求曲線方程的課例研修與教學(xué)再探

吳沛東 潘康林 陳明富

摘 要 函數(shù)是高中后續(xù)課程導(dǎo)數(shù)的研究對(duì)象，是高中教學(xué)的重點(diǎn)之一。借助建系，引導(dǎo)學(xué)生用集合觀點(diǎn)理解曲線方程的思想，進(jìn)而找出曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系。牢記求曲線方程的一般步驟，遵循建系原則，通過(guò)反復(fù)磨課與點(diǎn)評(píng)，作為老師在授課“求精”層次獲得歷練與提升，作為學(xué)生在聽(tīng)課“到位”層次得到知新與拓展。以眾多題例與變式的引入，旨在打造高中生函數(shù)問(wèn)題解決能力的提高，重在錘煉老師用解析法求曲線方程的教學(xué)行為。

關(guān)鍵詞 高中教學(xué)；曲線方程；問(wèn)題解決；教學(xué)行為

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）36-0186-03

函數(shù)作為學(xué)生高考的重要內(nèi)容，幾乎貫穿了整個(gè)數(shù)學(xué)高考試卷，函數(shù)的教學(xué)質(zhì)量可以說(shuō)是直接關(guān)系著學(xué)生的高考數(shù)學(xué)成績(jī)。而曲線方程作為函數(shù)中的一項(xiàng)重要組成部分，是函數(shù)問(wèn)題由簡(jiǎn)單過(guò)渡到復(fù)雜的分界線，也是學(xué)生未來(lái)學(xué)習(xí)函數(shù)的基礎(chǔ)。因此，在這種情況下，我們就需要重視函數(shù)曲線方程的教學(xué)質(zhì)量，運(yùn)用合適的教學(xué)方法來(lái)提高學(xué)生的曲線方程學(xué)習(xí)水平。

一、教材分析

（一）教材地位和作用

“求曲線的方程”是人教A版選修2-1《圓錐曲線與方程》的重點(diǎn)內(nèi)容之一，是在介紹了“直線的方程”之后，對(duì)一般曲線（也包括直線）與二元方程的關(guān)系作進(jìn)一步的研究。這部分內(nèi)容從理論上揭示幾何中的“形”與代數(shù)中的“數(shù)”相統(tǒng)一的關(guān)系，為后續(xù)圓錐曲線的研究作先期鋪墊，為“形”與“數(shù)”的相互轉(zhuǎn)化開(kāi)辟了途徑，同時(shí)體現(xiàn)解析幾何的基本思想，豐富了解析幾何的理論內(nèi)涵[1]。

（二）教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法。

難點(diǎn)：在理解層面，曲線和方程的概念比較抽象，高二生抽象思維能力還不是很強(qiáng)，他們對(duì)曲線和方程關(guān)系的“純粹性”與“完備性”的理解不夠明晰，弄不清它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，易產(chǎn)生“為什么要規(guī)定這樣兩個(gè)關(guān)系”的疑問(wèn)。所以，對(duì)概念的理解，尤其“兩個(gè)關(guān)系”是認(rèn)知難點(diǎn)。

二、研修背景

自2010年以來(lái)，數(shù)學(xué)組骨干教師每學(xué)期都要進(jìn)行“問(wèn)題解決的數(shù)學(xué)課堂”的主題式課例研修。研修依據(jù)行動(dòng)教育（以課例為載體、以問(wèn)題為抓手，在教學(xué)行動(dòng)中開(kāi)展包括專業(yè)理論學(xué)習(xí)在內(nèi)的教學(xué)研修活動(dòng)規(guī)范式的探索），以課堂為目標(biāo)，以校本研修為路徑，收獲了“品?為師、學(xué)?為師、高?為師、勝?為師、樂(lè)?為師”課例研修成果和“研修范式”經(jīng)驗(yàn)。研修行動(dòng)證明：課例研修是教師學(xué)會(huì)教學(xué)、提升效果、強(qiáng)化學(xué)科建設(shè)的捷徑，能夠?qū)崿F(xiàn)教師發(fā)展、教學(xué)改進(jìn)、質(zhì)量提高的共贏。

