數(shù)學(xué)物理方程本科教學(xué)改革初探

耿永才

摘要：數(shù)學(xué)物理方程是聯(lián)系理論數(shù)學(xué)與物理的一座橋梁，它主要是研究物理學(xué)、工程技術(shù)領(lǐng)域的偏微分方程類(lèi)型及其解法的一門(mén)課程。作者作為一個(gè)工科為主的高校教師結(jié)合自身本科教學(xué)經(jīng)驗(yàn)與體會(huì)，針對(duì)該門(mén)課程內(nèi)容多、難度大的特點(diǎn)，對(duì)該門(mén)課程的教學(xué)改革進(jìn)行了一些探索。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)物理方程；本科教學(xué)；教學(xué)改革；教學(xué)效果

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）26-0119-02

數(shù)學(xué)物理方程就是利用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)一些物理現(xiàn)象和過(guò)程進(jìn)行數(shù)學(xué)建模得到的一些偏微分方程，繼而對(duì)這些方程在一定的初始條件和邊界條件下進(jìn)行求解，并且研究解的唯一性、穩(wěn)定性等性態(tài)的一門(mén)課程。由于實(shí)際的物理過(guò)程依賴的變量不止一個(gè)，所以增加了問(wèn)題的難度。但是從另外一個(gè)角度也反映了實(shí)際問(wèn)題的物理背景，具有很強(qiáng)的應(yīng)用性。

對(duì)一些工科為主的本科生而言，數(shù)學(xué)物理方程的教學(xué)內(nèi)容一般包括：三大經(jīng)典方程：波動(dòng)方程（雙曲）、熱傳導(dǎo)方程（拋物）、調(diào)和方程（橢圓）的數(shù)學(xué)建模及其適定性問(wèn)題的解法；二元偏微分方程的分類(lèi)與化簡(jiǎn)。它是《數(shù)學(xué)分析》、《常微分方程》、《復(fù)變函數(shù)》的后續(xù)課程，是公認(rèn)的難教、難學(xué)課程。原因主要有以下幾個(gè)：（1）數(shù)學(xué)知識(shí)要求高，在數(shù)學(xué)建模、理論分析和解題時(shí)要用到很多數(shù)學(xué)理論知識(shí)。（2）綜合性較強(qiáng)，除了上述數(shù)學(xué)知識(shí)，還要用到熱、光、電、力、磁等多門(mén)學(xué)科知識(shí)。（3）思維方法靈活，很多學(xué)生數(shù)學(xué)、物理兩個(gè)學(xué)科學(xué)的都還可以，但欠缺結(jié)合二者解決實(shí)際問(wèn)題的能力。綜合以上問(wèn)題，筆者提出這門(mén)課程教學(xué)改革的一些想法。

一、講授新課之前布置相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)作業(yè)，促進(jìn)預(yù)習(xí)效果

由于數(shù)學(xué)物理方程的一些內(nèi)容常常需要數(shù)學(xué)知識(shí)，例如，三類(lèi)方程的建模過(guò)程需要二元函數(shù)微分學(xué)中值定理、第二類(lèi)曲面積分、三重積分、微元法和高斯公式、格林公式等場(chǎng)論公式；再比如，在講授分離變量時(shí)

如果令（x，t）=X（x）T（t），把此表達(dá)時(shí)代入問(wèn)題（1），我們需要求解兩個(gè)特征問(wèn)題

這兩個(gè)方程都是二階常系數(shù)常微分方程。如果不做任何課前預(yù)習(xí)，學(xué)生上課時(shí)就很容易因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)欠缺，從而覺(jué)得所講內(nèi)容晦澀難懂。所以為了提高課堂效率，教師可以在講授這些內(nèi)容之前，提前布置一些與這些知識(shí)點(diǎn)相關(guān)的數(shù)學(xué)作業(yè)，這樣就可以避免課堂講授時(shí)學(xué)生反應(yīng)遲緩、課堂效果不佳等現(xiàn)象。通過(guò)幾年的教學(xué)效果看，有沒(méi)有重點(diǎn)復(fù)習(xí)相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)物理方程的學(xué)習(xí)效果影響很大。

