高考對(duì)圓錐曲線的考查及創(chuàng)新教學(xué)思路分析

張清強(qiáng)

【摘 要】圓錐曲線是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)和熱點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容之一。在2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜凭碇袌A錐曲線的內(nèi)容有24分，都是以中難題的形式出現(xiàn)。試題充分體現(xiàn)了以主干知識(shí)為重點(diǎn)，以通性和通法為方法，考查了平面解析幾何的思想、方法及學(xué)生的運(yùn)算能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本文通過對(duì)圓錐曲線方程試題中所考查的知識(shí)點(diǎn)和解題方法進(jìn)行分析，提出創(chuàng)新圓錐曲線教學(xué)的一些建議。

【關(guān)鍵詞】高考理科卷 圓錐曲線 創(chuàng)新教學(xué)

2017年高考全國卷理科卷在圓錐曲線方面的考點(diǎn)變化不大。就知識(shí)結(jié)構(gòu)而言，體現(xiàn)了突出主干知識(shí)、回歸教材的思路，重點(diǎn)考查了圓錐曲線核心知識(shí)，體現(xiàn)了圓錐曲線與其他知識(shí)點(diǎn)的交匯。就對(duì)方法、能力的考查來看，試題有效考查了學(xué)生邏輯推理、數(shù)形結(jié)合、運(yùn)算求解等方面的能力。在圓錐曲線的教學(xué)實(shí)踐中，我們多研究高考試題，在把握命題思路和特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)新教學(xué)思路，對(duì)于提高課堂教學(xué)效率和學(xué)生解題能力至關(guān)重要。

一、試題分析

例 已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），四點(diǎn)P1（1，1），P2（0，1），P3（–1， ），P4（1， ）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上。

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過定點(diǎn).

上述例題是2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜凭碇械脑囶}，考查的是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系。

二、解題思路

解題思路：根據(jù)P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，由橢圓的對(duì)稱性可知C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn)，另外由1/a2+1/b2>1/a2+1/4b2知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上，因此P2，P3，P4在橢圓上，代入其標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求出C的方程；

先設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，再設(shè)直線l的方程，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，通過計(jì)算，不滿足題意，再設(shè)l：y=kx+m（m≠1），將y=kx+m代入x2/4+y2=1，寫出判別式，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出x1+x2，x1x2，進(jìn)而表示出k1+k2，根據(jù)k1+k2=-1列出等式表示出k和m的關(guān)系，從而判斷出直線恒過定點(diǎn).

解題方法：（1）由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn).

又由1/a2+1/b2>1/a2+1/4b2知，C不經(jīng)過點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上。因此1/b2=1，1/a2+1/4b2=1，進(jìn)一步解得a2=4，b2=1，故C的方程為x2+y2=1.

（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知t≠0，且ItI<2，可得到A，B的坐標(biāo)，進(jìn)一步得t=2，不符合題設(shè).

從而可設(shè)l：y=kx+m（m≠1）.將y=kx+m代入x2/4+y2=1得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0.

由題設(shè)可知Δ=16（4k2-m2+1）>0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=-8km/4k2+1，x1x2=4m2-4/4k2+1.

而k1+k2=（y1-1）/x1+（y2-1）/x2=（kx1+m-1）/x1+（kx2+m-1）/x2

=2kx1x2+（m-1）（x1+x2）/x1x2.

由題設(shè)k1+k2=-1，故（2k+1）x1x2+（m-1）（x1+x2）=0.

即（2k+1）·（4m2·4）/（4k2+1）+（m-1）·-8km/4k2+1=0.

解得k=-（m+1）/2.

當(dāng)且僅當(dāng)m>-1時(shí)，Δ>0，于是l：y=-（m+1）/2·x+m，

即y+1=-（m+1）/2·（x-2），所以l過定點(diǎn)（2，-1）.

三、基于高考考查點(diǎn)的圓錐曲線創(chuàng)新教學(xué)策略

1.回歸本質(zhì) 活學(xué)活用

圓錐曲線的定義是解答圓錐曲線試題、推導(dǎo)曲線方向的最根本依據(jù)，在圓錐曲線的定義中展示了三種曲線的性質(zhì)與幾何特征，以圓錐曲線定義為基礎(chǔ)，也是解題最直接的方法。在圓錐曲線教學(xué)過程中，要貫徹“源于課本，高于課本”的原則。高考并不神秘，它注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法的考查，很多試題的根源在于課本，經(jīng)常是課本例題的變式題，在教學(xué)時(shí)只要弄清高考知識(shí)點(diǎn)及對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)與應(yīng)用能力的要求，重視課本的基礎(chǔ)作用，活學(xué)活用，就可以達(dá)到事半功倍的效果。

2.知識(shí)交匯 突破城規(guī)

圓錐曲線試題解答中熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)、強(qiáng)化通性通法、滲透數(shù)學(xué)思想才是解題的關(guān)鍵所在。高考命題的熱點(diǎn)是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題的基本思想在于將直線方程帶入曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式，這類綜合題涉及的問題較多，解題時(shí)要注重知識(shí)的交匯。在日常教學(xué)活動(dòng)中，需要指導(dǎo)學(xué)生注重方法提煉，掌握好通性通法，才能在考試中有的放矢。

3.提升素養(yǎng) 創(chuàng)新發(fā)展

高考圓錐曲線試題注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法與技能的訓(xùn)練，注重?cái)?shù)學(xué)思想的滲透，使學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行探索研究。在教學(xué)實(shí)踐中應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，可以通過一題多解、一題多變等方式強(qiáng)化學(xué)生的發(fā)散思維，激發(fā)學(xué)生的探索興趣。就高考考綱對(duì)能力的重新界定可以看出，高考試題考查的是學(xué)生解題過程中的知識(shí)運(yùn)用、方法確定、算法選擇和創(chuàng)新意識(shí)。

本文所選擇的試題對(duì)圓錐曲線方程的考查主要還是通過常規(guī)問題考查基礎(chǔ)知識(shí)及基本思想方法。解答試題的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)所給出的幾何關(guān)系和條件，結(jié)合圓錐曲線定義，確立未知量方程或未知量不等式。從圓錐曲線在高考中所占的比重和分值，不難看出解析幾何內(nèi)容在高中數(shù)學(xué)中的重要性，因解析幾何講究的是通性通法，在日常教學(xué)中不僅要指導(dǎo)學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，還要注重?cái)?shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，讓學(xué)生在思考、分析、理解的過程中，進(jìn)行學(xué)習(xí)與創(chuàng)新。

參考文獻(xiàn)

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