三、課例研修實(shí)施階段

（一）第一輪課堂實(shí)錄

[幻燈片2]

（1）求曲線的方程

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解求曲線方程的步驟；2.會(huì)求簡(jiǎn)單曲線的方程。

[幻燈片3]

回顧：

證明曲線C和二元方程f（x，y）=0的對(duì)應(yīng)關(guān)系，必須同時(shí)具備哪兩個(gè)條件？請(qǐng)用文字語(yǔ)言敘述后，用數(shù)學(xué)（符號(hào)）語(yǔ)言描寫。

1.若P（x0，y0）∈C，則f（x0，y0）=0成立

2.若f（x0，y0）=0，則P（x0，y0）∈C

[幻燈片4]

例已知一條直線l和它上方的一個(gè)點(diǎn)F，點(diǎn)F到l的距離是2，一條曲線也在l的上方，它上面的每一點(diǎn)到F的距離減去到l的距離的差都是2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求這條曲線的方程。

[幻燈片5]

圖1

解：如圖1，取直線l為x軸，過(guò)點(diǎn)F且垂直于直線l的直線為y軸，建坐標(biāo)系xOy。

設(shè)點(diǎn)M（x，y）是曲線上任意一點(diǎn)，作 軸于B，那么點(diǎn)M屬于集合

由兩點(diǎn)間的距離公式，得 ，移項(xiàng)兩邊平方得 。

化簡(jiǎn)整理得 ，因?yàn)榍€在x軸上方，則y>0，雖然原點(diǎn)O（0，0）是該方程的解，但不屬于已知曲線，所以滿足條件的曲線方程是 。

[幻燈片6]

知識(shí)梳理

（1）根據(jù)以上解題過(guò)程，請(qǐng)同學(xué)總結(jié)求曲線（圖形）方程的一般步驟（教材P-36）：

（1）建系，設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）列式（找等量關(guān)系）：寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P{M|p（M）}；

（3）代換：用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0；

（4）化簡(jiǎn)：化方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式；

（5）檢驗(yàn)：說(shuō)明方程的解，是否都滿足曲線要求，在判斷時(shí)，需同時(shí)判斷方程的解不比曲線上的點(diǎn)多，曲線上的點(diǎn)不比方程的解多。

[幻燈片7]

重難剖析

【要點(diǎn)】2.如何建立直角坐標(biāo)系？

【剖析】在建立直角坐標(biāo)系時(shí)應(yīng)遵循“避繁就簡(jiǎn)”原則：①要有良好的對(duì)稱性；②盡可能少引入字母；一般地，我們按以下幾個(gè)原則來(lái)建立直角坐標(biāo)系：

（1）若條件中只出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，常以定點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系；

（2）若已知兩定點(diǎn)，常以兩定點(diǎn)的中點(diǎn)（或其中一個(gè)定點(diǎn)）為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系；

[幻燈片8]

（3）若已知兩條互相垂直的直線，則以它們?yōu)樽鴺?biāo)軸建立直角坐標(biāo)系；

（4）若已知一定點(diǎn)和一條直線，常以定點(diǎn)到定直線的垂線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，以定點(diǎn)到定直線的反向延長(zhǎng)線為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系；

（5）若已知定角，常以定角的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，定角的角平分線為x軸建立直角坐標(biāo)系。

[幻燈片9]

練習(xí)圓心C的坐標(biāo)（6，0），半徑R=4，求此圓的方程。

問(wèn)題：此圓有一半埋在地下，求其在地表面部分的方程。

探究：若∣AB∣=4，如何建立坐標(biāo)系求AB的中垂線的方程。

[幻燈片10]

題型探析

題型1判斷曲線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系

例1：下面的曲線C的方程是否為所列方程，為什么？

圖2

（1）如圖2，曲線C為△ABC的中線AO，方程：x=0；

思維突破：曲線的方程需要滿足以下兩個(gè)條件：

①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。

自主解答：①不是。不符合上面的；②，如P（0，-1）在x=0上，卻不在曲線C上。

[幻燈片11]

例1：下面的曲線C的方程是否為所列方程，為什么？

（2）曲線C是到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)組成的直線，方程：x-y=0.

