上好數(shù)學(xué)單元小結(jié)課的基本策略
——以人教版七年級數(shù)學(xué)第三章《一元一次方程》為例

伍愛紅

一、問題的提出

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)在各章教學(xué)任務(wù)完成、結(jié)束之前，必須要利用2課時左右對本章學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行單元小結(jié)。數(shù)學(xué)單元小結(jié)課，能夠幫助學(xué)生對本章數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、條理化，能夠進(jìn)一步增強學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，通過數(shù)學(xué)方法總結(jié)，提升數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生認(rèn)知水平上升到更高的水準(zhǔn)，因此有必要對如何上好數(shù)學(xué)單元小結(jié)課進(jìn)行深入的探討。

二、問題解決的基本策略

“小結(jié)課的基本任務(wù)就是通過全面系統(tǒng)地回顧，歸納概括本章(單元)主要知識，提煉主要數(shù)學(xué)方法，進(jìn)而理清知識脈絡(luò)，建立完整的知識網(wǎng)絡(luò)，并能運用所學(xué)知識分析和解決問題”[1]，“單元小結(jié)課不僅應(yīng)在新授課的基礎(chǔ)上完善學(xué)生的認(rèn)識結(jié)構(gòu)，用一條主線把單元知識貫穿起來，還應(yīng)在其基礎(chǔ)上繼續(xù)實現(xiàn)知識的技能化，進(jìn)而使學(xué)生的認(rèn)知上升到一個新的臺階，獲得各種智慧技能，順利地解決問題，獲得各種認(rèn)知策略，發(fā)展反思、元認(rèn)知等能力”[2]，這些論點具有很強的指導(dǎo)性，為數(shù)學(xué)單元小結(jié)課已經(jīng)勾勒出了比較明晰的思路，筆者認(rèn)為上好數(shù)學(xué)單元小結(jié)課的基本策略包括以下幾方面。

1.梳理知識 揭示特征

單元小結(jié)課要引導(dǎo)、幫助學(xué)生歸納概括本章(單元)主要知識，理清知識脈絡(luò)，以知識發(fā)生發(fā)展為線索，以核心知識為節(jié)點，用一條主線把本章知識貫穿起來，構(gòu)建自然連貫流暢的知識序列；利用知識導(dǎo)向圖、表格、樹狀圖等方式對知識濃縮、提煉和加工，使知識系統(tǒng)化、條理化。如在一元一次方程中，實際問題就是貫穿全章前后的一條主線，一元一次方程解法的討論，自始至終都是結(jié)合實際問題進(jìn)行:先列出方程，然后討論如何解方程，解方程的各個步驟，是對來自于實際問題中產(chǎn)生的方程逐步簡化的措施；讓學(xué)生掌握了分析實際問題的基本方法和會解一元一次方程后，再逐步提升難度，系統(tǒng)討論利用方程知識解決現(xiàn)實問題。數(shù)學(xué)刻畫和描述的是現(xiàn)實客觀事物、是一個充滿聯(lián)系的整體，學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方法既有內(nèi)在聯(lián)系又各具特色，單元小結(jié)就要把前后知識聯(lián)系起來，理清數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的局部知識與數(shù)學(xué)知識的整體性之間的關(guān)系，強化數(shù)學(xué)內(nèi)容和數(shù)學(xué)研究方法之間的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的整體性和系統(tǒng)性。

2.提煉方法 提升能力

數(shù)學(xué)思想方法蘊含、依附在數(shù)學(xué)知識之中，數(shù)學(xué)思想方法以數(shù)學(xué)知識為載體體現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識梳理的過程就是數(shù)學(xué)方法提煉、數(shù)學(xué)精神升華的過程，數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)思維的影響遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于具體的數(shù)學(xué)知識。如在小結(jié)解一元一次方程的步驟時，必須使學(xué)生進(jìn)一步明確解方程的目標(biāo)，最終是使方程變形為x=a(已知數(shù))的形式，各種步驟都是針對現(xiàn)有方程的特征逐步化歸為最終目標(biāo)而實施的運算過程，即在保持方程左右兩邊相等關(guān)系的前提下逐步使方程向x=a方向的變形過程。學(xué)生只有對解方程的這一本質(zhì)有了透徹的認(rèn)識理解后，就會根據(jù)具體方程的特征主動探究其解法，進(jìn)而催生一些獨特而又新穎的解題思路和解題方法，這遠(yuǎn)比記憶解一元一次方程的基本步驟要效果好得多。在本章中，由實際問題抽象為方程模型這一過程中蘊含的“模型化”思想和解方程過程中的“化歸”思想，在列方程和解方程中都具有指導(dǎo)作用，在單元小結(jié)時要進(jìn)一步提煉和強化，不斷提升學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法分析問題和解決問題的能力。

