高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中設(shè)置探究問題的幾種策略

廣東省云浮市鄧發(fā)紀(jì)念中學(xué)(527300) 廖克鋒

高中數(shù)學(xué)課程倡導(dǎo)自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方式,這些方式有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性,使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的“再創(chuàng)造”過程.教師根據(jù)不同的設(shè)置策略,把課堂教學(xué)中的某些數(shù)學(xué)問題以不同形式呈現(xiàn)、多角度考察,有助于培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑和善于反思的習(xí)慣,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、解決數(shù)學(xué)問題的能力,有助于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力[1].數(shù)學(xué)課堂中,如何體現(xiàn)和保障學(xué)生的主體地位,喚醒學(xué)生的主體意識,關(guān)鍵是處于主導(dǎo)地位的教師如何“導(dǎo)”,而教師在課堂中設(shè)置恰當(dāng)?shù)奶骄繂栴}是“導(dǎo)”的一種重要手段.筆者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐,圍繞“高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何設(shè)置探究問題”這個(gè)主題,結(jié)合數(shù)學(xué)實(shí)例,探討設(shè)置探究問題的幾種策略.

1 設(shè)置“由特殊到一般”的探究問題

1.1 數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的“由特殊到一般”

現(xiàn)行教材中不少數(shù)學(xué)概念是一開始就用演繹的方法描述出來,即先給出形式定義,然后讓學(xué)生去理解消化,再去應(yīng)用.而這種描述方式,有時(shí)讓學(xué)生去理解概念是有些困難的,這時(shí)授課教師可以通過設(shè)置一些具體的例子,讓學(xué)生根據(jù)具體例子去觀察、分析、歸納,探究出本質(zhì),形成概念.例如在講授概念“異面直線”時(shí),可先引導(dǎo)學(xué)生觀察長方體的12條棱之間的位置關(guān)系、課室內(nèi)一些線條的位置關(guān)系等,探究出那些是異面直線,能很好地幫助學(xué)生理解“異面直線”的概念.

1.2 數(shù)學(xué)公式中的“由特殊到一般”

1.3 數(shù)學(xué)解題中的“由特殊到一般”

解題是學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中必不可少的學(xué)習(xí)任務(wù),而培養(yǎng)學(xué)生熟練掌握解題的通性通法是教師的重要教學(xué)任務(wù).教師在課堂教學(xué)的過程中,若能根據(jù)學(xué)生的知識水平和接受能力,在恰當(dāng)?shù)墓?jié)點(diǎn)設(shè)置恰當(dāng)?shù)奶骄繂栴},能開拓學(xué)生的視野,逐步提高創(chuàng)造性思維的水平.

例2 已知數(shù)列{an}中,a1=1,an≠0,an?an+1=anan+1,Sn是該數(shù)列的前n項(xiàng)和.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

分析(1)(過程略).

通過以上的探究活動,從而發(fā)現(xiàn)一般的放縮、分組求和的規(guī)律如下:

2 設(shè)置“由一般到特殊”的探究問題

根據(jù)演繹法的三段論原理,若一般情形下某個(gè)結(jié)論成立,則特殊情形下該結(jié)論肯定成立.利用該原理,在解決一些數(shù)學(xué)問題時(shí),會起到事半功倍的效果.因此,教師在講授解題思想方法時(shí),可以設(shè)置一些“由一般到特殊”探究問題,訓(xùn)練學(xué)生的思維品質(zhì),提高學(xué)生的解題能力.

2.1 把目標(biāo)變量取特殊值

例3 (2016年高考新課標(biāo)全國卷I理科第8題)若a＞b＞1,0＜c＜1,則( )

A.ac＜bcB.abc＜bac

C.alogbc＜blogacD.logac＜logbc

分析一般性的數(shù)值特殊化,令得A3＜2,故A選項(xiàng)錯(cuò)誤;B18＜12,故B選項(xiàng)錯(cuò)誤;故D選項(xiàng)錯(cuò)誤;所以正確選項(xiàng)為C.

