三次樣條曲線插補改進算法

朱 寧

（徐州機電技師學院，江蘇 徐州 221000）

0 引 言

三次樣條曲線是在生產(chǎn)實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的。在CAD/CAM技術(shù)還沒有得到廣泛應用時，技術(shù)人員繪制飛機、船舶和汽車上的復雜輪廓曲線都是借助于樣條通過手工來完成[1]。繪制樣條曲線時，先選定好支點位置，然后在另一端放上重物或壓鐵使其作自由彈性彎曲，獲得的曲線即所需要的樣條曲線。

1 三次樣條曲線函數(shù)的一般插補算法

1.1 三次樣條曲線函數(shù)的一般定義

已知n個點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，…，Pn(xn,yn)，且x1＜x2…＜xn，若函數(shù)S(x)滿足條件：

（1）曲線通過所有的型值點，即S(xi)=yi(i=1,2,…n)；

（2）S(x)在[xi,xn]區(qū)間上有連續(xù)的一階和二階導數(shù)；

（3）S(x)在每一個子區(qū)間[xi,xi+1]上都是三次多項式，即每一個子區(qū)間內(nèi)有Si(x)=Ai+Bi(x-xi)+Ci(xxi)2+Di(x-xi)3,(i=1,2，…n-1)。

則稱S(x)為[xi,xn]上以xi(i=1,2,…n)為結(jié)點的三次樣條函數(shù)。

1.2 三次樣條曲線的常見插補運算

令t為弦長參數(shù)，x=x(t)，y=y(t)。可以看出：對應于n個型值點(xi,yi)(i=1,2,…n)有n個弦長參數(shù)ti(i=1,2,…n)，如圖1所示。

圖1 弦長參數(shù)示意圖

令t1=0，t2=[(x2-x1)2+(y2-y1)2]1/2，…，tn=[(xn-x1)2+(yn-y1)2]1/2。選擇嚴格單調(diào)的t1，t2，t3，…tn，構(gòu)成t1＜t2…＜tn序列。以弦長作為參數(shù)，大部分加工曲線可以滿足這個條件。對于有特殊曲線的工件，以采用分段的方法滿足弦長遞增的條件，然后分段進行插補?？梢宰C明：在[ti,ti+1](i=1,2,…n-1)條函數(shù)能量極小性，但仍有連續(xù)的一階和二階導數(shù)。

在 區(qū) 間 [ti,ti+1](i=1,2,…n-1)內(nèi)，(xk,yk),(xk+1,yk+1)為相靠近的插補點，tk、tk+1為這些點對應的弦長參數(shù)，如圖2所示。

圖2 弦長增量示意圖

為了提高加工精度，采樣周期要很小，這樣在每個插補周期內(nèi)的加工進給量也很小。在加工進給時，可以用弦長AB近似的代替弧長AB，有|AB|=λT。如果用O作為圓心，|OA|作為圓的半徑畫圓，與OB相交于C點，|BC|作為插補弦長增量Δt。

由余弦定理得：

很顯然，|AB|＞|CB|。但是，因為|AB|非常小，θ也非常小，同時實際加工中給出的區(qū)間段也非常小，所以|AB|與|CB|相差也非常小。若選擇弦長增量Δt=|AB|=λT，即tk+1=tk+λT，則實際插補弦進給為|AB'|。因樣條曲線的連續(xù)，B′仍在插補輪廓曲線上。因為|AB|與|CB|相差很小，所以|AB|與|AB'|相差也很小。因此，將弦長增量Δt選作恒定值λT，完全可以保證恒定的切削進給速度。

2 改進后的三次樣條曲線插補方法

目前，世界上發(fā)達國家的數(shù)控技術(shù)發(fā)展較快，我們國家與之相比還相距較遠。雖然某些公司花巨資進口一些比較先進的數(shù)控設備，但是因為工人的操作水平、生產(chǎn)零件的性價比等因素的制約，很多廠家仍然使用經(jīng)濟型數(shù)控機床，而這些機床基本是由步進電機驅(qū)動的。在步進電機驅(qū)動的數(shù)控系統(tǒng)中，逐點比較法簡單、快速，應用比較普遍。本文提出的最小偏差法是在逐點比較法的基礎上發(fā)展起來的。

加工前先采集到初始變量，借助計算機運算能力強的優(yōu)勢，由初始數(shù)值通過曲線的數(shù)學公式，把加工點的位置坐標算出，并判斷該點在小正方形中的位置，選擇較優(yōu)的進給方向，發(fā)出脈沖指令驅(qū)動各坐標軸運動，這就是最小偏差法的原理，而這些任務基本是由軟件來執(zhí)行。加工程序是通過計算機與機床之間的接口直接傳輸?shù)模缓筠D(zhuǎn)換成脈沖指令。機床接收到指令后，按指令在步進電機的驅(qū)動下做相應的運動，以加工工件。