3.強化應(yīng)用 培養(yǎng)創(chuàng)新

數(shù)學(xué)單元小結(jié)要以數(shù)學(xué)知識為載體，將知識、思想和方法融入問題情境，側(cè)重對數(shù)學(xué)知識的理解；能夠以現(xiàn)實生活問題為背景，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，提煉數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，提升利用所學(xué)知識分析和解決問題的能力；要鼓勵學(xué)生獨立思考和探究，提出解決問題的新思路，體現(xiàn)思維的發(fā)散性，能夠創(chuàng)造性地解決問題。在單元小結(jié)時要拿出更多的時間、花更多的精力讓學(xué)生在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，品嘗收獲喜悅，分享思維成果，在思維拓展訓(xùn)練過程中，發(fā)展學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的志趣，提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。在教學(xué)《第三章 一元一次方程》的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生在作業(yè)時，由于思考問題的出發(fā)點不同，對同一個數(shù)學(xué)問題就列出各種思維獨特的不同方程，單元小結(jié)時，筆者讓這些學(xué)生對他們各自的解題方法向全班學(xué)生展示。

【案例1】有一些相同的房間需要粉刷墻面。一天3名一級技工去粉刷8個房間，結(jié)果其中有50 m2墻面未來得及粉刷；同樣時間內(nèi)5名二級技工粉刷了10個房間之外，還多粉刷了另外的40 m2墻面。每名一級技工比二級技工一天多粉刷10 m2墻面，求每個房間需要粉刷的墻面面積(見教材99頁第9題)。學(xué)生作業(yè)時有3種解法，學(xué)生的解答過程展示如下。

學(xué)生甲:設(shè)每個房間需要粉刷xm2墻面，列方程得:

答:每個房間需要粉刷的墻面面積是52 m2。

學(xué)生乙:設(shè)每名一級技工每天粉刷xm2的墻面，列方程得:

答:每個房間需要粉刷的墻面面積是52 m2。

學(xué)生丙:設(shè)每名二級技工每天粉刷xm2的墻面，列方程得:

答:每個房間需要粉刷的墻面面積是52m2。

教師讓學(xué)生對上述3種方法進(jìn)行對比評價:大家認(rèn)為甲的解法直接、簡潔，乙和丙的解法方法相近，思路比較獨特新穎。

【案例2】某糕點廠中秋節(jié)前要制作一批盒裝月餅，每盒中裝2塊大月餅和4塊小月餅。制作1塊大月餅要用0.05 kg面粉，一塊小月餅要用0.02 kg面粉。現(xiàn)共有面粉4 500 kg，制作兩種月餅應(yīng)各用多少面粉，才能生產(chǎn)最多的盒裝月餅(見教材107頁第9題)。學(xué)生在作業(yè)時也有3種不同解法，學(xué)生的解答過程展示如下。

學(xué)生甲:設(shè)生產(chǎn)x塊大月餅，列方程得:

0.05x+0.02×2x=4500解得:=50000

解得:x=50000

0.05x=2500 4500-2500=2000

答:制作大月餅用2 500 kg面粉，小月餅用2 000 kg面粉。

學(xué)生乙:設(shè)制作x盒月餅，列方程得:

(2×0.05+4×0.02)x=4500解得:=25000

2×0.05×25000=2500 4500-2500=2000

答:制作大月餅用2 500 kg面粉，小月餅用2 000 kg面粉。

學(xué)生丙:設(shè)xkg面粉制作大月餅，則(4500-x) kg

面粉制作小月餅，列方程得:

4500-x=2000

答:制作大月餅用2 500 kg面粉，小月餅用2 000 kg面粉。

同樣學(xué)生對案例2的3種解法進(jìn)行了對比評價:有的認(rèn)為甲列的方程簡單，求解容易；有的認(rèn)為甲和乙思路相近，乙的方法具有整體性；有的認(rèn)為丙的方法更直接等，3種方法誰優(yōu)誰劣實難區(qū)分。學(xué)生在對教材107頁第7題、第10題作業(yè)中，都有比較獨特、新穎的思考方法，限于篇幅不再一一展示。

