數(shù)學(xué)探究貴在發(fā)現(xiàn)性探索①

宋衛(wèi)東　方厚石

(1.連云港市贛榆區(qū)教研室222100； 2.江蘇省贛榆高級(jí)中學(xué)　222100)

倡導(dǎo)探究、合作的話題課改以來(lái)已經(jīng)談了十多年了，但是如何落實(shí)到高中數(shù)學(xué)課堂，如何落實(shí)到具體教學(xué)中，一直是數(shù)學(xué)教學(xué)探索的方向.數(shù)學(xué)探究已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，不僅是教學(xué)形式的改變，更重要的是給學(xué)生提供了參與知識(shí)形成的過(guò)程.通過(guò)數(shù)學(xué)探究學(xué)生不僅獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，還經(jīng)歷了數(shù)學(xué)知識(shí)形成所必要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)分析和數(shù)學(xué)演繹，使得數(shù)學(xué)教學(xué)既有數(shù)學(xué)傳授又有數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，有利于學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的形成.數(shù)學(xué)探究符合時(shí)代對(duì)數(shù)學(xué)教育的要求，是數(shù)學(xué)教學(xué)革新的一件好事.近年來(lái)，數(shù)學(xué)課堂中的數(shù)學(xué)探究形形色色，不免會(huì)有些魚目混珠、低效無(wú)效的探究活動(dòng).如何進(jìn)行有效的設(shè)計(jì)、組織和實(shí)施數(shù)學(xué)探究，是大家較關(guān)注的問(wèn)題.本文，筆者以一節(jié)“直線點(diǎn)斜式方程”數(shù)學(xué)探究的設(shè)計(jì)、專家打磨和點(diǎn)評(píng)指導(dǎo)的經(jīng)歷，與大家分享有效數(shù)學(xué)探究教學(xué)的經(jīng)驗(yàn).

1　過(guò)程簡(jiǎn)介

1.1　指明方向，引導(dǎo)探究

師：要確定一條直線需要哪些條件?

學(xué)生：兩點(diǎn)，一點(diǎn)與方向.

師：已知兩點(diǎn)A(2,3)，B(2,5)和一點(diǎn)A(2,3)和斜率k=3分別畫出直線.

學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,畫出直線.

師：這兩個(gè)條件之間有沒(méi)有聯(lián)系?

本質(zhì)是一樣的.

師：已知兩點(diǎn)A(2,3)，B(2,5)你能給出直線的代數(shù)表示嗎?

學(xué)生有的用y=kx+b，求不出來(lái)，有的畫圖寫出直線AB的代數(shù)表示x=2.

追問(wèn)：為什么用y=kx+b表示不出來(lái)?

學(xué)生說(shuō)不清楚.

師：這至少說(shuō)明用y=kx+b表示直線是不全面的，所以我們有必要對(duì)直線的代數(shù)表示進(jìn)行系統(tǒng)、全面的認(rèn)識(shí).

師：解析幾何是用代數(shù)來(lái)研究幾何，點(diǎn)的代數(shù)表示是什么?

學(xué)生：坐標(biāo)(x,y).

追問(wèn)：直線斜率的代數(shù)表示呢?

師：它們都用點(diǎn)的坐標(biāo)表示.

問(wèn)題1：直線是無(wú)數(shù)點(diǎn)構(gòu)成的，那么直線的代數(shù)表示也應(yīng)該朝點(diǎn)坐標(biāo)上想，下面同學(xué)們思考、探究已知一點(diǎn)A(x1,y1)與斜率k和已知兩點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)的直線的代數(shù)表示.

1.2 放手學(xué)生，發(fā)散探究

教師借助幾何畫板演示已知點(diǎn)A(x1,y1)和斜率k所確定的直線l上一動(dòng)點(diǎn)(即任意點(diǎn))P(x,y)在變化，引導(dǎo)學(xué)生觀察、尋找變中的不變.

師：很好！生1抓住變中不變的規(guī)律，用(＊)式表示直線有沒(méi)有什么問(wèn)題?

生2：(＊)式需要限制x1≠x.

師：x1≠x和直線上任意點(diǎn)(x,y)是矛盾，(＊)式表示直線有問(wèn)題，是不是就否定了?

