅰ)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1，x2，求證：x1·x2>e2．