透視數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 加強(qiáng)試題命制探究

江蘇 郭建華

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“命題就是依據(jù)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)達(dá)成水平的評(píng)價(jià)，在處理好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與知識(shí)技能的關(guān)系的同時(shí)，充分考慮對(duì)教學(xué)的積極引導(dǎo)作用.”因此，試題的編制既要求關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思考、情感態(tài)度、個(gè)別差異，還要求關(guān)注命題素材的生活性、學(xué)段內(nèi)容的整合性等，多維度、準(zhǔn)確地評(píng)價(jià)學(xué)生，促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，讓不同層次的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.始終以學(xué)生發(fā)展為本，落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù)，培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).2017年4月，上海市教委在全國(guó)率先發(fā)布了《上海市中小學(xué)教師專業(yè)(專項(xiàng))能力提升計(jì)劃》，明確提出了命題能力是中小學(xué)教師的一項(xiàng)重要能力.因此，命題不但是一項(xiàng)理論性與技術(shù)性都十分強(qiáng)的工作，而且是踐行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑之一.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是六個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).它主要包括：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，選擇運(yùn)算方法，設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求得運(yùn)算結(jié)果等.同時(shí)還指出通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成程序化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.因此，高中數(shù)學(xué)試題的命制不但要遵循命題原則，而且還要通過(guò)試題命制透視數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵和水平.

下面，筆者結(jié)合自己的認(rèn)知和實(shí)踐，從數(shù)學(xué)運(yùn)算的視角借助一些典型的例題談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)試題命制的一些思考.

一、踐行數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng) 選擇命題視角

1.理解運(yùn)算對(duì)象，注重?cái)?shù)學(xué)思維訓(xùn)練

【例1】已知函數(shù)f(x)=x2-mx+m-1，存在整數(shù)a,b(其中a,b是常數(shù)，且a

依據(jù)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的水平劃分，運(yùn)算對(duì)象要賦予它存在的環(huán)境，根據(jù)不同的數(shù)學(xué)情景把運(yùn)算劃分為三個(gè)水平，即能夠在熟悉的數(shù)學(xué)情境中了解運(yùn)算對(duì)象；能夠在關(guān)聯(lián)的情境中確定運(yùn)算對(duì)象；能夠在綜合的情境中，把問題轉(zhuǎn)化為運(yùn)算問題，確定運(yùn)算對(duì)象和運(yùn)算法則，明確運(yùn)算方向.每個(gè)運(yùn)算水平對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練的要求是不一樣的，因此，試題的編制一定要以運(yùn)算素養(yǎng)的三個(gè)水平為依據(jù)，創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)那榫埃寣W(xué)生探尋運(yùn)算對(duì)象，識(shí)別運(yùn)算對(duì)象，理解運(yùn)算對(duì)象，在理解運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生思維，提升學(xué)生分析問題和解決問題的能力.例1的運(yùn)算對(duì)象應(yīng)指向二次不等式a≤f(x)≤b，該不等式不是被“解”出來(lái)的，而是要求學(xué)生綜合“分析”二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)一步尋找“算”的對(duì)象，找到它的等價(jià)形式，進(jìn)而確定運(yùn)算對(duì)象.通過(guò)理解運(yùn)算對(duì)象，揭示知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的深化過(guò)程，充分體現(xiàn)“少算多思”的命題理念.

2.掌握運(yùn)算方向，突出通性通法考查

問題原型源自蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)5(必修)》第63頁(yè)“思考·運(yùn)用”第11題.

在等差數(shù)列{an}中，已知Sp=q，Sq=p(p≠q)，求Sp+q的值.

高考數(shù)學(xué)試題很大一部分源自教材，以基礎(chǔ)知識(shí)、基本能力、基本思想方法為考查重點(diǎn)，特別是運(yùn)算更注重通性通法的考查，充分體現(xiàn)教材的基礎(chǔ)性作用，讓命制的試題有根可尋.試題的命制盡量貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，通過(guò)對(duì)運(yùn)算方向的探尋，促進(jìn)學(xué)生掌握解題的基本知識(shí)，提升解題的基本技能，豐富解題的基本經(jīng)驗(yàn).

由于該題涉及到字母的運(yùn)算，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維能力提出了更高的要求，增加了對(duì)運(yùn)算方向選擇的難度.該題具有明顯的區(qū)分度，能較好的甄別學(xué)生知識(shí)的掌握程度，更能突出考查學(xué)生的運(yùn)算能力.

3.探究運(yùn)算思路，追求解法自然多樣

問題原型源自2015年高中聯(lián)賽四川賽區(qū)預(yù)賽試題.

