Leibniz超代數(shù)的非交換張量積

劉貴來, 王 涵, 張慶成

(東北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 長春 130024)

李代數(shù)是一類典型的非結(jié)合代數(shù), 李超代數(shù)是李代數(shù)的推廣. 目前, 關(guān)于李代數(shù)和李超代數(shù)的研究已有很多結(jié)果. 文獻(xiàn)[1-2]先后給出了李代數(shù)的非交換張量積和李超代數(shù)的非交換張量積的概念. 當(dāng)李代數(shù)不必滿足反對稱性時(shí)其即成為Leibniz代數(shù)[3-6], Leibniz代數(shù)在代數(shù)K理論中應(yīng)用廣泛, 文獻(xiàn)[7-11]給出了Leibniz超代數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì). Gnedbaye[12]研究了Leibniz代數(shù)的非交換張量積. 本文將文獻(xiàn)[12]的結(jié)果推廣到Leibniz超代數(shù)上, 使其應(yīng)用范圍更廣.

1 Leibniz超代數(shù)的作用和半直積

[x,[y,z]]=[[x,y],z]-(-1)|y||z|[[x,z],y],

則稱(L,[-,-])為Leibniz超代數(shù).

例11) 對任意一個(gè)Leibniz超代數(shù)L, 若其滿足超反對稱性, 即?x,y∈L, [x,y]=-(-1)|x||y|[y,x], 則L是一個(gè)李超代數(shù).

定義2[4]設(shè)(L,[-,-])和(L′,[-,-]′)是兩個(gè)Leibniz超代數(shù), 若f: (L,[-,-])→(L′,[-,-]′)是一個(gè)偶的Leibniz超代數(shù)線性映射, 且對?x,y∈L, 滿足：

f([x,y])=[f(x),f(y)]′,

則稱f: (L,[-,-])→(L′,[-,-]′)是一個(gè)Leibniz超代數(shù)的同態(tài)映射.

定義3[8]設(shè)L是一個(gè)Leibniz超代數(shù), 若存在L的一個(gè)2-階化線性子空間H, 使得對?x,y∈H, 有[x,y]∈H, 則稱H是一個(gè)Leibniz超子代數(shù).

如果H是L的一個(gè)2-階化線性子空間, 且對?x∈H,y∈L, 有[x,y]∈H, [y,x]∈H, 則稱H是L的階化Leibniz理想. 此時(shí)L/H繼承了Leibniz超代數(shù)的結(jié)構(gòu), 稱為Leibniz超商代數(shù).

定義5[9]令L是一個(gè)Leibniz超代數(shù), 其超子空間Z(L)={x∈L|[x,y]=[y,x]=0, ?y∈L}稱為L的中心.

定義6設(shè)L和M是兩個(gè)Leibniz超代數(shù), 若存在一個(gè)對偶的雙線性映射λ:L?M→M使得λ(x?m)=xm及ρ:M?L→M使得ρ(x?m)=mx, 對任意齊次元素x,y∈L和m,m′∈M, 下列條件成立：

1)m[x,y]=(mx)y-(-1)|x||y|(my)x；

2)[x,y]m=(-1)|m||y|(xm)y-(-1)|m||y|x(my)；

3)x(ym)=-(-1)|m||y|x(my)；

4)x[m,m′]=[xm,m′]-(-1)|m||m′|[xm′,m]；

5) [m,m′]x=(-1)|x||m′|[xm,m′]+[m,m′x]；

6) [m,xm′]=-(-1)|x||m′|[m,m′x].

則稱其為從L到M的Leibniz作用.

在上述條件下, 如果對?x∈L,m∈M, 有xm=0=mx, 則稱Leibniz作用是平凡的.

例21) 令L和H分別是Leibniz超代數(shù)K的Leibniz超子代數(shù)和階化Leibniz理想, 定義括積為K中的括積運(yùn)算, 則存在一個(gè)從L到H的Leibniz作用.

(1)

(2)

則存在從L到M的Leibniz作用.

