淺談如何培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)探究能力

孫偵

高考考綱明確指出：對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，以邏輯思維能力為核心，全面考查各種能力，強(qiáng)調(diào)考題必須具有探究性、綜合性、應(yīng)用性。因而數(shù)學(xué)探究能力的培養(yǎng)有著十分重要的意義。下面，我談?wù)勛约旱囊恍┳龇ā?/p>

一、應(yīng)用生活實(shí)例培養(yǎng)探究能力

在探究能力的培養(yǎng)過程中，有一個(gè)十分棘手的問題，那就是面對(duì)與生活實(shí)際相關(guān)的數(shù)學(xué)問題時(shí)，因?yàn)槿狈ι罱?jīng)歷和解決問題的經(jīng)驗(yàn)，相當(dāng)一部分學(xué)生覺得無從下手，如何打破這一僵局呢？我的做法是讓學(xué)生深入生活，在生活中培養(yǎng)他們的探究能力。

有這樣一道題：國際足聯(lián)規(guī)定法國世界杯決賽階段，比賽場地長 105米，寬68米，足球門寬7.32米，高2.24米，試確定邊鋒最佳射門位置（精確到1米）。

面對(duì)陌生的問題情境，大多數(shù)學(xué)生都束手無策。我為他們?cè)O(shè)計(jì)了以下幾個(gè)探究方向：①到球場實(shí)地去觀察一下，邊鋒在球場上如何運(yùn)動(dòng)，一般在何處起腳射門？②向踢球經(jīng)驗(yàn)豐富的同學(xué)請(qǐng)教足球的有關(guān)知識(shí)；③到圖書館查閱有關(guān)材料；④認(rèn)真思考本題所謂的最佳射門位置在數(shù)學(xué)上的具體含義；⑤在此基礎(chǔ)上考慮如何利用數(shù)學(xué)方法來解決這一問題。讓學(xué)生到實(shí)際生活中去，在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)，學(xué)會(huì)解決生活中的數(shù)學(xué)是提高學(xué)生探究興趣、培養(yǎng)學(xué)生探究能力的有效途徑，生活是探究的不竭源泉。

二、應(yīng)用課堂教學(xué)培養(yǎng)探究能力

探究能力是各種能力中的較高層次，它要求學(xué)生會(huì)對(duì)問題或資料進(jìn)行觀察、比較、分析、綜合、抽象與概括，并能準(zhǔn)確、清晰、有條理地進(jìn)行表述。因而探究能力的培養(yǎng)不是一朝一夕可以完成的，所以應(yīng)該把探究能力的培養(yǎng)貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程。如何培養(yǎng)呢，我認(rèn)為應(yīng)該在課堂教學(xué)中充分暴露思維過程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的探究欲望。下面以一道例題的教學(xué)為例，說說我在教學(xué)中的做法。這是一道有相當(dāng)難度的應(yīng)用題：用總長 14.8m的鋼條制作一個(gè)長方體容器的框架，如果所制作容器的底面一邊比另一邊長0.5m，那么高為多少的時(shí)候，容器的容積最大？并求它的最大容積。

（1）問題初探。大多數(shù)學(xué)生對(duì)問題作如下解答：設(shè)底面較短的一邊長為 x米，容器的容積為v，則有v=x（x+0.5）（3.2-2x），x∈（0，1.6）。而后利用均值不等式求其最值，卻發(fā)現(xiàn)均值不等式的使用條件并不滿足。

（2）問題再探。師生共同分析，均值不等式在本題無法直接使用的原因 x≠x+0。5。那么能否避開這個(gè)問題呢？甲學(xué)生（經(jīng)過一番思考）：v=x（x+0。5）（3.2-2x）=x（2x+1）（8-5x）5=3x（2x+1）（8-5x）15。從而當(dāng) 3x=2x+1=8-5x，即x=1時(shí)v取得最大值。此時(shí)，全班學(xué)生大為振奮，認(rèn)為是一種很了不得的做法。師：首先應(yīng)該表揚(yáng)這位同學(xué)，但是請(qǐng)你回答這個(gè)問題：從 x（2x+1）（8-5x）5=3x（2x+1）（8-5x）15，你是怎樣分析得知分子分母應(yīng)同乘以3，請(qǐng)你向同學(xué)們傳授傳授。甲同學(xué)（愣了一下，想不出解釋這個(gè)問題的方法）：我承認(rèn)自己只是靈機(jī)一動(dòng)，純屬巧合。師：他雖然只是靈機(jī)一動(dòng)，但這種做法值得贊許，有沒有同學(xué)能對(duì)這種做法給出合理的解釋？乙學(xué)生：這不是巧合，其實(shí)我們只需從 2x+1=8-5x求得x=1，而此時(shí)2x+1=8-5x=3，要讓v取得最大值，當(dāng)然只需對(duì)x乘以3。以上的發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生們興奮不已，但就在這時(shí)，丙同學(xué)提出疑問。丙同學(xué)：若是如此，我們?cè)谇?v=x（x+0.5）（3.2-2x）的最值中直接仿照以上做法豈不更加簡單？