生3：把(＊)式改成y-y1=k(x-x1)

(1)

師：行不行？

學(xué)生一番思考后，確定可以！

追問(wèn)：已知兩點(diǎn)的情況呢？

學(xué)生想了想.

師：兩點(diǎn)確定直線與一點(diǎn)加方向確定直線本質(zhì)是一樣的，生4得到的上式和(1)式一樣，還有沒(méi)有其他形式?

(2)

(x1-x2)(y-y1)=(y1-y2)(x-x1)

(3)

師：很好！這兩個(gè)代數(shù)式都是直線的重要代數(shù)表示，我們后面將深入學(xué)習(xí).

生5：老師！我還發(fā)現(xiàn)一種關(guān)系，直線上任意點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的變化都是按照定比發(fā)生的.

師：生5是從點(diǎn)P橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)各自變化規(guī)律思考，你為什么會(huì)這樣想?

師：很好！斜率定義就是用直線上縱橫坐標(biāo)變化量刻畫的，你能給出橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的各自變化的代數(shù)表示嗎？

追問(wèn)：這個(gè)式子與(1)式有沒(méi)有聯(lián)系？

學(xué)生思考發(fā)現(xiàn)本質(zhì)也是一樣的.

師：生5的發(fā)現(xiàn)是非常有意義，(4)式是直線的參數(shù)表達(dá)形式.

生6：老師！(4)式我還有不同的表示方式.

師：把你的想法說(shuō)說(shuō)看.

生6：當(dāng)點(diǎn)A和斜率k定時(shí)，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P縱橫坐標(biāo)變化只跟AP的長(zhǎng)度有關(guān)，所以，x=x1+APcosα，y=y1+APsinα.

師：漂亮！我們不妨把AP設(shè)為d，則

師：其實(shí)(4)式和(5)式我們?cè)诘谝还?jié)中有一點(diǎn)和斜率畫直線時(shí)已經(jīng)應(yīng)用過(guò)了，只是沒(méi)有總結(jié)，生5和生6的思考非常有價(jià)值，他們超越了課本束縛，這是我們這節(jié)課的最有價(jià)值的發(fā)現(xiàn)之一，關(guān)于它們的學(xué)習(xí)將在選修部分還要重點(diǎn)研究.

1.3 回歸目標(biāo)，總結(jié)探究

師：這節(jié)課我們圍繞直線的代數(shù)表達(dá)進(jìn)行了探究、發(fā)現(xiàn)，課堂上，同學(xué)們沒(méi)有拘泥于課本的現(xiàn)有結(jié)論，而是基于原有認(rèn)知，從已知一點(diǎn)與斜率和已知兩點(diǎn)兩個(gè)不同角度進(jìn)行了認(rèn)真地思考，積極地探究、發(fā)現(xiàn)，得出直線的五種代數(shù)表達(dá)形式，這五種形式各有優(yōu)點(diǎn)也各存不足，既有區(qū)別又有聯(lián)系，探究中我們發(fā)現(xiàn)其他形式都可以轉(zhuǎn)化為(1)式.接下來(lái)我們先從(1)式出發(fā)，探索直線方程的深層認(rèn)識(shí).

師：前面我們探究了直線l上每一點(diǎn)(包括點(diǎn)P)的坐標(biāo)都滿足方程y-y1=k(x-x1)，反過(guò)來(lái)，方程y-y1=k(x-x1)的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線l上嗎？

學(xué)生不語(yǔ).

師：通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，已知過(guò)一點(diǎn)A(x1,y1)與斜率k的直線的代數(shù)表達(dá)為y-y1=k(x-x1)，反過(guò)來(lái)，方程y-y1=k(x-x1)的解都在直線上，所以，我們把方程y-y1=k(x-x1)叫做直線的點(diǎn)斜式方程.

