黃海深 吳波
摘要:本文通過求解單擺的運(yùn)動(dòng)方程定性及定量地論證了單擺在任意擺角(不大于90度)下的等時(shí)性。結(jié)果顯示,擺角小于5度時(shí),單擺的運(yùn)動(dòng)可以很好地近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),周期的誤差不超過0.05%。隨著擺角的增大,周期迅速增大,誤差也急劇增大。
關(guān)鍵詞:?jiǎn)螖[;周期;重力加速度
一、 引言
一個(gè)小球和一條細(xì)線就可以組成一個(gè)單擺,如圖1所示。單擺是一個(gè)很簡(jiǎn)單的物理模型,因蘊(yùn)涵重要的物理思想,成為簡(jiǎn)諧振動(dòng)、非線性物理等教學(xué)中必講的內(nèi)容之一。同時(shí)由于在一定條件下具有解析解,單擺成為測(cè)量加速度的一個(gè)重要方法。用單擺測(cè)重力加速度實(shí)驗(yàn)可見于中學(xué)物理實(shí)驗(yàn)及部分大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教材中,由于中學(xué)生還未學(xué)習(xí)微分方程,一般教材會(huì)直接給出周期的計(jì)算公式,中學(xué)生對(duì)公式的由來感到疑惑。大學(xué)生學(xué)習(xí)過微分方程之后,他們又會(huì)對(duì)“擺角必須小于5度”的限制條件產(chǎn)生懷疑:為什么加上這個(gè)條件?擺角大于5度時(shí),單擺還具有等時(shí)性嗎?這是學(xué)生經(jīng)常問的問題,然而許多物理實(shí)驗(yàn)教材并未給出解答。與此同時(shí),還有一些粗心的同學(xué),不管老師怎么強(qiáng)調(diào),他依然會(huì)使用大擺角進(jìn)行實(shí)驗(yàn),那么這些同學(xué)的測(cè)量結(jié)果誤差多大?本文試圖從定性及定量的角度進(jìn)行回答。
二、 運(yùn)動(dòng)方程
單擺雖然簡(jiǎn)單,卻處在一個(gè)非常復(fù)雜的物理背景之下,許多因素都會(huì)影響它的運(yùn)動(dòng),進(jìn)而影響它的運(yùn)動(dòng)方程的形式。限于篇幅,本文不考慮細(xì)線的質(zhì)量和伸縮、球的大小、各種阻力及浮力。設(shè)細(xì)線長(zhǎng)為l,小球的質(zhì)量為m,重力加速度為g,方向豎直向下,擺線與豎直方向角位移為θ,平衡位置右邊為正,左邊為負(fù)。設(shè)z軸通過點(diǎn)O且垂直紙面,向外為正方向。小球從夾角θ0釋放,初速為0。本文將從轉(zhuǎn)動(dòng)定律和機(jī)械能守恒兩種角度建立單擺的運(yùn)動(dòng)方程。
1. 轉(zhuǎn)動(dòng)定律
小球只受重力mg和細(xì)線對(duì)其的拉力F,方向分別為豎直向下和沿細(xì)線方向指向點(diǎn)O,小球的位矢為r,模為細(xì)線長(zhǎng)l,小球?qū)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=ml2。由轉(zhuǎn)動(dòng)定律可知:
M=Jα(1)
M為力矩,α為角加速度。
r×(mg+F)=ml2α(2)
r與F夾角為180度,矢量積的大小為0。圖1所示的角位置θ指向z軸正方向,r與g的矢量積指向z軸負(fù)方向,因此有:
-lmgsinθ=ml2d2θdt2(3)
d2θdt2+glsinθ=0(4)
令
ω=gl(5)
可得單擺的運(yùn)動(dòng)方程為:
d2θdt2+ω2sinθ=0(6)
2. 機(jī)械能守恒定律
由于不考慮細(xì)線伸縮,拉力F始終與小球的運(yùn)動(dòng)方向垂直,不做功;只有重力做功,而重力為保守力,系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到圖1所示位置時(shí)速度大小為v,細(xì)線與豎直方向夾角為θ,則有:
