七年級的動態(tài)幾何圖形問題

張章

摘要：動態(tài)幾何這類問題，已成為初中生他們?nèi)粘W(xué)習(xí)中的重難點以及考試中的失分點。本文將通過一些具體的實例重點介紹七年級動態(tài)幾何問題的分類、特點以及解題方法，并對這類問題進行歸納與總結(jié)，從解決幾個典型例子中找出解決七年級動態(tài)幾何問題的一般規(guī)律，幫助他們解決數(shù)學(xué)的一大障礙。

關(guān)鍵詞：動點；數(shù)形結(jié)合；數(shù)軸；類比

七年級的動態(tài)幾何問題主要有“點動”和“角動”這兩類。

例1.已知數(shù)軸上三點M，O，N對應(yīng)的數(shù)分別為-3，0，1，點P為數(shù)軸上任意一點，其對應(yīng)的數(shù)為x.

（1）如果點P到點M，點N的距離相等，那么x的值是_____

（2）如果點P以每分鐘3個單位長度的速度從點O向左運動時，點M和點N分別以每分鐘1個單位長度和每分鐘4個單位長度的速度也向左運動，且三點同時出發(fā)，那么幾分鐘時點P到點M，N的距離相等？

分析：這是一道典型的數(shù)軸上的動點問題，如果能利用數(shù)軸上的“中點”公式（）、和動態(tài)點的數(shù)量表示即起始點數(shù)a，向右（左）運動，速度為b，時間為t，就可表示為a+bt（a-bt），解決起來就容易得多。

解析：（1）點P到點M，點N的距離，P即為MN的中點，點P對應(yīng)的值即為

（2）此題如果用一般的方法去解決，即先畫圖再分析數(shù)量關(guān)系，勢必要畫出運動過程的點的動態(tài)圖形，例如圖（2）

而圖2只是其中一種圖形而已，三個動點運動之后，還會出現(xiàn)圖（3）、圖（4）、圖（5）

但是如果利用數(shù)軸上的中點公式和點的數(shù)量表示，P到點M，N的距離即分為兩種情況，其1運動后的點P是點M和N的中點，，t=2；其2就是M與N兩點重合，.

總結(jié)：解決動點問題要數(shù)形結(jié)合，巧用數(shù)軸“中點”公式和動態(tài)點的數(shù)量表示。

例2.如圖1，A是數(shù)軸上一定點，A表示的數(shù)是5，B是數(shù)軸上一動點，B從原點O出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動，速度為每秒1個單位長度，點C在點B的右側(cè)，BC=1，點D在點B的左側(cè)，BD=2AC，設(shè)B運動的時間為t秒。

（1）若點B在線段OA上運動，且CD=2，求t的值.

（2）整個運動過程中，當(dāng)OD=AC時，寫出點D所表示的數(shù)。

分析：（1）如果先畫圖，圖形情況不一，C在A的左邊，C在A的右邊，兩種情況下D可能在O的左邊，也可能在O的右邊，學(xué)生需要先算出各種臨界值，來判斷各種情況是否存在。如果利用前面例1提到的數(shù)軸上點的數(shù)量表示法，先表示出C，D，馬上就能迎刃而解。

解析：點C：t+1，由題意點D即可表示為：t-1，那么BD=t-（t-1）=1，AC=0.5，再根據(jù)C有兩種可能的位置，t+1=4.5，t+1=5.5，求出t=3.5或4.5.

分析：（2）類似于（1），如果先考慮圖形，將會有四種可能的情況，同樣情況復(fù)雜，如果利用數(shù)軸上的距離公式即，先一網(wǎng)打盡，再分類求解即可。

解析：C：t+1，，BD=2AC，

BD=2t-4，D=t-2t-4，OD=t-2t-4-0，即可得方程：t-2t-4-0=t-4，然后再分類討論解決絕對值方程。

總結(jié)：七年級的動態(tài)問題，不必急于畫圖，學(xué)會用絕對值方程一網(wǎng)打盡。

例3 如圖，教室里掛的時鐘，時針、分針、秒針均按時勻速轉(zhuǎn)動，分別用OB，OA，OC來表示，

（1）秒針的速度為____度/秒；分針的速度為____度/秒；時針的速度為_____度/秒

（2）從4點到6點有幾次∠AOB等于60°，分別是幾時幾分？

（3）從4點整開始，若秒針OC從12的位置上開始，經(jīng)過多少秒，OC第一平分∠AOB.