（3）問題三探。師：丙同學(xué)的想法很有自己的見解，但到底可不可行呢？請(qǐng)大家動(dòng)手試一下。探討的結(jié)果如下：由 x+0.5=3.2-2x。得 x=0.9。x+0.5=3。2-2x=1.4?！?v=[149x（x+0.5）（3.2-2x）]×914。由此求得的結(jié)果與甲同學(xué)不一致。這樣，更增加了本題的神秘色彩。

（4）教師點(diǎn)撥。這時(shí)候，考慮到往下的探索已非學(xué)生可以獨(dú)立完成。我給予以下點(diǎn)撥：①在 v=x（x+0.5）（3.2-2x）基礎(chǔ)上不能直接利用均值不等式進(jìn)行求解的原因是什么？（答：無法尋求這樣的x，使得x=x+0.5）②甲同學(xué)能夠利用均值不等式求解最值的原因又是什么？（答：他巧秒地利用了式子的變形）③他的變形主要是對(duì) x，x+0.5，3.2-2x配上了系數(shù)，那么我們是否可以用通法求得這些系數(shù)呢？

經(jīng)過一番思考，同學(xué)們總結(jié)出待定系數(shù)法是解決這一問題的通法。我認(rèn)為上述的做法，有助于引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行由表及內(nèi)、由淺入深的探討，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力有著十分重要的作用。

三、應(yīng)用論文寫作培養(yǎng)探究能力

學(xué)生論文的寫作過程是學(xué)生自我學(xué)習(xí)、自我提高的過程。認(rèn)知水平較高的學(xué)生，在學(xué)習(xí)中往往會(huì)對(duì)自己感興趣的問題進(jìn)行探究，并形成自己的認(rèn)識(shí)，但一般不夠深入，鼓勵(lì)他們及時(shí)歸納總結(jié)并形成文字，這個(gè)過程就是他們對(duì)問題進(jìn)行深入再探討的過程，他們必須經(jīng)過認(rèn)真觀察、閱讀相關(guān)材料、比較分析、演繹歸納等步驟才能進(jìn)一步論證自己的論點(diǎn)。而把這些材料形成文字又能使他們表達(dá)能力得到很好的鍛煉。所以學(xué)生論文寫作對(duì)于提高學(xué)生的探究能力有著十分重要的作用。

要讓學(xué)生學(xué)習(xí)寫作論文，就應(yīng)該強(qiáng)調(diào)對(duì)材料的積累。它可以來源于課堂，也可以是課外學(xué)習(xí)的心得感想。在學(xué)完了等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)之后，我班有一位同學(xué)提出了這樣的命題：

1、設(shè){ a n }是等差數(shù)列， m，p，n∈n，若 m 1 + m 2 + …m n = p 1 + p 2 + …p n ，則 am 1 + am 2 + … + am n = ap 1 + ap 2 + …ap n。

2、設(shè){a n }是等比數(shù)列，m，p，n∈n，若 m 1 + m 2 + …m n = p 1 + p 2 + … + p n ，則 am 1 + am 2 + …am n = ap 1 + ap 2 + …ap n 。

這位同學(xué)把這兩個(gè)命題交給我，讓我給他論證命題的真假。我讓他自己先舉出具體例子進(jìn)行驗(yàn)證，而后考慮如何從理論上對(duì)這兩個(gè)命題進(jìn)行證明，如果必要可以查閱相關(guān)的課外參考書。最后這位同學(xué)完成了對(duì)命題的嚴(yán)格證明，同時(shí)給出了它們?cè)诮忸}中的應(yīng)用。這篇文章在校級(jí)教研刊物發(fā)表以后，對(duì)全體學(xué)生都產(chǎn)生了極大的影響。