mgl(1-cosθ)+12mv2=mgl(1-cosθ0)(7)
對(duì)方程(7)兩邊進(jìn)行微分可得:
mglsinθdθ+mvdv=0(8)
由于只有切向速度,v=vt,且vt=d(lθ)dt,兩邊同時(shí)除以dt可得:
mglsinθdθdt+mvdvtdt=0(9)
mgsinθd(lθ)dt+md(lθ)dtd2(lθ)dt2=0
(10)
化簡(jiǎn)后即得式(4)。
三、 單擺的等時(shí)性
解出式(6)中角度與時(shí)間的關(guān)系,即可得出單擺是否具有等時(shí)性,但其為二階非線性微分方程,沒有初等函數(shù)形式的解。當(dāng)θ較小時(shí),tanθ≈θ,式(6)變?yōu)槎A常系數(shù)齊次微分方程:
d2θdt2+ω2θ=0(11)
其特解為三角函數(shù):
θ=θ0cosωt(12)
可求出其周期為:
T0=2πω=2πl(wèi)g(13)
這就是常見的單擺周期公式,也是計(jì)算重力加速度的公式。因此,當(dāng)θ較小時(shí),單擺具有等時(shí)性。那么大擺角時(shí),單擺還具有等時(shí)性嗎?答案是肯定的,理由為:系統(tǒng)的機(jī)械能守恒,那么當(dāng)細(xì)線的長(zhǎng)度、小球的質(zhì)量、初始位置及初始速度確定之后,小球在每一個(gè)位置具有的勢(shì)能是確定的,動(dòng)能也是確定的,因此速度也是確定的,擺過任何的角微元dθ所用的時(shí)間是確定的,那么小球往復(fù)所用的總時(shí)間就是確定的。所以,大擺角時(shí),單擺依然具有等時(shí)性。既然如此,為什么還要求擺角小于5度呢?原因是只有擺角較小時(shí),重力加速度和周期之間才有式(13)那樣的簡(jiǎn)單關(guān)系。
四、 大擺角的周期
雖然從式(6)不能求解出大擺角時(shí)初等函數(shù)形式的周期,但我們可以求解出數(shù)值解。小球擺過任意弧長(zhǎng)ldθ所用的時(shí)間為:
dt=ldθvt(14)
則單擺的周期可用下式計(jì)算:
T=4∫θ00ldθvt(15)
代入式(7)和(13)可得:
TT0=2π∫θ001cosθ-cosθ0dθ(16)
給出一系列不同的擺角θ0,手動(dòng)編程或使用Mathematica等數(shù)學(xué)計(jì)算軟件都可以計(jì)算出結(jié)果,如圖2所示。擺角等于5度時(shí),單擺的周期T相對(duì)擺角趨于0時(shí)的周期T0只改變了不到0.05%,可以很好地近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。圖中還顯示,隨著擺角的增加,周期比值并非線性增加,而是呈指數(shù)增加。擺角為30度時(shí),周期增加了1.73%,60度時(shí),增加了7.32%,而90度時(shí),則增加了18.03%。本文的結(jié)果與成思源和萬明理等人的結(jié)果相近,而避免了其使用的橢圓積分等非初等函數(shù)知識(shí),便于大學(xué)生理解。
五、 結(jié)論
本文使用微積分知識(shí)及初等函數(shù)求解了單擺的周期,論證了任意擺角(不大于90度)都具有等時(shí)性。擺角較小時(shí),單擺的運(yùn)動(dòng)可以很好地近似為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),可以使用單擺的周期公式。隨著擺角的增大,周期迅速增大。本文可以回答學(xué)生在用單擺測(cè)量重力加速度實(shí)驗(yàn)中的關(guān)于擺角的疑問,有利于其正確操作實(shí)驗(yàn)儀器并培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度。
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作者簡(jiǎn)介:黃海深,吳波,貴州省遵義市,遵義師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院。