思維突破：曲線的方程需要滿足以下兩個(gè)條件：

①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；

②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。

自主解答：2）不是。不符合上面的①，如P（-1，1）在曲線C上，卻不在方程x-y=0上。

[幻燈片12]

【變式與拓展】[2]

圖3

1.如圖3所示的曲線方程是（B）

A. B. C. D.

[幻燈片13]

2.下列方程與圖形對(duì)應(yīng)的是（C）

【解析】選C，選項(xiàng)A中不對(duì)應(yīng)，應(yīng)為整個(gè)圓；選項(xiàng)B中應(yīng)還有一條直線y=-x；選項(xiàng)D中需要x>0，y>0.

[幻燈片14]

⒊方程 表示的圖形是

【解析】由

故，方程 表示的圖形是四個(gè)點(diǎn)。

[幻燈片15]

⒋試畫出方程 所表示的曲線。

【解析】由原方程知

由原方程得 ，則 ，所以 。

故原方程等價(jià)于 ，（其中 ），其圖象如圖4。

圖4

[幻燈片16]

題型2求曲線的方程

例2動(dòng)圓與x軸相切，且被直線y=x所截得的弦長(zhǎng)為2，求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程。

解：設(shè)動(dòng)圓圓心C（x，y），直線與圓相交，依題意得

，化簡(jiǎn)得動(dòng)圓C軌跡方程 。

[幻燈片17]

【變式與拓展】[2]

5.有一曲線，曲線上每一點(diǎn)到x軸的距離等于這點(diǎn)到A（0，3）的距離的2倍，試求曲線方程。

練習(xí)：點(diǎn)P（a，b）到x軸的距離是；點(diǎn)P（a，b）到y(tǒng)軸的距離是；點(diǎn)P（1，b）到直線x+y-1=0軸的距離是；

[幻燈片18]

本節(jié)小結(jié)：

1.回顧上述解題過(guò)程，請(qǐng)同學(xué)總結(jié)求曲線（圖形）方程的一般步驟（教材P-36）：

（1）建系，設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）列式（找等量關(guān)系）：寫出適合條件p的點(diǎn)M的集合P{M|p（M）}；

（3）代換：用坐標(biāo)表示條件p（M），列出方程f（x，y）=0；

（4）化簡(jiǎn)：化方程f（x，y）=0為最簡(jiǎn)形式；

（5）檢驗(yàn)：說(shuō)明方程的解，是否都滿足曲線要求，在判斷時(shí)，需同時(shí)判斷方程的解不比曲線上的點(diǎn)多，曲線上的點(diǎn)不比方程的解多。

[幻燈片19]

2.建立好的坐標(biāo)系要具有以下條件：

（1）要有良好的對(duì)稱性；

（2）盡可能少引入字母。

3.描述曲線與方程的關(guān)系必須說(shuō)：

（1）曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；

（2）以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，兩點(diǎn)缺一不可。

[幻燈片20]

作業(yè)：課本P-37（共四題）練習(xí)3；A組3、4；B組2

五、問(wèn)題討論

（一）教師也需要“動(dòng)手做，動(dòng)腦想”

教學(xué)實(shí)踐是復(fù)雜的，教師必須對(duì)不確定、不可預(yù)測(cè)的教學(xué)情境作出解釋和決策。教學(xué)工作需要“邊做邊想”是由教學(xué)工作本身的性質(zhì)所決定的。教師的專業(yè)成長(zhǎng)體現(xiàn)為其策略、案例知識(shí)的增加，融合為教學(xué)的實(shí)踐智慧，它存在于個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，鑲嵌在教學(xué)行為和教學(xué)情景之中。因此我們教師是否也應(yīng)提倡“動(dòng)手做，動(dòng)腦想”，在行動(dòng)中反思？