定義8設(shè)L和M是兩個(gè)Leibniz超代數(shù), 存在L到M上Leibniz作用及一個(gè)同態(tài)映射?:M→L, 如果對任意齊次元素x∈L和m,m′∈M, 滿足下列條件：

1) ?(xm)=[x,?(m)]；

2) ?(mx)=[?(m),x]；

3)?(m)m′=[m,m′]；

4)m?(m′)=[m,m′].

則稱該同態(tài)映射為Leibniz超代數(shù)的交叉模.

2) 設(shè)L和M是兩個(gè)Leibniz超代數(shù), 存在L到M的Leibniz作用, 則平凡映射0:M→L是Leibniz超代數(shù)交叉模.

定理1設(shè)L和M是兩個(gè)Leibniz超代數(shù), ?:M→L是一個(gè)Leibniz超代數(shù)交叉模, 則下列結(jié)論成立：

1) Ker ??Z(M)；

2) Im ?是L的一個(gè)階化Leibniz理想；

3) Leibniz超代數(shù)Im ?平凡地作用于Z(M)和Ker ?.

證明： 1) 對?m∈Ker ?, 有?(m)=0, 則由定義8中3)和4)知, 對?m′∈M, 有

?(m)m′=[m,m′]=0,m′?(m)=[m′,m]=0,

所以m∈Z(M), 于是結(jié)論成立.

2) 對?x∈Im ??L及?y∈L, 存在m∈M, 使得?(m)=x, 則有

[x,y]=[?(m),y]=?(my)∈Im ?, [y,x]=[y,?(m)]=?(ym)∈Im ?,

結(jié)論成立.

3) 對?x∈Im ?, 存在m∈M, 使得?(m)=x; ?m′∈Z(M), 有

xm′=?(m)m′=[m,m′]=0,m′x=m′?(m)=[m′,m]=0,

于是Leibniz超代數(shù)Im ?平凡地作用于Z(M), 又由1)知, Leibniz超代數(shù)Im ?也平凡地作用于Ker ?.

2 主要結(jié)果

則稱Leibniz作用是相容的.

例4設(shè)H和H′是Leibniz超代數(shù)L的階化Leibniz理想, 則H和H′之間的相互Leibniz作用是相容的.

則稱(L,h1,h2)是一個(gè)Leibniz超對.

例5設(shè)M和N是Leibniz超代數(shù)L的兩個(gè)階化Leibniz理想, 令A(yù)=M∩N, 且定義雙線性映射h1:M×N→A和h2:N×M→A, 滿足h1(m,n)=[m,n],h2(n,m)=[n,m], 則(A,h1,h2)是一個(gè)Leibniz超對.

如果存在廣泛的Leibniz超對, 則在同構(gòu)意義下唯一確定. 下面刻畫Leibniz超代數(shù)的非交換張量積.

定義12設(shè)M和N是域K上的兩個(gè)Leibniz超代數(shù), 且彼此有Leibniz作用, 令V是所有形如m*n和n*m的元素生成的2-階化向量空間, 其中且|m*n|=|m|+|n|. 若對?下列條件成立：

1)λ(m*n)=λm*n=m*λn,λ(n*m)=λn*m=n*λm;

2) (m+m′)*n=m*n+m′*n,n*(m+m′)=n*m+n*m′,

m*(n+n′)=m*n+m*n′, (n+n′)*m=n*m+n′*m;

3)m*[n,n′]=mn*n′-(-1)|n||n′|mn′*n,n*[m,m′]=nm*m′-(-1)|m||m′|nm′*m,

[m,m′]*n=(-1)|m′||n|mn*m′-(-1)|m′||n|m*nm′,

[n,n′]*m=(-1)|m||n′|nm*n′-(-1)|m||n′|n*mn′;

4)m*m′n=-(-1)|m′||n|m*nm′,n*n′m=-(-1)|m||n′|n*mn′;

5)mn*m′n′=[m*n,m′*n′]=mn*m′n′,mn*n′m′=[m*n,n′*m′]=mn*n′m′,

nm*n′m′=[n*m,n′*m′]=nm*n′m′,nm*m′n′=[n*m,m′*n′]=nm*m′n′.

