尋找求解高考大題規(guī)律

廖捷

【摘 要】高考數(shù)學函數(shù)與導數(shù)一般在試卷中分布的是三到五個小題和一個大題，主要是考察學生對函數(shù)基本形式及圖像變換規(guī)律的運用，導數(shù)部分主要是考察導數(shù)的幾何意義以及運用不等式解題的綜合知識，難度屬于中等難度。本文就尋找求解高考大題規(guī)律加以分析。

【關鍵詞】高考 數(shù)學 大題規(guī)律

有關函數(shù)與導數(shù)的小題壓軸題是新課標全國卷的高頻考題，高頻題型：一是以導數(shù)面目包裝的函數(shù)性質(zhì)題（單調(diào)性、奇偶性、最值等）；二是用導數(shù)法判斷函數(shù)f（x）的圖象或已知函數(shù)圖象求參數(shù)的取值范圍；三是函數(shù)與集合、不等式、數(shù)列、平面向量、新定義等知識相交匯.高考數(shù)學導數(shù)題是高考中最難也是體現(xiàn)差距的最大的一道障礙，很顯然單純的訓練做一些模擬題目基本很難突破這類題目，下面結合具體題目談一談高考大題規(guī)律。

一、分離參數(shù)——恒成立問題

分離參數(shù)法是求參數(shù)的取值范圍的一種常用方法.通過分離參數(shù)，用函數(shù)觀點討論主變量的變化情況，由此我們可以確定參數(shù)的變化范圍.這種方法可以避免分類討論的麻煩，從而使問題得以順利解決.分離參數(shù)法在解決有關不等式恒成立、不等式有解、函數(shù)有零點、函數(shù)單調(diào)性中參數(shù)的取值范圍問題時經(jīng)常用到.解題的關鍵是分離出參數(shù)之后將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題。

例1.設函數(shù)f（x）=ax^2-3x+1 對于x∈[-1，1] 總有f（x）≥0 成立，求a 的取值范圍.

解：對于x∈[-1，1]，ax^2-3x+1≥ 0.故ax^2≥ 3x-1.當x= 0時顯然成立；若x不為0，則有 a≥ （3x-1） / x^2 = 3/x-1/x^2 =9/4- （1/x-3/2）^2設t =1/x，則 t∈（- ∞，-1]∪[1， + ∞）；再設g（t） =9/4 - （t -3/2）^2.g（t）的圖象是一開口向下的拋物線，在t = 3/2取最大值.故g（t）≤g（3/2） = 9/4.也就是說對于x∈[-1，1]且x≠0，（3x-1） / x^2≤9/4.∴ a≥9/4.

例2.討論關于x的方程：lg（x-1）+lg（4-x）=lg（a-x）的實數(shù)解的個數(shù).解： 原方程可化為：（x-1）（4-x）=a-x （1

恒成立的問題就是在給出一定的條件下，量變無論發(fā)生什么變化，命題是-定成立的。要解答恒成立的問題，就要涉及-次函數(shù)、二次函數(shù)、復合函數(shù)和函數(shù)導數(shù)等多個知識點，恒成立的問題考查了學生抽象概括的能力、論證的能力以及運算解題能力等多種數(shù)學能力，包含分類與整合思想和數(shù)形結合思想等多種數(shù)學思想，還有利于考査學生的綜合解題能力與解題思維的靈活性并且激發(fā)學生的創(chuàng)造性也符合高考出題的立意，使學生把數(shù)學思維和解題方法有效地結合。由于取值恒成立問題涉及的知識很廣，綜合性強，學生在解題時借用知識模板來做題往往得不出結論，讓學生琢磨不定，稱為一個解題的難點。在解決不等式恒成立的問題時，重要的思維解題方法就是構造適當?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)圖像和性質(zhì)來解決問題，也要注意一個含多個變量的問題，要確定合適的變量和參數(shù)來揭示函數(shù)的數(shù)量關系，一般就是知道一定范圍已知的變量來解決范圍的量為參數(shù)。

