賴登榕 黃曉花
摘要:掌握從函數(shù)圖像中挖掘出隱藏的解題條件或?qū)?yīng)結(jié)論,是解題的關(guān)鍵。在課堂教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)讀圖能力,是落實(shí)函數(shù)教學(xué)目標(biāo)的重要內(nèi)容。首先明確培養(yǎng)函數(shù)讀圖能力的意義,然后從深度理解概念入手,通過(guò)加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練、做好適當(dāng)拓展延伸來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)讀圖能力。
關(guān)鍵詞:函數(shù)概念;函數(shù)圖像;讀圖能力;培養(yǎng)方法
初中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求在函數(shù)教學(xué)過(guò)程中,要培養(yǎng)學(xué)生“結(jié)合圖像對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析”的能力。在這里,我們以北師大版八年級(jí)上冊(cè)的一次函數(shù)為例,來(lái)探究函數(shù)讀圖能力的培養(yǎng)方法,并總結(jié)如下:
一、 培養(yǎng)函數(shù)讀圖能力的意義。
函數(shù)圖像是表達(dá)函數(shù)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)語(yǔ)言,具有不可替代的直觀性,在各類(lèi)命題中經(jīng)常出現(xiàn)。能否正確地從函數(shù)圖像中獲取相關(guān)信息,是順利解決有關(guān)函數(shù)圖像問(wèn)題的關(guān)鍵。正如A·A斯托利亞爾說(shuō)的“閱讀函數(shù)圖像的技能是專(zhuān)門(mén)教學(xué)的結(jié)果……函數(shù)圖像實(shí)質(zhì)是一種特殊的語(yǔ)言,為了明白它的意義,必須像對(duì)待所有語(yǔ)言一樣,專(zhuān)門(mén)的進(jìn)行學(xué)習(xí)”。
二、 培養(yǎng)函數(shù)讀圖能力的方法。
(一) 確保深度理解概念,把握函數(shù)與圖像的關(guān)系
概念是思維的細(xì)胞,教師要幫助學(xué)生突破來(lái)自函數(shù)相關(guān)概念造成的理解上的困難。學(xué)生初步形成函數(shù)的概念,往往忽略了自變量和因變量是兩個(gè)互動(dòng)的量,常糾結(jié)于如何區(qū)別它們。我們要讓學(xué)生明白:自變量主要選擇容易測(cè)控的量,如時(shí)間和人數(shù)(易測(cè))、銷(xiāo)量(易統(tǒng)計(jì))等。既要淺顯地指出:函數(shù)是表示兩個(gè)變量之間存在的某種等量關(guān)系(是不定方程),其圖像用于描述兩個(gè)變量關(guān)系的發(fā)展趨勢(shì)(是一幅散點(diǎn)統(tǒng)計(jì)圖);也要深刻地揭示:函數(shù)圖像上的每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值,就是兩個(gè)變量的一組對(duì)應(yīng)值,圖像是由無(wú)數(shù)多這樣的點(diǎn)的集合,它不僅表達(dá)了人們有限的統(tǒng)計(jì)結(jié)果,也是人們思維的無(wú)限延伸。
深度理解概念,可以指導(dǎo)學(xué)生從以下兩個(gè)方面去提升函數(shù)讀圖能力。
1. 借助信息技術(shù),直觀感知函數(shù)與圖像的對(duì)應(yīng)關(guān)系:初學(xué)函數(shù),我們可利用畫(huà)板工具來(lái)呈現(xiàn)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,直觀地展示函數(shù)關(guān)系的無(wú)限性和延伸性,以達(dá)到深度地理解概念的效果。打開(kāi)幾何畫(huà)板,左擊“繪制”菜單下的“新建函數(shù)”項(xiàng),在輸入框內(nèi)輸入一次函數(shù)表達(dá)式,并“確定”,引導(dǎo)學(xué)生觀察所出現(xiàn)的函數(shù)圖像;并進(jìn)一步驗(yàn)證一個(gè)坐標(biāo)是否在函數(shù)的圖像上,或度量圖像上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)值,其間要注意解釋某個(gè)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)值的實(shí)際意義,促使學(xué)生更好地把握函數(shù)與圖像間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,以深度理解一次函數(shù)的概念,為今后熟練讀圖做好思維可操作的前期準(zhǔn)確工作。
2. 動(dòng)手操作實(shí)踐,親身體驗(yàn)函數(shù)與圖像的轉(zhuǎn)化關(guān)系:波利亞說(shuō)過(guò):“只要經(jīng)過(guò)了你自己的體驗(yàn),那么它對(duì)你來(lái)講就可以成為一種楷模,當(dāng)你再碰見(jiàn)別的類(lèi)似的問(wèn)題時(shí),它就是可供你仿照的模型?!焙瘮?shù)的圖像是一種語(yǔ)言,更需要自己去體驗(yàn),去領(lǐng)會(huì)其中的要義。