在新課程理念的指導(dǎo)下，試題的命制一定要突出能力立意，具有豐富的背景，同時(shí)融合數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念，而數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題具有這些特點(diǎn)，它重在考查學(xué)生能力，因此，通過(guò)對(duì)競(jìng)賽試題的研究，結(jié)合新課程理念和高考的要求，將其改編并降低難度，也是很好的一個(gè)命題的途徑.另外試題的命制，要充分考慮個(gè)體的差異，做到試題入口寬，解法自然多樣，讓更多的學(xué)生都有求解的想法和運(yùn)算的思路，通過(guò)對(duì)運(yùn)算思路的選擇和比較，以及運(yùn)算時(shí)間的多少，可以甄別學(xué)生運(yùn)算能力的差異，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)試題的考查功能.

解法1是將原問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題，通過(guò)觀察該函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，進(jìn)而迅速求解.解法2是借助于二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.解法3是利用換元將無(wú)理式化為有理式，充分考慮到式子的幾何意義，再借助線性規(guī)劃的知識(shí)求解.解法1的求解最為簡(jiǎn)單，它建立在很明顯的可以判斷出函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)上，否則應(yīng)選擇其他解題方法，解法3雖然繁瑣一點(diǎn)，但是它是求解這類問題的通法.由解法3我們可以看出該類問題更本質(zhì)的東西，同時(shí)也尋求到命題的根源和依據(jù)就是a2+b2=4，不僅能從它的幾何意義的視角命制試題，還可以從它的代數(shù)式結(jié)構(gòu)編制試題，力爭(zhēng)在融合新課程理念的同時(shí)，關(guān)注區(qū)分度和體現(xiàn)創(chuàng)新性.探究運(yùn)算思路是數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)內(nèi)涵的具體表現(xiàn)之一，其目的是培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力.

4.設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，深化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)

問題原型源自蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)4(必修)》第101頁(yè)“思考·運(yùn)用”第11題(2).

處理三角形中的角的問題，其程序化思維的過(guò)程應(yīng)為：首先判斷三角形的內(nèi)角是銳角還是鈍角，再利用三角形中的三角函數(shù)關(guān)系求解.如果出現(xiàn)多解問題，再利用第三個(gè)角的正弦值檢驗(yàn)即可.當(dāng)然判斷方法不止一種，不管哪種方法，都要設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，試題編制時(shí)要追求解題過(guò)程的簡(jiǎn)潔明了，要為學(xué)生提供探究解決問題的程序化思維的素材，要深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學(xué)生的思維.高考的很多題目都源自于教材例習(xí)題的簡(jiǎn)單變式、重組或拓展，或者對(duì)教材內(nèi)容的遷移等.因此，教師要回歸教材，把教材作為一種重要的命題資源，認(rèn)真研究教材例習(xí)題，充分發(fā)揮教材例習(xí)題的導(dǎo)向功能.數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵和水平劃分中明確指出：通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成程序化思考問題的品質(zhì)，在交流中，能夠用程序化的思想理解與表達(dá)問題，構(gòu)造運(yùn)算程序，解決問題，也為命制設(shè)計(jì)運(yùn)算程序的題目提供更多的參考指標(biāo).

5.選擇運(yùn)算方法，提高問題解決能力

選擇恰當(dāng)?shù)拿}視角和適宜學(xué)生思維發(fā)展的素材來(lái)命題，為學(xué)生搭建更多思維的平臺(tái)，能夠選擇更多的運(yùn)算方法，拓展學(xué)生的思維，深化學(xué)生的理解，提升學(xué)生解決問題的能力.凸顯出試題考查的功能，依據(jù)運(yùn)算水平的劃分，讓不同的解法透視出不同層次學(xué)生對(duì)問題的理解，以此甄別學(xué)生的學(xué)習(xí)水平.

解法1對(duì)學(xué)生的思維要求較高，需要學(xué)生通過(guò)對(duì)試題結(jié)構(gòu)的分析和模式的識(shí)別，把解題方法指向基本不等式，需要連續(xù)兩次使用基本不等式，兩次等號(hào)取得的條件要保持一致是解題的關(guān)鍵，其解法更符合“多想少算”的命題基本原則.解法2通過(guò)題設(shè)條件結(jié)構(gòu)聯(lián)想到三角換元，再利用同角的三角函數(shù)關(guān)系(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα進(jìn)行換元，把雙變量函數(shù)最值問題轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)最值問題，最后化歸為學(xué)生熟悉的分式函數(shù)求最值問題，更能體現(xiàn)出學(xué)生的創(chuàng)新能力.解法3通過(guò)分析條件和目標(biāo)的差異，觀察字母m,n的次數(shù)，對(duì)目標(biāo)平方處理，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題.后兩種運(yùn)算方法都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，通過(guò)試題情景的設(shè)置，為學(xué)生尋找運(yùn)算方法提供方向，不斷地讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為以后解題選擇好的運(yùn)算方法做鋪墊.