以2016全國卷甲：已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）為例：當a=4時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；若當X （1，+ ）時，f（x）>0，求a的取值范圍。X （1，+ ）時，f（x）>0，（x+1）lnx/x-1>a恒成立，設h（x）=（x+1）lnx/x-1，設g（x）=-2lnx+（x+1）（x-1）/x，經(jīng)過解題計算得出a 2。小結：恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，是一個基本數(shù)學思想方法，但是這里難點就是最值不容易求，如果用到極限思想，結合求極限的洛必達法則，則問題就很簡單了。

二、分離常數(shù)

分離常數(shù)法在含有兩個量（一個常量和一個變量）的關系式（不等式或方程）中，要求變量的取值范圍，可以將變量和常量分離（即變量和常量各在式子的一端），從而求出變量的取值范圍。

分離常數(shù)法：為了方便記憶，我們從分子到分母，每一項前系數(shù)依次設為a，b，c，d，公式推導應該用Y=（ax+b）/（cx+d）（c≠0）。所以，將形如Y=（cx+d）/（ax+b）（a≠0）的函數(shù)，分離常數(shù)，變形過程為（ax+b）/（cx+d）=[a/c（cx+d）+b-da/c]/（cx+d）=a/c+（b-da/c）/（cx+d） 。

a/c+（b-da/c）/（cx+d）可以稱作分式一般式分離常數(shù)公式。

這種方法純粹是用到高中數(shù)學知識，但是有幾個難點，第一個難點是最值不容易求，為了突破這一難點，仍然以以2016全國卷甲：已知函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）為例：當a=4時，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；若當X （1，+ ）時，f（x）>0，求a的取值范圍為例。首先求端點值h（1）=0，于是問題可以轉(zhuǎn)化為兩種情形的可能，第二個難點是盡管第二種情形還是要求最值，但是往往這種情形會被第一種情形包含或者否定掉，接下來第一種情形又可以轉(zhuǎn)化為h（x）>=0恒成立，所以進一步轉(zhuǎn)化為求導函數(shù)（或者導函數(shù)的一部分函數(shù)）的最值問題。設方程g（x）=0的兩個根分別記為x1，x2，由韋達定理可得x1x2=1，因此可以設x1<10，不設防x在（1，x2）上遞減，在（x2，+∞）上遞增綜上有，當x∈（1，+∞），h（x）>0恒成立，則a 2。

三、數(shù)形結合

數(shù)形結合是數(shù)學研究和學習中的重要思想和解題方法，用數(shù)形結合方法可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化；能夠變抽象的數(shù)學語言為直觀的圖形、抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質(zhì)。所謂數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關系與空間形式和諧結合在一起的方法。通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”這兩大題型的具體分析，揭示出“數(shù)”與“形”之間的緊密關系，從而把問題優(yōu)化，獲得解決。數(shù)形結合不僅是一種數(shù)學思想，也是一種很好的學習方法。在學習過程中有些學生覺得難以理解，有的甚至經(jīng)常出現(xiàn)錯誤或混淆的內(nèi)容，數(shù)形結合可充分利用“形”，把抽象的問題變得直觀、形象，很容易引發(fā)聯(lián)想，探索規(guī)律，得出結論。在函數(shù)曲線這個數(shù)學問題上，借形解題，不僅要畫出函數(shù)圖像或曲線的大致性轉(zhuǎn)向，而且還有盡量準確地描繪圖形，特別要注意在同一坐標系中，不同的函數(shù)相對的位置關系，在圖上一一標明，更有助于提高解題的準確性。 通過圖形構造解讀不等式的解集、方程的根以及參數(shù)的范圍；建立數(shù)形結合模型，處理量與量之間的變化關系。

函數(shù)的性質(zhì)在高考中占有較高比重，其在函數(shù)知識的學習中也是一個十分重要的知識點。然而學生對于函數(shù)的性質(zhì)即函數(shù)中量與量之間的關系一直視為一大難題，之所以形成這種局面是因為這方面的知識內(nèi)容較為抽象，理解起來存在一定難度。為了克服這種不利的教學現(xiàn)狀，教師可以將數(shù)形結合的教學方法融入日常教學活動中，借助直觀形象的圖形達到幫助學生理解知識，鼓勵學生使用數(shù)形結合思想處理相關數(shù)學問題。如題：“已知方程x2-4x+3=m有4個根，求實數(shù)m的取值范圍”此題并不涉及方程根的具體值，只求根的個數(shù)，而求方程根的個數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為求兩條曲線的交點的個數(shù)問題來解決，即求解函數(shù)y=x2-4x+3與函數(shù)y=m圖象的交點的個數(shù)。如此一來，原本抽象的數(shù)量變化關系就變得十分具體，數(shù)形模型的建立就是準確快速解答的前提。