其中:m,m′的階相同;n,n′的階相同. 則V是一個(gè)Leibniz超代數(shù), 并將其重新定義為Leibniz超代數(shù)M和N的非交換張量積M*N.

注1若Leibniz超代數(shù)的非交換張量積滿足反對稱性m*n=-(-1)|m||n|n*m, 則其為李超代數(shù)的非交換張量積.

定理2若Leibniz超代數(shù)M和N彼此平凡作用, 則M*N是一個(gè)交換Leibniz超代數(shù), 且存在一個(gè)同構(gòu)映射：

M*N?(Mab?Nab)⊕(Nab?Mab),

其中:Mab=M/[M,M];Nab=N/[N,N].

m*[n,n′]=[m,m′]*n=[n,n′]*m=n*[m,m′]=0,

于是M*N與(Mab?Nab)⊕(Nab?Mab)同構(gòu), 結(jié)論成立.

f(nm)=g(n)f(m),f(mn)=f(m)g(n),g(mn)=f(m)g(n),g(nm)=g(n)f(m),

則存在一個(gè)Leibniz超代數(shù)的同態(tài)： f*g: M*N→M′*N′, 滿足

(f*g)(m*n)=f(m)*g(n), (f*g)(n*m)=g(n)*f(m).

證明： 顯然g*idN是一個(gè)滿同態(tài), 且Im(f*idN)?Ker(g*idN).而Im(f*idN)是所有形如f(m1)*n,n*f(m1)的元素生成的, 其中齊次元素m1∈M, n∈N. 由于對任意齊次元素m1∈M1, m2∈M2, n1,n2∈N, 均有

則Im(f*idN)是M2*N的一個(gè)階化Leibniz理想. 因此g*idN誘導(dǎo)了一個(gè)Leibniz超代數(shù)同態(tài)：

ξ: (M2*N)/Im(f*idN)→M3*N,

ξ-1:M3*N→(M2*N)/Im(f*idN),

定理4設(shè)L是一個(gè)Leibniz超代數(shù), M是其階化Leibniz理想, 則存在一個(gè)Leibniz超代數(shù)短正合列：

τ′: (L/M)*(L/M)→(L*L)/Im(σ),

定理5設(shè)M和N是兩個(gè)Leibniz超代數(shù), 且彼此的Leibniz作用相容, 則有：

1) 存在Leibniz超代數(shù)的同態(tài)映射：

2)Ker(ψM)?Z(M*N),Ker(ψN)?Z(M*N).

則ψM[m1*n1,m2*n2]=[ψM(m1*n1),ψM(m2*n2)]； 又有

則ψM[m1*n1,n2*m2]=[ψM(m1*n1),ψM(n2*m2)]； 又有

則ψM[n1*m1,m2*n2]=[ψM(n1*m1),ψM(m2*n2)]； 又有

則ψM[n1*m1,n2*m2]=[ψM(n1*m1),ψM(n2*m2)]； 又有

則ψN[m1*n1,m2*n2]=[ψN(m1*n1),ψN(m2*n2)]； 又有

則ψN[m1*n1,n2*m2]=[ψN(m1*n1),ψN(n2*m2)]； 又有

則ψN[n1*m1,m2*n2]=[ψN(n1*m1),ψN(m2*n2)]； 又有

則ψN[n1*m1,n2*m2]=[ψN(n1*m1),ψN(n2*m2)]. 綜上可得結(jié)論.

若n1*m1∈Ker(ψM), 即ψM(n1*m1)=n1m1=0, 則對?m2*n2,n2*m2∈M*N, 有

因此Ker(ψM)?Z(M*N).

若m1*n1∈Ker(ψN), 即ψN(m1*n1)=m1n1=0, 則對?m2*n2,n2*m2∈M*N, 有

因此Ker(ψN)?Z(M*N).