例5 (2012年高考新課標(biāo)全國卷理科第16題)數(shù)列{an}滿足an+1+(?1)nan=2n?1,n∈N?,則{an}的前60項(xiàng)和為___.

分析該數(shù)列沒有給出首項(xiàng),說明結(jié)果與首項(xiàng)無關(guān).因此可令首項(xiàng)a1=1為定值,比如令首項(xiàng),再遞推出該數(shù)列的前10多項(xiàng),觀察歸納出規(guī)律,從而找到解決問題的突破口.當(dāng)然也可以通過多種不同的演繹推理得出結(jié)果(詳見文獻(xiàn)[3]),但在高考考場上,特值法是學(xué)生比較容易想到的.

2.2 把目標(biāo)數(shù)學(xué)式子(如函數(shù),方程,不等式,數(shù)列等)取特定式子

例6 (2014高考新課標(biāo)全國II卷理第15題):已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,f(2)=0.若f(x?1)＞0,則x的取值范圍是____.

分析根據(jù)題意,函數(shù)f(x)是不確定的抽象函數(shù),但答案是唯一的.故可構(gòu)造特殊函數(shù)f(x)=?x2+4,則f(x?1)=?x2+2x+3,解不等式f(x?1)＞0得x∈(?1,3).

例7 已知定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x),f′(x)是其導(dǎo)函數(shù),2f(x)+xf′(x)＞0,則下列不等式正確的是( )

分析構(gòu)造函數(shù)g(x)=x2f(x),則g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x(2f(x)+xf′(x))＞0,故函數(shù)g(x)=x2f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,即有g(shù)(2)＜g(e),即

2.3 把目標(biāo)圖像化為特殊圖型

例8 教材[2]118復(fù)習(xí)參考題A組第2題的第5小題:設(shè)M是平行四邊形ABCD的對角線的交點(diǎn),O為任意一點(diǎn),則

分析設(shè)點(diǎn)O與點(diǎn)A重合,則選D.

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的過程中,適當(dāng)設(shè)置一些可用特殊化方法解決的問題,讓學(xué)生深入體驗(yàn)和探究,體會特殊化思想的好處,提高學(xué)生思維的批判性品質(zhì),可進(jìn)一步提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

3 設(shè)置多種形式的變式問題,引導(dǎo)學(xué)生逐步深入探究

美國認(rèn)知心理學(xué)家赫伯·西蒙提出了一套西蒙數(shù)學(xué)教學(xué)理論,提倡“做中學(xué),例中學(xué)”.西蒙數(shù)學(xué)教學(xué)法是倡導(dǎo)“組塊式問題教學(xué)”,常常通過設(shè)置問題的變式,用問題鏈的形式展現(xiàn)給學(xué)生,讓學(xué)生逐步深入探究,直到全面地熟練掌握相關(guān)知識.設(shè)置問題鏈可通過變結(jié)論、強(qiáng)化或弱化條件、變?yōu)槟婷}或否命題、類比等方式進(jìn)行變式設(shè)置.

例9 根據(jù)西蒙數(shù)學(xué)教學(xué)法原理,設(shè)置以下問題鏈讓學(xué)生探究“連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值問題”:

①求函數(shù)f(x)=2x?1在區(qū)間[5,20]內(nèi)的最值.

②求函數(shù)f(x)=kx?1,k∈R在區(qū)間[5,20]內(nèi)的最值.

③求函數(shù)f(x)=4x2?48x?8在區(qū)間[5,20]內(nèi)的最值.

④求函數(shù)f(x)=4x2?48x?8在區(qū)間[5,k],k＞5內(nèi)的最值.

⑤求函數(shù)f(x)=4x2?kx?8在區(qū)間[5,20]內(nèi)的最值.

⑥求函數(shù)f(x)=4x2?kx?8在區(qū)間[5,k],k＞5內(nèi)的最值.

⑦求函數(shù)f(x)=4sin2x?ksinx?8的最值.