…

2　教學(xué)感悟

回顧這節(jié)課，雖然內(nèi)容沒(méi)上完，但未完的是學(xué)生自己可以繼續(xù)探索的數(shù)學(xué)美景，學(xué)生已經(jīng)掌握了研究方法和方向，根據(jù)這節(jié)課的探究，學(xué)生完全可以自主得到直線的其他方程，因此這節(jié)課引入也就結(jié)束了，未完就是完.回味這節(jié)課，筆者最深的體會(huì)——學(xué)生的發(fā)現(xiàn)探究.教學(xué)中如何設(shè)計(jì)、組織和實(shí)施有效的學(xué)生自主探究，筆者認(rèn)為要做到三點(diǎn)：一是教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)和理解要深刻；二是數(shù)學(xué)探究的實(shí)施教師要給學(xué)生指明探究方向，指導(dǎo)探究方法，江蘇省著名特級(jí)教師仇炳升老先生說(shuō)過(guò)，導(dǎo)師的作用就是給學(xué)生指明探索方向，指導(dǎo)探索方法；三是數(shù)學(xué)探究課需要教師放手學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考、探索發(fā)現(xiàn)，把課堂的話語(yǔ)權(quán)交給學(xué)生，讓學(xué)生自己總結(jié)發(fā)現(xiàn).

2.1　數(shù)學(xué)探究需要教師深刻理解與把握教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)

直線的點(diǎn)斜式方程是直線方程的起始課，也是學(xué)習(xí)解析幾何的開(kāi)始，所以對(duì)直線方程的本質(zhì)認(rèn)識(shí)和理解決定了本節(jié)課教學(xué)定位的高度和學(xué)生學(xué)習(xí)的深度.認(rèn)識(shí)直線方程的本質(zhì)必須研究清楚兩個(gè)問(wèn)題：一是什么是直線方程；二是研究直線方程的方向與方法是什么，以及這些方向、方法對(duì)后面圓、橢圓、雙曲線和拋物線的方程的學(xué)習(xí)會(huì)有什么影響.這兩個(gè)問(wèn)題一個(gè)是知識(shí)，一個(gè)是方法，研究這兩個(gè)問(wèn)題，弄清這兩個(gè)問(wèn)題，圍繞這兩個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)教學(xué)，組織學(xué)生學(xué)習(xí)，自然，課上起來(lái)就不會(huì)乏味.關(guān)于直線的方程我們必須要清楚方程研究直線上任意一點(diǎn)P(x,y)的縱橫坐標(biāo)x,y之間的關(guān)系，有了點(diǎn)和斜率的代數(shù)表示，那么坐標(biāo)是幾何代數(shù)表示的主要方式，這是解析幾何的本質(zhì)，直線方程如此，曲線方程亦如此，教學(xué)中明白了這一點(diǎn)，我們也就不會(huì)把對(duì)直線方程的探究?jī)H僅局限于一個(gè)點(diǎn)，一個(gè)內(nèi)容，課堂自然就朝著發(fā)散，系統(tǒng)，整體的方向發(fā)展.教學(xué)中教師只有深刻理解教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，才能抓住這個(gè)本質(zhì)指明學(xué)生探究方向，指導(dǎo)學(xué)生探究方法，讓學(xué)生朝著這個(gè)方向想，沿著這個(gè)方向探，學(xué)生的思維自然就會(huì)活躍起來(lái)，學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這樣的學(xué)習(xí)和探究自然是深刻的、有深度的.

2.2　數(shù)學(xué)探究需要教師為學(xué)生指明探究方向、指導(dǎo)探究方法

反思當(dāng)前的數(shù)學(xué)探究教學(xué)，多數(shù)數(shù)學(xué)探究都過(guò)于淺顯，探究?jī)?nèi)容過(guò)于指向，或只局限于教材現(xiàn)有的結(jié)論，學(xué)生無(wú)需探究只需翻書即可，缺少一些探索性探究和發(fā)現(xiàn)性探究.也有一些數(shù)學(xué)探究由于探究方向不明確，以至于學(xué)生無(wú)從著手，