我們要讓學(xué)生在坐標(biāo)紙上進(jìn)行動(dòng)手繪制函數(shù)圖像的訓(xùn)練。以一次函數(shù)為例,通過(guò)改變y=kx+b(k,b為常數(shù),k≠0)中k和b的大小,讓學(xué)生畫(huà)各種情形下的函數(shù)圖像,其間不僅熟悉了畫(huà)圖過(guò)程,而且親身感受到影響函數(shù)的圖像位置和大小的因素。逐漸形成函數(shù)的思想方法——用有限描繪無(wú)限,用特殊表達(dá)一般,用離散遞推連續(xù)。不斷積累從函數(shù)(數(shù))到圖像(形)轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn),為后續(xù)的函數(shù)學(xué)習(xí)打開(kāi)思維的通道,在繪圖中更能促進(jìn)學(xué)生讀圖能力的提升。
(二) 加強(qiáng)基礎(chǔ)訓(xùn)練,逐步掌握函數(shù)與圖像相互轉(zhuǎn)化的方法
讀圖能力的培養(yǎng)是個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程,除了示范如何讀圖,還需要在適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和幫助下,學(xué)生通過(guò)自身的努力達(dá)到熟練掌握的程度。以一次函數(shù)為例,精選數(shù)字系數(shù)的基礎(chǔ)題,先從表達(dá)式到畫(huà)直線的轉(zhuǎn)化,再?gòu)慕o定直線到求表達(dá)式關(guān)系的轉(zhuǎn)化,學(xué)生逐步掌握函數(shù)與圖像轉(zhuǎn)化的方法,在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中,逐漸提高自己的讀圖能力。
(三) 適當(dāng)拓展延伸,從問(wèn)題的邏輯關(guān)系中挖掘圖像的實(shí)際意義
為適應(yīng)中考對(duì)函數(shù)讀圖能力考查的需要,我們要對(duì)所學(xué)問(wèn)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐卣寡由臁梢詫?duì)教材中的問(wèn)題進(jìn)行挖掘,還可以對(duì)歷年的中考真題進(jìn)行剖析。以一道中考真題為例:
如下圖,折線ABC表示某汽車(chē)的耗油量y(單位:L/km)與速度x(單位:km/h)之間的函數(shù)關(guān)系(30≤x≤120),已知線段BC表示的函數(shù)關(guān)系中,該汽車(chē)的速度每增加1km/h,耗油量增加0.002L/km。
(1)當(dāng)速度為30km/h、90km/h時(shí),該汽車(chē)的耗油量分別為L(zhǎng)/km、L/km。
(2)求線段AB所表示的y與x之間的函數(shù)表達(dá)式。
(3)速度是多少時(shí),該汽車(chē)的耗油量最低?最低是多少?
在解決這個(gè)問(wèn)題的過(guò)程中,第(1)個(gè)問(wèn)題要能夠讀出圖像上點(diǎn)的實(shí)際意義,第(2)個(gè)問(wèn)題根據(jù)直線這一線索,要能夠讀出圖像表達(dá)的是一次函數(shù)關(guān)系,從中要判斷出參數(shù)k和b的符號(hào),并判斷自變量的取值范圍;第(3)個(gè)問(wèn)題要能夠依據(jù)圖像整體,得到點(diǎn)B表示當(dāng)時(shí)的速度所對(duì)應(yīng)的耗油量最低,并且理解點(diǎn)B的現(xiàn)實(shí)意義——當(dāng)汽車(chē)速度適中時(shí),油耗可以達(dá)到最佳——應(yīng)用于生活就是一種節(jié)能方式。從中了解到數(shù)學(xué)的文化價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義,體會(huì)到函數(shù)和方程一樣,都是一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型。
總之,函數(shù)圖像是一種內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)語(yǔ)言,它表達(dá)了抽象的數(shù)量關(guān)系;函數(shù)讀圖能力的培養(yǎng)不可一蹴而就,從圖像中獲取有用的信息是數(shù)形結(jié)合思想的具體體現(xiàn)。教學(xué)中,教師要通過(guò)精心設(shè)計(jì)、專(zhuān)門(mén)培訓(xùn),要應(yīng)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)技術(shù)和手段,在學(xué)生親自動(dòng)手、親身感受函數(shù)圖像之意義的活動(dòng)中,不斷發(fā)展、提升學(xué)生的函數(shù)讀圖能力。
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作者簡(jiǎn)介:賴登榕,福建省三明市,尤溪縣梅仙中學(xué);
黃曉花,福建省三明市,尤溪縣第七中學(xué)。