初中數(shù)學(xué)中的幾何最值問(wèn)題的探究

汪振方

【摘 要】運(yùn)動(dòng)著的車、船、飛機(jī)，包括人們每天走路都要遇到幾何中的最值問(wèn)題.古今中外的任何旅行者總希望尋求最佳的旅行路線，盡量走近道，少走冤枉路.我們把這類求近道的問(wèn)題統(tǒng)稱最短線路問(wèn)題.從某種意義上說(shuō)，一筆畫問(wèn)題也屬這類問(wèn)題.看來(lái)最短線路問(wèn)題在生產(chǎn)、科研和日常生活中確實(shí)重要且應(yīng)用廣泛.

【關(guān)鍵詞】最值問(wèn)題 解決方法 探究

唐朝詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河.”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題.

如圖1所示，詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點(diǎn)出發(fā)，走到河邊飲馬后，再到B點(diǎn)宿營(yíng).請(qǐng)問(wèn)怎樣走才能使總的路程最短？

在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對(duì)帶有“最”字的問(wèn)題，如在一定的方案中，花費(fèi)最低、消耗最少、產(chǎn)值最高、獲利最大等；解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們也常常碰到求某個(gè)變量的最大值或最小值之類的問(wèn)題，這就是我們要討論的最值問(wèn)題，同樣在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件下變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長(zhǎng)度、圖形的面積、角的度數(shù)）的最大值或最小值問(wèn)題，也是我們要討論的最值問(wèn)題。

解決問(wèn)題：如圖2所示，從A出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D，在AD的延長(zhǎng)線取A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B，與河岸線相交于C，則C點(diǎn)就是飲馬的地方，將軍只要從A出發(fā)，沿直線走到C，飲馬之后，再由C沿直線走到B，走的路程就是最短的.

如果將軍在河邊的另外任一點(diǎn)C′飲馬，所走的路程就是AC′+C′B，但是，AC'+C'B=A'C'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB. 可見，在C點(diǎn)外任何一點(diǎn)C'飲馬，所走的路程都要遠(yuǎn)一些.

這有幾點(diǎn)需要說(shuō)明的：

（1）由作法可知，河流l相當(dāng)于線段AA'的中垂線，所以AD=A′D。

（2）由上一條知：將軍走的路程就是AC+BC，就等于A′C+BC，而兩點(diǎn)確定一條直線，所以C點(diǎn)即為所求。

變式題：（請(qǐng)同學(xué)們自己畫圖）若A、B兩點(diǎn)分別在河流L的兩側(cè)，在河流L上取一點(diǎn)P使|PAPB|的值最大。

解決問(wèn)題：作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B并延長(zhǎng)交直線l于P，則PA=PA′，因而|PAPB|=|PA′PB|，則當(dāng)A′，B、P在同一條直線上時(shí)，|PAPB|的值最大.

如果在河邊的另外任取一點(diǎn)異于點(diǎn)P的點(diǎn)P′，則P′A=P′A′，因而|P′AP′B|

=|P′A′P′B| A'B=|PA′PB|=|PAPB|，

可見，在P點(diǎn)外任何一點(diǎn)P'，都有|P′AP′B||PAPB|，也就是|PAPB|

的值最大。

最值問(wèn)題的解決方法通常有兩種：

（1）應(yīng)用幾何性質(zhì)：

①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

②兩點(diǎn)間線段最短；

③連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；

④定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。

（2）運(yùn)用代數(shù)證法：

①運(yùn)用配方法求二次函數(shù)或二次三項(xiàng)式的最值；

②運(yùn)用一元二次方程根的判別式。

例如：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上，OA=3，OB=4，D為邊OB的中點(diǎn).

（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CDE的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）若E、F為邊OA上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，當(dāng)四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo).

分析：（1）由于C、D是定點(diǎn)，則CD是定值，如果△CDE的周長(zhǎng)最小，即DE+CE有最小值.為此，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，當(dāng)點(diǎn)E在線段CD′上時(shí)，△CDE的周長(zhǎng)最??；

（2）由于DC、EF的長(zhǎng)為定值，如果四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小，即DE+FC有最小值.為此，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，在CB邊上截取CG=2，當(dāng)點(diǎn)E在線段D′G上時(shí)，四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小.

解：（1）如圖1，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，連結(jié)CD'與x軸交于點(diǎn)E，連結(jié)DE.若在邊OA上任取點(diǎn)E'與點(diǎn)E不重合（如圖2），連結(jié)CE'、DE'、D'E'.

由DE'+CE'=D'E'+CE'>CD'=D'E+CE=DE+CE，

可知△CDE的周長(zhǎng)最小.

∵在矩形OACB中，OA=3，OB=4，D為OB的中點(diǎn)，

∴BC=3，D'O=DO=2，D'B=6，

∵OE∥BC，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）；

（2）如圖3，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D'，在CB邊上截取CG=2，連結(jié)D'G與x軸交于點(diǎn)E，在EA上截取EF=2，

∵GC∥EF，GC=EF，

∴四邊形GEFC為平行四邊形，有GE=CF，又DC、EF的長(zhǎng)為定值，

∴此時(shí)得到的點(diǎn)E、F使四邊形CDEF的周長(zhǎng)最小.

∵OE∥BC，

點(diǎn)評(píng)：此題是2010年天津市中考數(shù)學(xué)試卷第25題，主要考查軸對(duì)稱——最短路線問(wèn)題，解決此類問(wèn)題，一般都是運(yùn)用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將求折線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求線段問(wèn)題，其說(shuō)明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊.

總之，在解答這種題目時(shí)一定要審清題目意思，注意條件，采用哪一個(gè)幾何性質(zhì)或定理，以及如何建立變量的函數(shù)關(guān)系式。題目千千萬(wàn)，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)總結(jié)，要培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣及數(shù)學(xué)思維能力。