分析：第（2）中，根據(jù)OA和OB的運動速度，它們的位置關(guān)系一定會出現(xiàn)兩種情況，再根據(jù)4點到5點，5點到6點兩個時間段，將出現(xiàn)4種可能。每一種圖形中，根據(jù)其中角的和差關(guān)系建立方程，對于七年級的學(xué)生來說難度是比較大的。但是如果把射線的運動類比作“追及問題”，那么解決起來就一點都不難了。

解析：追及問題的公式：，4點整即為初始位置，∠AOB為120°，若∠AOB變?yōu)?0°，“路程差”即為60°或180°，，或是.如果換成5點到6點之間，那么起始位置的∠AOB=150°，或是。

分析：第（3）題中，OA，OB，OC三條射線都在運動，由圖像得出角的和差關(guān)系，顯然難度很大，如果把角的角平分線類比作“中點”，將12時的位置看作數(shù)軸上的原點，那么問題就很好解決。秒針的速度為6度/秒，分針的速度為0.1度/秒，時針的速度為度/秒，類比于數(shù)軸上點的表示，可以把射線OA表示作：0+0.1t，射線OB表示作：，射線OC表示為：0+6t，射線OC平分∠AOB即可類比作C是A和B的中點，利用“中點公式”， 可得 ， 即可解得 。

總結(jié)：角的動態(tài)問題即射線運動，可以類比為點的“追及問題”；角平分線問題也可類比為“中點問題”。

例4：如圖1，∠AOB=30°，∠BOC為∠AOB外的一個銳角，且∠BOC=80°

（1）如圖2若OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度數(shù)。

（2）如圖，射線OP從OC處以10°/分的速度繞點O開始逆時針旋轉(zhuǎn)一周，同時射線OQ從OB處以相同的速度繞點O逆時針也旋轉(zhuǎn)一周，OM平分∠POQ，ON平分∠POA，求多少分鐘時，∠MON的度數(shù)是30°？直接寫出答案。[注：本題所涉及的角都是小于180°的角]

分析：（1）可以根據(jù)角平分線的和差關(guān)系解決；第（2）問，很多同學(xué)也是先畫出圖形，然后再根據(jù)角的和差關(guān)系去解決，難度是相當(dāng)大的，因為有兩條動態(tài)的射線，進而又產(chǎn)生兩條動態(tài)的角平分線，圖形雖然已有，但角的和差關(guān)系還是十分復(fù)雜。在解決完第（1）后，如果能進一步推導(dǎo)∠MON的角度的規(guī)律，∠MON的度數(shù)一定等于∠AOB的一半，那么將可以非常簡單地解決第（2）問。

解析：不妨先來推導(dǎo)一下（1）的一般規(guī)律：設(shè)∠AOB=a，∠BOC=b，∠AOC=a+b，，，那么，也就是說：原來兩個角的差為a，各自的角平分線所形成的角的度數(shù)即為；其實還可推廣到：原來兩個角的和為a，各自的角平分線所形成的角的度數(shù)也為。

有了這個規(guī)律，第（2）中∠MON的度數(shù)是30°，可以反推出∠AOQ=60°，那么本來是要考慮4條動態(tài)射線的問題只要考慮OQ一條即可。OQ可以表示為：30+10t，∠AOQ=60°，30+10t=60或者30+10t=300.

總結(jié)：兩條角平分線的問題經(jīng)常會存在規(guī)律，如果根據(jù)數(shù)量關(guān)系將規(guī)律總結(jié)出來，可以幫助解復(fù)雜的動態(tài)問題。

通過對以上四道題的分析，七年級的動態(tài)幾何圖形顯然不同于中考復(fù)習(xí)中的動點問題，不要急于畫出動態(tài)的分類圖形，而是要學(xué)會數(shù)形結(jié)合，靈活運用數(shù)軸的中點公式、動點的數(shù)量表示，距離公式絕對值方程等代數(shù)方法去解決，而動態(tài)角的問題，圖形更為復(fù)雜，巧用類比方法和探究數(shù)量規(guī)律，問題便可迎刃而解。

參考文獻：

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[2]姚萬里，丁艷芳.動點入題 心曠神怡[J].中學(xué)生數(shù)理化，2012（5）：17-18.