二、教學(xué)方法提倡時(shí)時(shí)處處理論結(jié)合實(shí)際

由于數(shù)學(xué)物理方程是一門(mén)與實(shí)際生活密切相關(guān)的學(xué)科，所以在講解一些理論問(wèn)題時(shí)，如果能夠理論結(jié)合實(shí)際，會(huì)讓學(xué)生更容易接受這些知識(shí)。例如，在講解弦振動(dòng)方程初邊值問(wèn)題的解時(shí)（比如問(wèn)題（1）的解），我們知道（1）的解為：

從這個(gè)公式可以看出，該解是不同頻率波的疊加。所以這個(gè)時(shí)候可以通過(guò)舉一些彈吉他、古箏的例子，引導(dǎo)學(xué)生感覺(jué)不同的邊界條件（琴弦兩端的固定情況）、不同的初值（開(kāi)始撥動(dòng)琴弦時(shí)力度的大小等狀況）都會(huì)對(duì)解產(chǎn)生影響（音色不同）。再比如在講授熱傳導(dǎo)方程的極值原理時(shí)，極值原理大致可以描述為：熱傳導(dǎo)方程解的最大（?。┲翟诰匦斡虻膫?cè)邊界和底邊取得。這時(shí)可以舉一些實(shí)際生活中的例子，例如，一個(gè)盛放炭火或冰塊的矩形容器，最熱或者最冷的地方就在它的側(cè)邊界和底部產(chǎn)生。這些現(xiàn)象通過(guò)人們的觸覺(jué)就可以感知，因此可以增加學(xué)生的信服力，并不是空洞的理論教條。

三、改革考核方式

數(shù)學(xué)物理方程常用的考核方式就是學(xué)期末的閉卷考試，這種考核直接簡(jiǎn)單，但是不能很好地反映出學(xué)生的平時(shí)學(xué)習(xí)情況。所以如果把課堂提問(wèn)、習(xí)題課講授、平時(shí)作業(yè)和卷面成績(jī)結(jié)合起來(lái)會(huì)更客觀和公平地反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。具體來(lái)講：

1.在講授課本內(nèi)容時(shí)，適時(shí)提問(wèn)學(xué)生回答問(wèn)題，既可以增加學(xué)生上課的專(zhuān)注度，又可以活躍課堂氣氛。

2.在講授習(xí)題課時(shí)，可以提前分組，讓每組派代表上臺(tái)給大家講解，這樣既可調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性，也會(huì)增強(qiáng)同學(xué)們之間的合作精神。

3.做作業(yè)是復(fù)習(xí)課堂重點(diǎn)、鞏固所學(xué)內(nèi)容的最好方法，但是難免會(huì)出現(xiàn)抄襲的情況，為減少此情況的發(fā)生，可以每次布置一些附加題，例如可以總結(jié)本章的重點(diǎn)和難點(diǎn)、比較幾類(lèi)方程解的不同和三類(lèi)方程分離變量法的不同等。再比如在講解分離變量法時(shí)，一般重點(diǎn)講述問(wèn)題（2），在布置作業(yè)時(shí)，就可以讓學(xué)生求出所有邊界條件下的特征函數(shù)。

這些作業(yè)不必要求每個(gè)同學(xué)都必須做，但是做得好的同學(xué)會(huì)增加平時(shí)分。這樣以來(lái)會(huì)極大地促進(jìn)成績(jī)好的同學(xué)的學(xué)習(xí)動(dòng)力，同時(shí)對(duì)平時(shí)學(xué)習(xí)不怎么用心的同學(xué)也會(huì)起到激勵(lì)作用。

以上三種考核平時(shí)成績(jī)的辦法再結(jié)合期末考試就能更真實(shí)地反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，繼而促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。

參考文獻(xiàn)：

[1]谷超豪，李大潛，等.數(shù)學(xué)物理方程[M].第三版.高等教育出版社，2012.

[2]吳崇試.數(shù)學(xué)物理方法（修訂版）[M].第一版，高等教育出版社，2015.