2.1 直線最小偏差法的插補

平面上，以直線AB（y=2x/3）為例。假設AB在第一象限，在[0，3]區(qū)間內(nèi)，把直線AB所在的區(qū)域劃分為6個相等的小正方形，用小正方形的邊長表示一個脈沖大小[2]。由圖3可以直觀看出，利用最小偏差法進行直線插補時，正方形邊長越小，即每一個脈沖距離越小，插補的精度越高。

圖3 最小偏差法直線插補軌跡

對于脈沖進給方向的判斷，以直線在第I象限內(nèi)為例，如表1所示。

表1 直線脈沖進給方向判斷

當對三維直線進行插補時，也可以用二維直線的插補道理，先把三維直線投影到平面上分別進行插補運算，而脈沖進給方向同樣也沿著長軸的方向。

2.2 圓弧最小偏差法的插補

圓弧與直線相比，用最小偏差法插補要復雜。直線可以在一個象限里處理，而圓弧有時要跨越若干個象限，偏差函數(shù)和最長軸都隨著象限的變化而變化。因此，在圓弧插補過程中，每次改變象限時都要重新計算偏差，而不能使用上一步的偏差值[3]。以x2/92+y2/92=1逆半圓為例，其中y∈[0,9]，得到的插補軌跡如圖4所示。

圖4 最小偏差法圓弧插補軌跡

可以通過改變每個脈沖距離來改善圓弧的插補精度，其脈沖進給方向的判斷由表2所示。

表2 圓弧脈沖進給方向判斷

2.3 樣條曲線最小偏差法的插補

圖5中，每一次脈沖后移動的距離用正方形的邊長L表示，這里取L＞0。設當前加工點為Li，可以得到另外三個正方形的邊界點：La(xi,yi+1)、Lb(xi+1,yi)和Li+1(xi+1,yi+1)，其中xi+1=xi+L，yi+1=yi+L。如直線和圓弧插補所述的一樣，只有每一個脈沖都取得很小，才能使生產(chǎn)出來的零件滿足加工精度要求。因此，需要把正方形的邊長設定得很小。由此可以得到：被加工的零件輪廓線與對面兩邊LaLi+1或者LbLi+1必然相交，且每一點的方向都不一樣，用Lm(xm,ym)表示。

圖5 最小偏差正方形

由以上的論述，得到兩種結(jié)果。

第一，假設點Lm在LaLi+1邊上，下一進給脈沖傳送過來時，進給方向用數(shù)學方法進行判別。假如是|xm-xi|＞L/2，脈沖在x軸和y軸方向上都輸出，接下來一個最小偏差正方形的開始點就是點Li+1；否則當|xm-xi|＜L/2時，輸出脈沖信號，電機驅(qū)動y軸運動，接下來一個最小偏差正方形的開始點就是點La。很明顯，在這兩種情況下，下一個脈沖進給方向分別向右或向左。

第二，假設Lm點在邊LbLi+1上。假如|ym-yi|＞L/2，脈沖在x軸和y軸方向上都輸出，接下來一個最小偏差正方形的開始點就是點Li+1；否則當|ym-yi|＜L/2，輸出脈沖信號，電機驅(qū)動x軸運動，接下來一個最小偏差正方形的開始點就是點Lb。很明顯，在這兩種情況下，下一個脈沖進給方向分別向上或向下。

另外，還有一種需要考慮的情況，是當點Lm與點Li重合時。因不論是什么條件，在這種情況下，一定是x軸和y軸都輸出脈沖，所以就把它歸入第一種條件。

3 結(jié) 論

本文主要介紹了樣條曲線的插補技術(shù)并對其進行改進。已經(jīng)使用的樣條曲線插補算法存在加工速度慢、誤差高、難于控制等問題。改進后的算法以低檔數(shù)控機床為基礎，運用最小偏差正方形判斷該點在小正方形中的位置來選擇較優(yōu)的進給方向，然后發(fā)出脈沖指令驅(qū)動各坐標軸運動。這些任務基本是由軟件來執(zhí)行的，而加工程序是通過計算機與機床之間的接口直接傳輸，然后轉(zhuǎn)換成脈沖指令。機床接收到指令后，按指令在步進電機的驅(qū)動下做相應運動來加工工件，從而在較小成本下，加工出較高精度的工件。

[1] 呂紅亞.樣條曲線插補速度規(guī)劃算法的研究[J].機械與電子，2010，（4）：3-6.

[2] 商允舜.CNC數(shù)控系統(tǒng)加減速控制方法研究與實現(xiàn)[D].杭州：浙江大學，2006.

[3] 馬 駿，宋穎慧，趙萬生.非圓曲線數(shù)控插補的直接刀具半徑補償算法[J].電加工與模具，1995，（5）：13-16.