1.借助數(shù)形轉(zhuǎn)化關系幫助學生準確理解函數(shù)概念

高中數(shù)學教師設計函數(shù)概念課程時，應引導學生學習和掌握數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化關系，這種轉(zhuǎn)化關系主要體現(xiàn)為：（1）“由形化數(shù)”：借助所給的圖形，仔細觀察研究，提示出圖形中蘊含的數(shù)量關系，反映幾何圖形內(nèi)在的函數(shù)屬性；（2）“由數(shù)化形”：根據(jù)題設條件正確繪制相應的圖形，使圖形能充分反映出它們相應的數(shù)量關系，提示出數(shù)與式的本質(zhì)特征；（3）“數(shù)形轉(zhuǎn)換”：就是根據(jù)“數(shù)”與“形”既對立，又統(tǒng)一的特征，觀察圖形的形狀，分析數(shù)與式的結構，引起聯(lián)想，適時將它們相互轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀并提示隱含的數(shù)量關系。教師應鍛煉學生靈活運用和轉(zhuǎn)化函數(shù)的不同表征方式，以完善對函數(shù)的基本性質(zhì)理解，對培養(yǎng)學生對函數(shù)的三種語言之間的轉(zhuǎn)換能力會起到很好的教學效果。

2.借助數(shù)軸的建立幫助學生深入理解函數(shù)意義

數(shù)軸是高中數(shù)學常見的一種數(shù)學事物，在數(shù)學之形元素中占有重要地位。當前缺乏對函數(shù)方程式具體意義的深入理解的高中生不在少數(shù)，大多停留在簡單的認識層面，致使其函數(shù)的應用解題過程常常變得毫無頭緒。因此，在高中數(shù)學的函數(shù)解題教學中，我們可以引入數(shù)軸模型幫助學生解讀函數(shù)方程式的數(shù)字意義，從而降低學生學習函數(shù)知識和解題應用的難度。如題：“已知函數(shù)f（x）=sinx+2sinx，x∈[0，2π]的圖象與直線y=k有且僅有2個不同的交點，求k的取值范圍”在解答此類題目時，就要根據(jù)函數(shù)解析式，建立坐標系，在坐標系中分析題目中的數(shù)量關系，這樣一來就能準確地理解題目含義并做出快速解答。

四、函數(shù)單調(diào)性法

先確定函數(shù)在其定義域（或定義域的某個子集上）的單調(diào)性，再求出函數(shù)值域的方法。考慮這一方法的是某些由指數(shù)形式的函數(shù)或?qū)?shù)形式的函數(shù)構成的一些簡單的初等函數(shù)，可直接利用指數(shù)或?qū)?shù)的單調(diào)性求得答案；還有一些形如，看a，d是否同號，若同號用單調(diào)性求值域，若異號則用換元法求值域；還有的在利用重要不等式求值域失敗的情況下，可采用單調(diào)性求值域。

五、結語

函數(shù)與導數(shù)是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，在新課標全國高考試卷中約占22～27分，函數(shù)與導數(shù)知識的選擇、填空題大多在12，16題的位置，解答題常在20，21題的位置，均屬壓軸題，它也是高中數(shù)學中的難點內(nèi)容，能否突破函數(shù)與導數(shù)題是高考得高分的關鍵.本文聚焦函數(shù)與導數(shù)題，談其應對策略，旨在幫助考生突破難關，贏得高考。

參考文獻

[1]高靜源，高麗萍.如何求解高中數(shù)學函數(shù)最值問題[J].數(shù)學學習與研究，2018（01）：136-137.

[2]俞世平.高考題中的二次函數(shù)模型[J].中學生數(shù)學，2018（01）：29-30.

[3]夏樸.數(shù)形結合 獨辟蹊徑——例談不等式的一種證明方法[J].高中數(shù)學教與學，2017（24）：40-42.

[4]王小偉.提高數(shù)學整體與部分閱讀，妙解函數(shù)的數(shù)形結合問題[J].中學數(shù)學，2017（19）：89-91.