（二）教學(xué)的“歸位”

課程改革提出“以學(xué)生發(fā)展為本”，這句話已朗朗上口，但是否已真正深入人心？在課例的實(shí)施過(guò)程中，反思困惑我們的始終是：眼中只有“知識(shí)”而不是“學(xué)生”[3]。而幾次行為跟進(jìn)的方向都是一致的：回歸“學(xué)生為本”，回歸“科學(xué)的本質(zhì)”。

六、課例研修反思

這次研修課活動(dòng)無(wú)疑給了我有益的啟示：善于運(yùn)用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、思想、方法指導(dǎo)教學(xué)設(shè)計(jì)，中學(xué)數(shù)學(xué)建立在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想基礎(chǔ)上，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)、思想、方法、風(fēng)格和語(yǔ)言進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，使學(xué)生的思維向現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思維方向發(fā)展。

七、課例研修結(jié)論

（一）傳統(tǒng)解題教學(xué)富有成效

從課堂實(shí)錄和課后訪談的分析表明，學(xué)生在解決常規(guī)問(wèn)題時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的共同策略是：尋找一個(gè)熟悉的問(wèn)題原型，然后按照已知的“模式”或“套路”來(lái)解決問(wèn)題。就[幻燈片9]-練習(xí)而言，學(xué)生能夠通過(guò)不同的策略進(jìn)行聯(lián)系與化歸（分別從式的或形的角度），這從一定意義上表明我們傳統(tǒng)解題教學(xué)的成功之處。

（二）合理呈現(xiàn)和有效組織問(wèn)題是進(jìn)行非常規(guī)題教學(xué)的基本前提

學(xué)生初次遇到“操作題”，感到陌生、好奇，依賴性較強(qiáng)，不知從何下手。正如[幻燈片10]-[幻燈片11]-例1被訪學(xué)生所講，他們相信按照教師給出的操作步驟，一步一步做，通過(guò)小組合作與交流，一定會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)論的，即使他們自己發(fā)現(xiàn)不了，也可以從其他同學(xué)中學(xué)會(huì)。因此他們對(duì)解決這類問(wèn)題是有信心的。這從另一個(gè)側(cè)面表明，在初次遭遇這些非常規(guī)題時(shí)，教師提供必要的“腳手架”（如提示或操作步驟），以及合作交流形式是十分有益的。

八、結(jié)束語(yǔ)

基于真實(shí)情景的“問(wèn)題-解決”教學(xué)模式本身而言，合適的真實(shí)情景的創(chuàng)設(shè)、課堂教學(xué)過(guò)程中高度的開(kāi)放性和靈活性、對(duì)教師知識(shí)結(jié)構(gòu)的高水平要求等，都使這種教學(xué)模式具有極大的挑戰(zhàn)性。

然而，“教育是教人們掌握如何運(yùn)用知識(shí)的藝術(shù)?！保ā督逃哪康摹分Z斯·懷特海）雖然這是一門很難的藝術(shù)，但卻具有教育的真正價(jià)值！

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制訂.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]賈鳳山，肖曉強(qiáng).高中新課程學(xué)習(xí)指導(dǎo)?成才之路（人教A版選修2-1）[M].北京：中國(guó)和平出版社，2015.

[3]張奠宙.教育數(shù)學(xué)是具有教育形態(tài)的數(shù)學(xué)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2005（8）：1-4.

[4]劉長(zhǎng)春，張文娣.中學(xué)數(shù)學(xué)變式教學(xué)與能力培養(yǎng)[M].山東教育出版社，2001.

基金項(xiàng)目：本文系：廣西教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2015年度C類自籌經(jīng)費(fèi)一般課題“高中生在導(dǎo)數(shù)問(wèn)題解決中的學(xué)習(xí)研究——以廣西北海為例”（批準(zhǔn)文號(hào)：桂教科學(xué)【2015】11號(hào)，立項(xiàng)號(hào)：2015C114）的階段性成果。