三角形切圓中的面積關(guān)系*

楊標(biāo)桂

(福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院　350117)

三角形的切圓包括內(nèi)切圓和三個(gè)旁切圓. 本文利用幾何畫板探索了三角形切圓的幾何構(gòu)型，得到了一組面積關(guān)系.

1　符號(hào)約定

如圖1.1, △X0Y0Z0是△A1A2A3的內(nèi)切圓I的切點(diǎn)三角形;Ii分別為頂點(diǎn)Ai所對(duì)的旁心,i=1,2,3, △I1I2I3是△ABC的旁心三角形，且旁切圓Ii分別與△A1A2A3的三邊A2A3,A3A1,A1A2所在的直線相切于點(diǎn)Xi,Yi,Zi，i=1,2,3. 設(shè)線段Y1Z1分別交線段I1I3,I1I2于點(diǎn)U1,V1，線段Z2X2分別交線段I2I1,I2I3于點(diǎn)U2,V2，線段X3Y3分別交線段I3I2,I3I1于點(diǎn)U3,V3. 直線X1Y1與A1A2交于點(diǎn)K3; 直線X1Z1與A1A3交于點(diǎn)L2; 類似地, 得到點(diǎn)L3,K1,K2,L1. 設(shè)M1,M2,M3分別為邊A2A3,A3A1,A1A2的中點(diǎn).

圖1.1

2　基本面積關(guān)系

命題2.1S△X0Y0Z0=S△X1Y2Z3.

圖2.1

證明如圖2.1, 易見面積關(guān)系

S△X0Y0Z0=S-S△A 1Y0Z0-S△A2Z0X0-S△A3X0Y0

同理

S△X1Y2Z3=S-S△A 1Y2Z3-S△A2Z3X1-S△A3X1Y2

于是只須證明

a1(p-a1)2+a2(p-a2)2+a3(p-a3)2

=a1(p-a2)(p-a3)+a2(p-a3)(p-a1)+a3(p-a1)(p-a2)

=3a1a2a3-2p(a1a2+a2a3+a3a1)

最后是熟知的恒等式, 故結(jié)論成立.

命題2.2S△X2Y3Z1=S△X3Y1Z2.

圖2.2

證明如圖2.2, 可見S△X2Y3Z1=S△X2Y3A3+S△Y3Z1A1+S△Z1X2A2+S. 而

又S△X3Y1Z2=S△Y1Z2A1+S△Z2X3A2+S△X3Y1A3+S,

同樣

因此S△X2Y3Z1=S△X3Y1Z2.

3　面積關(guān)系

命題3.1S△X1Y1Z1+S△X2Y2Z2+S△X3Y3Z3-S△X1Y2Z3=2S.

圖3.1

證明事實(shí)上, 盧圣[1]發(fā)現(xiàn)如下面積關(guān)系:

S△X1Y1Z1+S△X2Y2Z2+S△X3Y3Z3-S△X0Y0Z0=2S,

于是由基本面積關(guān)系S△X0Y0Z0=S△X1Y2Z3知結(jié)論成立.

命題3.2S△U1U2U3=S△V1V2V3.

圖3.2

證明事實(shí)上, 我們有更強(qiáng)的結(jié)論: △U1U2U3?△V2V3V1. 文[2]中，筆者已經(jīng)證明了U1,U2,U3,V1,V2,V3六點(diǎn)共圓. 又X3Y3∥I1I2, 因此U2U3=V3V1. 同理U1U2=V2V3,U1U3=V2V1. 所以△U1U2U3?△V2V3V1, 它們的面積自然相等.

命題3.3S△X2Y3Z1=S△X3Y1Z2

=S六邊形U1V1U2V2U3V3.

圖3.3

S四邊形A1A2V3U3+S四邊形A2A3V1U1+S四邊形A3A1V2U2

S四邊形A1A2V3U3+S四邊形A2A3V1U1+S四邊形A3A1V2U2

故結(jié)論成立.

圖3.4

證明首先計(jì)算

S四邊形Y2Z2Y3Z3=S△A1Y2Z2+S△A1Y3Z3+2S△A1Y2Z3

S四邊形Y2Z2Y3Z3·S四邊形Z3X3Z1X1·S四邊形X1Y1X2Y2

命題3.5S△Z1X1K3·S△X2Y2K1·S△Y3Z3K2

=S△X1Y1L2·S△Y2Z2L3·S△Z3X3L1.

圖3.5

證明S△Z1X1K3·S△X2Y2K1·S△Y3Z3K2

=S△X1Y1L2·S△Y2Z2L3·S△Z3X3L1

同理

設(shè)X1到A1A2、A1A3的距離分別為h3、h2, 則有

因此

同理

所以

命題3.6S△K1K2K3=S△L1L2L3.

圖3.6

因此

S△K1K2K3=S-S△A1K2K3-S△A2K3K1-S△A3K1K2

同樣計(jì)算可得

故結(jié)論成立.