二、加強(qiáng)運(yùn)算命題探究 促進(jìn)教學(xué)研究

數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，提升學(xué)生的運(yùn)算能力依然是一線數(shù)學(xué)教師值得探索和思考的課題.教師平時(shí)的教學(xué)中不但要關(guān)注學(xué)生運(yùn)算的培養(yǎng)，而且還要加強(qiáng)運(yùn)算命題的研究，深刻理解數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵.不斷豐富教學(xué)內(nèi)容，拓展專業(yè)修養(yǎng)，開展創(chuàng)造性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力.

1.實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)效果最優(yōu)化

根據(jù)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵和水平劃分，如何通過(guò)題目命制達(dá)到測(cè)試所能實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，如何從命題評(píng)價(jià)的視角來(lái)指導(dǎo)教師的教學(xué)觀念和方法，如何在解題教學(xué)中呈現(xiàn)解題目標(biāo)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)，提升運(yùn)算能力，如何從命題和評(píng)價(jià)的角度看待學(xué)生的運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)效益最大化等，這些都要?dú)w結(jié)為加強(qiáng)運(yùn)算命題的研究，同時(shí)進(jìn)一步探究高中數(shù)學(xué)命題與課堂教學(xué)的相關(guān)性，特別是對(duì)學(xué)生運(yùn)算的指導(dǎo)，如果教師知道怎么命題，就能抓住問題本質(zhì)，不會(huì)只是就題論題，這樣才能讓教師的教和學(xué)生的學(xué)更為合理有效，甚至高效，為課堂教學(xué)有效性提供理論支撐和方法指導(dǎo).

2.實(shí)現(xiàn)課堂訓(xùn)練實(shí)效最大化

很多高中生的運(yùn)算能力還是比較弱的，具體表現(xiàn)在運(yùn)算對(duì)象的理解，運(yùn)算法則的掌握，運(yùn)算思路的探究，運(yùn)算方法的選擇，運(yùn)算程序的設(shè)計(jì)等，運(yùn)算能否優(yōu)化直接影響解題的速度和準(zhǔn)確率.因此，在課堂訓(xùn)練中應(yīng)積極關(guān)注學(xué)生運(yùn)算素養(yǎng)的培養(yǎng)，為運(yùn)算命題的研究提供更多的素材.課堂上教師如果能利用掌握的命題技術(shù)和方法，對(duì)試題進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖兪酵卣购脱由焯骄?，引領(lǐng)學(xué)生深度思考，這樣既能使學(xué)生對(duì)知識(shí)有深層次的理解，又能讓學(xué)生在探索的過(guò)程中學(xué)會(huì)選擇科學(xué)的運(yùn)算方法，發(fā)現(xiàn)其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)方法和規(guī)律，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，進(jìn)而將運(yùn)算素養(yǎng)真正的落在課堂上，實(shí)現(xiàn)課堂效益的最大化，更有利于擺脫題海戰(zhàn)術(shù).

3.實(shí)現(xiàn)命題評(píng)價(jià)方法最優(yōu)化

加強(qiáng)運(yùn)算命題的研究，最后還要指向命題的評(píng)價(jià)，讓命題的評(píng)價(jià)方法達(dá)到最優(yōu)化，為教師的教和學(xué)生的學(xué)帶來(lái)更多的幫助和指導(dǎo)，也為運(yùn)算命題研究帶來(lái)更多的思考.但是大部分教師平時(shí)的命題還是停留在經(jīng)驗(yàn)的層面上，僅憑感覺去命題，至于題目所考查的功能如何、難度如何、信度如何、效度如何、價(jià)值如何等，并沒有過(guò)多的思考，另外，很多考試大部分存在這樣一種現(xiàn)象：只管測(cè)不管評(píng).對(duì)教師而言最重要的是測(cè)試數(shù)據(jù)的分析，通過(guò)測(cè)試后對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)的解讀，指明學(xué)生知識(shí)的掌握程度，為教師以后的教學(xué)帶來(lái)決策和依據(jù).可見解讀測(cè)試數(shù)據(jù)和重視命題的評(píng)價(jià)是命好試題的前提.

三、結(jié)束語(yǔ)

本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度“教師發(fā)展研究專項(xiàng)”課題“高中數(shù)學(xué)教師命題評(píng)價(jià)能力培訓(xùn)的實(shí)踐研究”(編號(hào)：J-c/2016/12)及南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2016年度立項(xiàng)課題“基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的高中生問題提出能力的研究”(編號(hào)：L/2016/076)的階段性研究成果之一.