⑧求函數(shù)f(x)=3·4x?k·2x?8在區(qū)間[?2,2]內(nèi)的最值.

⑨若函數(shù)f(x)的圖像如圖1所示,請說出“求該函數(shù)在區(qū)間[2,5]內(nèi)最值”的思路(不用計(jì)算).

圖1

通過對以上9個(gè)子問題組成的問題鏈的探究,學(xué)生基本上都能熟練掌握“通過研究函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性來求最值”的數(shù)學(xué)方法.并且,學(xué)生在探究過程中也體會到了數(shù)形結(jié)合、分類討論、等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,掌握了換元法的應(yīng)用,學(xué)會了用動態(tài)分析的思維方式研究問題,提高了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性.

4 設(shè)置“似是而非,形似質(zhì)異”的探究問題

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中,注重培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性是很重要的.有些數(shù)學(xué)問題形式上很接近,而數(shù)學(xué)本質(zhì)卻相距很遠(yuǎn).因此,課堂上可適時(shí)設(shè)置一些常見的易混淆的數(shù)學(xué)問題,讓學(xué)生去探究,提高學(xué)生的思辨能力.

例10 (1)若函數(shù)f(x)=x2?2ax?3的增區(qū)間是[1,+∞),求實(shí)數(shù)a的值.

(2)若函數(shù)f(x)=x2?2ax?3在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(3)求函數(shù)f(x)=x3?3x在點(diǎn)處的切線方程.

(4)求函數(shù)f(x)=x3?3x過點(diǎn)的切線方程.

求實(shí)數(shù)a,b的取值范圍.以上(1)與(2)、(3)與(4)、(5)與(6)都是形式很接近,但解決問題的方法是有很大區(qū)別的.構(gòu)造多個(gè)似是而非的數(shù)學(xué)問題放在一起讓學(xué)生去探究,更能考察學(xué)生的審題能力、對相關(guān)知識的掌握程度以及解決問題的能力,這也不失是為一種好的設(shè)置問題的策略.

5 設(shè)置“示錯(cuò)解法”,引導(dǎo)學(xué)生探究正確解法,培養(yǎng)學(xué)生辨析能力

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過程中,針對某個(gè)數(shù)學(xué)問題,教師可以給出解題過程有誤(或有瑕疵的)解法,引導(dǎo)學(xué)生自行探究,并要求學(xué)生弄清哪里出錯(cuò)、為什么錯(cuò)、如何更正或自行給出另外正確解法.

例11 已知若α是第三象限角,則的值是___.

教師展示錯(cuò)誤解法:

分析解答過程忽視了α所在象限的限制,導(dǎo)致符號的錯(cuò)誤.根據(jù)α是第三象限角,可推導(dǎo)出為第二或第四象限角,故答案應(yīng)為

例12 已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,且對所有n∈N?都有an=n2+λn恒成立,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為是____.

思路1設(shè)函數(shù)f(x)=x2+λx,易得f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增,已知{an}是遞增數(shù)列,所以即實(shí)數(shù)λ的取值范圍為是λ≥?2.

思路2已知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,則an＜an+1,n∈N?恒成立,即2n+1+λ＞0恒成立,故λ＞?3.

分析為何出現(xiàn)了不同的結(jié)果呢?引導(dǎo)學(xué)生分析出產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因.(思路1把函數(shù)的單調(diào)性與數(shù)列的單調(diào)性混淆了,而導(dǎo)致出錯(cuò).)

6 拓展與引申,追根溯源,直窺本質(zhì)

有些數(shù)學(xué)問題隱含著豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵知識,表題的背后往往還有很大的拓展與引申空間留給學(xué)生去觀察去發(fā)現(xiàn)、去挖掘探究.這就需要教師通過合理的引導(dǎo),讓學(xué)生學(xué)會透過表題探究本質(zhì),從而達(dá)到“培養(yǎng)學(xué)生追根溯源的鉆研精神,鍛煉學(xué)生的發(fā)散思維”的目的.

