另辟蹊徑，巧妙解題

湖南省株洲市茶陵縣第三中學(xué) 羅軍明

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們遇到了許多種較難的數(shù)學(xué)試題。從直觀的方法解有一定的困難，但我們可以從另一個角度通過技巧性轉(zhuǎn)化把問題簡單化、形象化。本文就對此類問題解述幾種方法。

一、巧用幾何方法，妙解數(shù)列題型

此種方法是利用幾何方法解決代數(shù)問題，關(guān)鍵是找到問題的突破口。

例1 等差數(shù)列{an}中，已知求am+n。

分析：若用一般方法，需列方程組，設(shè)未知數(shù)、消元，較復(fù)雜。下面利用幾何方法試一試，等差數(shù)列的通項公式是一個關(guān)于n的一次式，其圖象是直線上的一系列點。如圖示：

點A(n，an)與點B(m，am)，即點A(n,m)與點B(m,n)兩點關(guān)于y=x對稱。所以kAB=-1，AB方程為：

所以求am+n即求當x=m+n時，y的值，此時y=-(m+n)+m+n=0，

所以am+n=0。

二、適當轉(zhuǎn)換，變更主元，巧妙解題

此種解法在于變更主元，充分利用已知條件，經(jīng)過適當?shù)霓D(zhuǎn)化，從另外的角度來解決問題，使問題變得簡單、明朗化。

例2 設(shè)不等式（2x-1）＞m(x2-1)對滿足的一切實數(shù)m恒成立，求x的范圍。

分析：若采用一般方法分類討論，則過程很復(fù)雜。下面我變更主元，把m看作未知數(shù)，化為關(guān)于m的一次函數(shù)，會使問題簡單易懂。

要使f(m)＜0在m∈[-2,2]上恒成立，則有：

三、通過三角代換，巧求最值

此種方法主要涉及多元函數(shù)中求最值，由于多元函數(shù)的難點在于它多元，因此，化多元函數(shù)為一元函數(shù)是解決多元函數(shù)最值問題的重要途徑之一，而三角代換是化多元為一元最常用的方法。

分析：聯(lián)想到cos2θ+sin2θ=1進行三角代換。

四、巧構(gòu)公式模型，借石攻玉

該方法主要利用我們熟悉的公式及模型，從問題的條件出發(fā)，通過一定的轉(zhuǎn)化達到借石攻玉的效果。

A.橢圓 B.拋物線 C.雙曲線 D.圓

解析：從問題的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，注意到題目自身（或隱含）的幾何性質(zhì)進行廣泛聯(lián)想，構(gòu)造一個與條件或問題相關(guān)的數(shù)學(xué)模型?！皵?shù)”中覓“形”，另辟蹊徑，實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化，則會出奇制勝。根據(jù)代數(shù)式的幾何意義便可建立模型，將數(shù)轉(zhuǎn)化為形。方程變?yōu)?，左邊可看作點P（x,y）到原點的距離，右邊則為點P（x,y）到直線3x+4y-12=0的距離，而這正好符合拋物線的定義，故選擇B。