弱(下)鞅的一類Marshall型不等式

馮德成, 王 英, 李琴社

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 甘肅 蘭州730070)

1 預(yù)備知識(shí)

本文中,{Xn,n≥1}或{Sn,n≥1}是定義在概率空間(Ω,F,P)上的隨機(jī)變量序列.記S0=0,IA是集合A的示性函數(shù).

定義1.1[1]設(shè){Sn,n≥1}是L1下的隨機(jī)變量序列,如果對(duì)任意的1≤i

E[(Sj-Si)f(S1,…,Si)]≥0,

其中f是任意使上述期望有定義且對(duì)每個(gè)變?cè)墙档暮瘮?shù),那么稱{Sn,n≥1}是一個(gè)弱鞅(demimartingale).若進(jìn)一步假定f是非負(fù)的,則稱{Sn,n≥1}是一個(gè)弱下鞅(demisubmartingale).

弱鞅的概念是由Newman等[1]提出的,他們證明了均值為零的PA序列的部分和序列是一個(gè)弱鞅.自此之后,很多學(xué)者對(duì)弱(下)鞅進(jìn)行了研究,給出了弱(下)鞅的一些概率不等式及其應(yīng)用結(jié)果[2-14].

眾所周知,對(duì)均值為零的平方可積隨機(jī)變量X,有

?ε>0.

Marshall[15]將上述不等式推廣到如下形式:

?ε>0,

(1)

在上述條件下,若令

則{Sn,n≥1}是一個(gè)鞅.Mu等[16]在E|Xi|p<∞,i≥1,p≥2的條件下,將(1)式推廣,得到如下形式的Marshall型不等式:

?ε>0,

其中α是下列函數(shù)的最大值,

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1, x∈[0,1].

之后,Hu等[17]將文獻(xiàn)[16]中若干結(jié)論推廣到弱鞅的情形下,得到了弱鞅的Marshall型概率不等式.

受文獻(xiàn)[16-17]的啟發(fā),本文將文獻(xiàn)[17]中關(guān)于弱鞅{Sn,n≥1}的Marshall型極大值不等式推廣到弱下鞅的情形,同時(shí)將文獻(xiàn)[17]中關(guān)于非負(fù)弱鞅{Sn,n≥1}的Marshall型極小值不等式推廣到{g(Sn),n≥1}的情形下,這里g是R上的不減凸函數(shù),后者推廣和改進(jìn)了文獻(xiàn)[17]中的相關(guān)結(jié)果.

2 弱下鞅的Marshall型極大值不等式

引理2.1[18]若E|X|p<∞,E|Y|q<∞,則

(2)

0

(3)

引理2.2[2]設(shè){Sn,n≥1}是一個(gè)弱下鞅,且滿足Si∈L1,i≥1，則對(duì)任意的ε>0,有

引理2.3設(shè){Sn,n≥1}是一個(gè)弱下鞅,且滿足ESn≤0,n≥1.若存在p>1,使得對(duì)所有的n≥1,有E|Sn|p<∞，則對(duì)任意的ε>0,有

(4)

證明由于對(duì)所有的n≥1,都有ESn≤0.若令Y=IΛ,則由(2)式和引理2.2得

E[(Y-EY)Sn]=E[YSn-SnEY]=

E[YSn]-EYESn≥E[SnIΛ]≥εP(Λ).

(5)

顯然有

E|Y-EY|q=P(Λ)(1-P(Λ))q+

(1-P(Λ))P(Λ)q.

(6)

結(jié)合(5)和(6)式,得證.

定理2.1設(shè){Sn,n≥1}是一個(gè)弱下鞅,且滿足ESn≤0,n≥1.若存在p>1,使得對(duì)任意的n≥1,有00,有

這里M是下面方程的正解

xq=(β-1)x+β,x∈(0,∞),

(7)

證明顯然方程(7)只有一個(gè)正解.

(ii) 當(dāng)P(Λ)>0時(shí),由引理2.3得

[P(Λ)(1-P(Λ))q+(1-P(Λ))P(Λ)q]×

上式兩邊同除以P(Λ)q,有

因此

即

令u(x)=xq-(β-1)x-β,M是(7)式的正解.由于u″(x)=q(q-1)xq-2>0,x∈(0,+∞),故u(x)在[0,∞)上是一個(gè)凸函數(shù)，則對(duì)任意的x∈(0,M),有

由于u(0)=-β<0,u(M)=0,故對(duì)任意的x∈(0,M),都有u(x)<0,因此M是使(4)式成立的最小值,則此結(jié)論成立.

定理2.2設(shè){Sn,n≥1}是一個(gè)弱下鞅,且滿足ESn≤0,n≥1.若存在p≥2,使得對(duì)任意的n≥1,有E|Sn|p<∞，則對(duì)任意的ε>0,有

(8)

其中α是下列函數(shù)的最大值

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1,x∈[0,1].

證明當(dāng)p≥2時(shí),有1

運(yùn)用不等式(4),有

再兩邊同時(shí)取p次方,得到

αp-1(1-P(Λ))E|Sn|p≥εpP(Λ).

故(8)式得證.

定理2.3設(shè){Sn,n≥1}是一個(gè)弱下鞅,且滿足ESn≤0,n≥1.若存在δ>0,使得對(duì)任意的n≥1,有E|Sn|1+δ<∞,則對(duì)任意的ε≥E|Sn|,有

(9)

令1

從而有

此外

則有

在(4)式中令p→1,可得

(1-P(Λ))E|Sn|≥εP(Λ)，

則(9)式得證.

3 弱鞅的Marshall型極小值不等式

引理3.1[14]設(shè){Sn,n≥1}是一個(gè)弱鞅,g是R上的不減凸函數(shù),使得對(duì)任意的i≥1,有E|g(Si)|<∞,則對(duì)任意的ε>0,n≥1,有

引理3.2設(shè){Sn,n≥1}是一個(gè)非負(fù)弱鞅,g是R上的不減凸函數(shù),滿足g(0)=0,若00,有

證明由于{Sn,n≥1}是非負(fù)弱鞅,g是R上的不減凸函數(shù)且g(0)=0,故對(duì)任意的n≥1,有g(shù)(Sn)≥0.因此,令Y=IN,由(3)式和引理3.1,有

E[|(Y-EY)g(Sn)|]=

(10)

結(jié)合(6)和(10)式,得證.

注3.1在引理3.2的條件下,很容易得到上述不等式的一個(gè)上界

(11)

定理3.1設(shè){Sn,n≥1}是一個(gè)非負(fù)弱鞅,g是R上的不減凸函數(shù),且g(0)=0.若存在00,n≥1,則對(duì)任意的ε>0,令

有

(12)

當(dāng)P(N)>0,

(13)

其中M1和M2均為方程(7)的正解,且M1≤M2.

證明(i) 當(dāng)P(N)=0時(shí),(12)式顯然成立.

(ii) 當(dāng)P(N)>0時(shí),由不等式(11)得

[P(N)(1-P(N))q+(1-P(N))P(N)q]×

兩邊同除以P(N)q,得

(14)

若令

則有

(15)

因此(14)式等價(jià)于

即

(16)

故對(duì)ε>0和q<0,有

結(jié)論得證.

若在定理3.1中取g(x)=x,則有下面的推論.

其中M1和M2均為方程(7)的正解,且M1≤M2.

注3.2推論3.1即為文獻(xiàn)[17]中的定理2.2.因此本文定理3.1是文獻(xiàn)[17]中定理2.2的推廣.

致謝西北師范大學(xué)青年教師科研能力提升計(jì)劃項(xiàng)目(NWNU-LKQN-11-2)對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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