從反比例函數(shù)到一般雙曲線(xiàn)圖像的性質(zhì)

顏美玲

(浙江省杭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)?！?10023)

文[1]研究了同一坐標(biāo)系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)圖像性質(zhì)，得到(以k>0為例)：

文[1]通過(guò)添加輔助線(xiàn)，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)等腰三角形進(jìn)而結(jié)合解析法證明了定理1.讀后,筆者不由地感嘆結(jié)論的優(yōu)美和證法的巧妙.與此同時(shí)，筆者開(kāi)始思考：反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的比例系數(shù)不互為倒數(shù)時(shí)有類(lèi)似的性質(zhì)嗎？對(duì)于一般讀者，還能用其它一般的方法證明嗎？一般雙曲線(xiàn)有類(lèi)似的性質(zhì)嗎？帶著這些問(wèn)題，筆者進(jìn)行了一番探究，收獲頗豐.現(xiàn)與各位同行討論.

1　問(wèn)題探究

問(wèn)題1可否不添加輔助線(xiàn),利用純解析法證明有關(guān)結(jié)論呢？

圖1

經(jīng)過(guò)研究,我們發(fā)現(xiàn)純解析法是可行的，并且推廣了定理1得到如下結(jié)論：

(1)當(dāng)P,Q在直線(xiàn)AB同側(cè)時(shí), 若P,Q在同一支上，則∠PAQ=∠PBQ(如圖1); 若P,Q在不同支上，則∠PAQ+∠PBQ=180°(如圖2).

圖2

(2)當(dāng)P,Q在直線(xiàn)AB異側(cè)時(shí), 若P,Q在同一支上，則∠PAQ+∠PBQ=180°; 若P,Q在不同支上，則∠PAQ=∠PBQ.

記直線(xiàn)AP,AQ夾角為θ,直線(xiàn)BP,BQ夾角為α,則

通過(guò)整理可得tanθ=tanα.

結(jié)合P,Q的位置，易知 (1)(2)結(jié)論成立.

注當(dāng)a<0,b<0時(shí)，上述結(jié)論仍成立.

問(wèn)題2一般的雙曲線(xiàn)是否有類(lèi)似的結(jié)論呢？

借助幾何畫(huà)板，我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于一般的雙曲線(xiàn)上述結(jié)論不一定成立.而反比例函數(shù)圖像的兩條漸近線(xiàn)是互相垂直的，于是我們猜想兩條漸近線(xiàn)垂直的雙曲線(xiàn)是否也有類(lèi)似的結(jié)論呢？最終我們證明了此猜想是正確的，得到以下結(jié)論.

圖3

定理3設(shè)A,B是雙曲線(xiàn)x2-y2=k2(k>0)與正比例函數(shù)y=bx的兩個(gè)交點(diǎn),P,Q是雙曲線(xiàn)上的兩點(diǎn)(P,Q均不與A,B兩點(diǎn)重合),則有

(1)當(dāng)P,Q在直線(xiàn)AB同側(cè)時(shí),若P,Q在同一支上，則∠PAQ=∠PBQ(如圖3);若P,Q在不同支上，則∠PAQ+∠PBQ=180°.

(2) 當(dāng)P,Q在直線(xiàn)AB異側(cè)時(shí),若P,Q在同一支上，則∠PAQ+∠PBQ=180°;若P,Q在不同支上，則∠PAQ=∠PBQ.

分析對(duì)于這個(gè)結(jié)論，文[1]中添加輔助線(xiàn)的方法已然不適用，而定理2中用斜率求夾角的方法在理論上是可行的，但計(jì)算量太大,所以我們不能直接利用幾何性質(zhì)或定理2的解析法去證明，而是考慮將等軸雙曲線(xiàn)上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)圖像上的問(wèn)題.為此，先引入坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的有關(guān)結(jié)論:若直角坐標(biāo)系繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角θ,(x,y)是原直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo),(x′,y′)是新直角坐標(biāo)系下點(diǎn)的坐標(biāo),則有

當(dāng)θ=45°時(shí),

問(wèn)題3雙曲線(xiàn)的有關(guān)面積定值問(wèn)題

對(duì)于反比例函數(shù)我們知道有以下兩個(gè)與面積有關(guān)的性質(zhì).

(此處證明過(guò)程省略，讀者可自證.)

那么我們是否可以考慮雙曲線(xiàn)有關(guān)面積的性質(zhì)呢?

由定理3的分析我們知道，對(duì)于等軸雙曲線(xiàn)，當(dāng)坐標(biāo)系繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°時(shí)，在新坐標(biāo)系下它是反比例函數(shù)，從而我們可得如下兩個(gè)性質(zhì).

圖4

圖5

定理5如圖5,P為等軸雙曲線(xiàn)x2-y2=k2(k>0)上任意一點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)的切線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩條漸近線(xiàn)交于A,B兩點(diǎn)，則S△AOB=k2.

簡(jiǎn)析如圖4,5,將原坐標(biāo)系繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°就可利用引理1，2證明上述兩個(gè)定理.

引理3[2,3]

(1)A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)A′,B′,C′三點(diǎn)不共線(xiàn)，并且S△ABC=mnS△A′B′C′.

(2)AB∥CD當(dāng)且僅當(dāng)A′B′∥C′D′.

(3)原曲線(xiàn)上P點(diǎn)的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)伸縮變換后是新曲線(xiàn)中P′的切線(xiàn).

其中A′,B′,C′,D′,P′是A,B,C,D,P在伸縮變換T下的象.

根據(jù)定理4、5以及引理3，我們不難得到一般雙曲線(xiàn)的有關(guān)面積的性質(zhì).

2　結(jié)論和思想方法歸納

(1)文[1]的定理1為本文定理2的特殊情形.一方面定理2中取ab=1就是文1中的定理1的內(nèi)容,另一方面文[1]中定理1的結(jié)論限定在“P,Q在雙曲線(xiàn)的同一支上”的條件，而本文定理2適用于“P,Q在雙曲線(xiàn)的同一支上或不同支上”.另外，定理2的證明方法更加直觀簡(jiǎn)潔.

本文除了推廣文[1]的結(jié)論外，最主要的也是最有意義的是提供了處理一般雙曲線(xiàn)問(wèn)題的一種新思路：通過(guò)伸縮變換把一般的雙曲線(xiàn)上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等軸雙曲線(xiàn)上的問(wèn)題,接著通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換把等軸雙曲線(xiàn)上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為反比例函數(shù)圖像上的問(wèn)題，最后就可利用反比例函數(shù)圖像的有關(guān)性質(zhì)加以解決.這樣處理有兩個(gè)好處——一是可預(yù)先猜想結(jié)論，二是避免繁瑣的計(jì)算.