課堂也無(wú)法進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)探究活動(dòng).本節(jié)課，筆者從點(diǎn)的代數(shù)表示是坐標(biāo)，斜率的代數(shù)表示也是坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生把直線的代數(shù)表示也朝坐標(biāo)上想，于是提出了：直線是無(wú)數(shù)點(diǎn)構(gòu)成的，那么直線的代數(shù)表示也應(yīng)該朝點(diǎn)坐標(biāo)上想，下面同學(xué)們思考、探究已知一點(diǎn)A(x1,y1)與斜率k和已知兩點(diǎn)A(x1,y1)和B(x2,y2)的直線的代數(shù)表示.問(wèn)題1的呈現(xiàn)十分自然，既不突兀，又符合學(xué)生的認(rèn)知梯度，而且給學(xué)生的探究指明了方向，同時(shí)，學(xué)生進(jìn)行探究中，筆者通過(guò)幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思考和有效探索.教學(xué)中筆者沒(méi)有死板地照著教材，而是遵從學(xué)生的認(rèn)知，放手學(xué)生從兩個(gè)角度同時(shí)進(jìn)行直線的代數(shù)表示探索，這樣不完全受課本結(jié)論牽制，學(xué)生的思維得到激發(fā)與發(fā)散，學(xué)生根據(jù)教師的指導(dǎo)，沿著自己的思維進(jìn)行深度的思考，才有了課堂豐富的探究結(jié)論，這些結(jié)論的發(fā)現(xiàn)正是數(shù)學(xué)探究最可貴的，最難的.

2.3　數(shù)學(xué)探究需要教師放手學(xué)生進(jìn)行深度的探索與發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)探究能不能進(jìn)行一些實(shí)質(zhì)性的探索與發(fā)現(xiàn)不完全由教學(xué)設(shè)計(jì)的高度決定，還有學(xué)生的參與度和思考的深度.數(shù)學(xué)探究的實(shí)施要營(yíng)造學(xué)生積極參與的氛圍，首先要了解學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的認(rèn)知水平，學(xué)生對(duì)直線的已有認(rèn)知水平是兩點(diǎn)確定一條直線和一點(diǎn)加方向確定一條直線(這是第一課時(shí)內(nèi)容).本節(jié)課的引入就是從學(xué)生熟悉的兩點(diǎn)和一點(diǎn)加方向出發(fā)，通過(guò)點(diǎn)和斜率的代數(shù)表示的回顧，引導(dǎo)學(xué)生探索直線的代數(shù)表示的方向，這樣的引導(dǎo)恰好抓住學(xué)生認(rèn)知的最近發(fā)展區(qū)，為后面學(xué)生深度探究做好鋪墊.其次，深度的數(shù)學(xué)探究需要教師拋開(kāi)教學(xué)任務(wù)束縛，放手學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，給學(xué)生充分的探索時(shí)間和空間，把數(shù)學(xué)探究的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生.數(shù)學(xué)探究的核心價(jià)值就是學(xué)生親自探索與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，這樣的過(guò)程對(duì)學(xué)生增長(zhǎng)知識(shí)，發(fā)展能力，提升素養(yǎng)有著不可估量的意義.直線的點(diǎn)斜式方程筆者教過(guò)不少遍，但是像這樣放手探究還是第一次，像這樣一節(jié)課給出五種直線的表示形式也是第一次，關(guān)鍵是都是學(xué)生給出的，這里有很多已經(jīng)超出老師的預(yù)設(shè)和想象.筆者認(rèn)為這樣探索與發(fā)現(xiàn)，學(xué)生不僅對(duì)直線方程能夠形成系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，也為將來(lái)研究圓，圓錐曲線積淀思想與方法 ，這樣既能教會(huì)學(xué)生，又能教學(xué)生會(huì)學(xué)的數(shù)學(xué)探究我們何樂(lè)而不為.

2.4　數(shù)學(xué)探究需要教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)分析與論證

數(shù)學(xué)探究一個(gè)正在興起的數(shù)學(xué)教學(xué)方式，大家積極探索和實(shí)踐是好事，但它更需要我們正確的認(rèn)識(shí)、理解和把握，讓數(shù)學(xué)探究真正地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行有效探索與發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生在探究獲得發(fā)展，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)在探究中逐漸形成.筆者撰寫此文既是一個(gè)數(shù)學(xué)探究教學(xué)，又是一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)探究，希望它留給大家的不只是一個(gè)探究案例，探究經(jīng)驗(yàn)，更多的是探究啟發(fā).