通過案例1和案例2的解題過程展示和解題方法討論，讓學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn):解題中設(shè)了不同的未知數(shù)，就會表達(dá)出不同的意義，得到不同形式的方程，出現(xiàn)不同的解法，但都能得到相應(yīng)的結(jié)論。使學(xué)生進(jìn)一步明確:解方程和列方程是第三章《一元一次方程》學(xué)習(xí)的2個重點，相比較，解方程的目的性和解法的程序性比較明顯、容易掌握；列方程是建立在分析問題中數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上的，關(guān)鍵是找出問題中合適的相等關(guān)系，并能夠?qū)⑵溆脭?shù)學(xué)語言正確表達(dá)，即建立實際問題的方程模型。由于有些問題中的數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，對它們的分析有一些困難，沒有可以套用的一般方法。要鼓勵和激勵學(xué)生:在列方程解決實際問題時，要善于從不同的角度分析問題，通過方法對比，從中選擇思路更明晰、過程更簡潔的解題方案，在應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程中，有意識地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維意識。

4.關(guān)注文化傳承 拓展數(shù)學(xué)視野

數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實生活，是日常生活中應(yīng)用廣泛的知識和真理，是科學(xué)的語言，是打開科學(xué)大門的鑰匙。“數(shù)學(xué)發(fā)展過程的曲折與艱辛、數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造精神和獻(xiàn)身精神等都是很好的人文教育素材。數(shù)學(xué)本身所具有的真善美、嚴(yán)謹(jǐn)性、對立統(tǒng)一觀點、運動變化觀點、理性精神等都閃耀著人文的光芒。因此，數(shù)學(xué)是科學(xué)與人文的統(tǒng)一體，是人的一種素養(yǎng)”[3]。認(rèn)識數(shù)學(xué)的科學(xué)價值和人文價值，崇尚數(shù)學(xué)的理性精神，體會數(shù)學(xué)的美學(xué)意義，是單元小結(jié)不可忽視的重要內(nèi)容。如在教材84頁“閱讀與思考‘方程’史話”中，所介紹的中外數(shù)學(xué)界研究方程的一些史實，能讓學(xué)生了解人類認(rèn)識方程這個重要的數(shù)學(xué)工具經(jīng)歷了長期不懈的努力探索；習(xí)題3.4第13題的原題是用希臘文寫的一首詩，它簡要介紹了希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的生平，這是一道有悠久歷史的數(shù)學(xué)名題，詩中并沒有明確說明丟番圖的壽命卻隱含于其中，利用方程可以解出這些數(shù)字，本題是數(shù)學(xué)與文學(xué)結(jié)合的佳作；復(fù)習(xí)題3第5題是選自元代算學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中的“馬匹行走”問題，它以古代的“行程追及問題”為背景，為列、解方程提供了素材。教材圍繞方程這個主題，提供了許多人類對客觀世界中數(shù)量關(guān)系的不斷探究和進(jìn)展的一些片段，從中可以看出數(shù)學(xué)文化的源泉和人類追求真理的長期不懈努力，折射出科學(xué)文明的光輝和人類認(rèn)知上的偉大創(chuàng)造力。作為數(shù)學(xué)教師，平時上課尤其在單元小結(jié)時，不能忽略教材中滲透的數(shù)學(xué)文化和人文情懷，要充分理解教材編寫者的意圖，在關(guān)注數(shù)學(xué)文化傳承、拓展數(shù)學(xué)視野中，使數(shù)學(xué)在內(nèi)容和形式方面更豐富、更鮮活、更吸引人，這樣，才能使受教育者的科學(xué)素養(yǎng)和文化素質(zhì)都能夠得到不斷提高。

三、結(jié)語

“單元小結(jié)課是引導(dǎo)學(xué)生梳理、對比、欣賞、思辨、升華知識的重要課型”[2]，通過單元小結(jié)樹立數(shù)學(xué)知識的整體觀、系統(tǒng)觀，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展的內(nèi)在張力，在問題及問題的構(gòu)造和解決中，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識發(fā)生發(fā)展及應(yīng)用的全過程。數(shù)學(xué)單元小結(jié)課在對數(shù)學(xué)知識、思想方法的梳理、提煉過程中，要注重從學(xué)生身邊的事例說起，主動展示學(xué)生的學(xué)習(xí)、思維成果，彰顯和放大“閃光點”，通過學(xué)習(xí)方法、思維經(jīng)驗交流，在主動學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、合作學(xué)習(xí)的過程中提升能力，培養(yǎng)創(chuàng)新，傳承數(shù)學(xué)文化，拓展數(shù)學(xué)視野。