例13 教材[4]第73頁習(xí)題2.4 A組第6題:如圖2,直線y=x?2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),求證:OA⊥OB.(等價(jià)命題:已知直線y=x?2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),求證:以線段AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn))

圖2

探究一易知直線y=x?2與x軸交于點(diǎn)C(2,0),根據(jù)圖像的特征,是否存在其它直線也過點(diǎn)C(2,0),且與直線y=x?2一樣有類似的性質(zhì)?若有,求出該直線方程;若無,請說明理由.(說明:根據(jù)圖像的對稱性,學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)“與已知直線y=x?2關(guān)于x軸對稱的直線也符合要求,基礎(chǔ)好的學(xué)生甚至能探究出“經(jīng)過點(diǎn)C(2,0)且斜率不為0的直線”都符合要求);探究一得到正確的結(jié)論1:經(jīng)過點(diǎn)C(2,0)且斜率不為0的直線與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),則OA⊥OB.

探究二結(jié)論1具有一般性嗎?即是否存在經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)且斜率不為0的直線與拋物線y2=2px(p＞0)相交于A,B兩點(diǎn),使得OA⊥OB?(根據(jù)圖像的對稱性,若存在滿足條件的點(diǎn),必然在拋物線的對稱軸上);探究二得到正確的結(jié)論2:經(jīng)過定點(diǎn)(2p,0)且斜率不為0的直線與拋物線y2=2px(p＞0)相交于A,B兩點(diǎn),則OA⊥OB.

探究三結(jié)論2的逆命題成立嗎?探究三得到正確的結(jié)論3:設(shè)A,B是拋物線y2=2px(p＞0)上兩點(diǎn),且OA⊥OB,則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)(2p,0).

探究四設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)是拋物線y2=2px(p＞0)上的一個(gè)定點(diǎn),A,B是拋物線上兩個(gè)動點(diǎn),且MA⊥MB,則直線AB經(jīng)過是否經(jīng)過某個(gè)定點(diǎn)?若是,求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請說明理由.探究四得到正確的結(jié)論4:設(shè)點(diǎn)M(x0,y0)是拋物線y2=2px(p＞0)上的一個(gè)定點(diǎn),A,B是拋物線上兩個(gè)動點(diǎn),且MA⊥MB,則直線AB經(jīng)過定點(diǎn)M(x0+2p,?y0)(以拋物線上定點(diǎn)M(x0,y0)為直角頂點(diǎn)的拋物線內(nèi)接直角三角形的斜邊必過定點(diǎn)).

通過以上四次探究活動,讓學(xué)生體驗(yàn)了整個(gè)知識的產(chǎn)生過程,也收獲了成功的喜悅.教師把教材的習(xí)題進(jìn)行合理和必要的拓展引申,不單是拓展了學(xué)生的知識面,更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的分析問題、解決問題的能力,讓學(xué)生懂得了透過現(xiàn)象尋本質(zhì),培養(yǎng)了學(xué)生鍥而不舍追求真理的學(xué)習(xí)態(tài)度和求知精神.

總而言之,高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師的講授仍然是重要的教學(xué)方式之一,但要注意的是必須關(guān)注學(xué)生的主體參與,師生互動.高中數(shù)學(xué)課程在教育理念、學(xué)科內(nèi)容、課程資源的開發(fā)利用等方面都對教師提出了挑戰(zhàn).在教學(xué)中,教師應(yīng)根據(jù)高中數(shù)學(xué)課程的理念和目標(biāo),學(xué)生的認(rèn)知特征和數(shù)學(xué)的特點(diǎn),積極探索適合高中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的教學(xué)方式.在探究式高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,根據(jù)學(xué)生的思維特點(diǎn),采用符合學(xué)科特點(diǎn)的設(shè)置策略,構(gòu)造出符合學(xué)生認(rèn)知水平的探究問題,讓學(xué)生積極參與到課堂教學(xué)活動中來,教育教學(xué)效果就會水到渠成.