注重過程教學 培養(yǎng)思維品質
——從《方程的根與函數的零點》教學說起

周擁軍

（廣東省廣州市海珠外國語實驗中學，廣東廣州 510220）

引 言

《方程的根與函數的零點》是人教版《普通高中課程標準實驗教科書》A版必修1第三章《函數的應用》第一節(jié)《函數與方程》的第一課時，主要內容是函數零點的概念、函數零點與相應方程根的關系、函數零點存在性定理，是一節(jié)概念課[1]。在授課中，采用以學生為主體的探究式教學方法，通過“設問—探索—歸納—定論”層層遞進的方式，精心設置一個個問題鏈，并以此為主線，由淺入深，循序漸進，以培養(yǎng)學生的探究精神為出發(fā)點，為學生提供表現和成功的舞臺，滲透信心教育，讓學生經歷知識形成和發(fā)展的過程，在體驗中思考、創(chuàng)造，形成良好的思維品質[2]。

一、以舊帶新，促進聯(lián)想

問題1：判斷方程x2-2x-3=0根的個數，并求解。問題2：作函數y=x2-2x-3的圖象，并思考函數圖象與問題1中方程的根有什么聯(lián)系？問題3：上述關系對于一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及其相應的二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)是否也成立呢？（請學生獨立完成如上問題）

教師點評：大家求出的方程根其實就是對應函數的圖象與x軸交點的橫坐標，引出“函數零點”：對于函數y=f(x)，把使f(x)=0的實數x叫作函數y=f(x)的零點。（板書）

設計意圖：從問題1、2到問題3，建立方程與函數間關系，引入課題，經歷特殊到一般，體驗方程的根與函數的零點差異，促成函數零點概念的形成，增強數學的關系聯(lián)想。

二、深化零點概念，形成嚴謹思維

例1：求函數的零點。解：（略）。

完成變式練習:求下列函數的零點。

圖1

圖2

生1：格式規(guī)范，書寫整潔，整個過程非常漂亮！研究函數先求定義域，再令函數值為0，解方程，求零點（圖1）。生2同學的解答基本正確，但有些問題，讓生2反思，問題在哪里？（圖2）生2：（有點害羞）教師，我將函數的零點寫成了坐標點，函數的零點應該是一個實數。師：能及時發(fā)現自己的問題，非常好！函數零點是令函數值為零的實數，所以大家一定要注意，函數的零點其實是一個實數，而非一個坐標點。師：通過剛才的解題，大家能概括函數零點、方程的根、函數圖象之間的關系嗎？生3：函數有零點方程有實數根，即方程有實數根，函數就有零點，函數有零點，函數圖象與x軸就有交點。(板書結論)

設計意圖：通過對比、反思，教師的示范引領，及時糾正零點是函數與橫軸之交點，加深對零點定義的理解，突出重點。同時，通過零點概念的辨識，培養(yǎng)數學的嚴謹性。

三、通過位置探究，培養(yǎng)思維廣闊性

探究：已知函數的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且過點根據兩點可能位置作函數的可能圖象。并結合圖象思考：函數滿足什么條件時，在區(qū)間上一定有零點？（動手探究，并自薦上臺展示探究結果）

生4的結果如圖3。結論：當A、B兩點在x軸兩側時，函數區(qū)間(a,b)上一定有零點。

生5的結果如圖4。結論：當A、B兩點在x軸兩側時函數區(qū)間 (a,b) 上一定有零點，當A、B兩點在x軸同側，函數在區(qū)間上可能有零點。

圖3

圖4

圖5

生6的結果如圖5。結論：當A、B兩點在x軸同側時，函數可能有零點，可能沒有零點，如果有零點，一定是偶數個零點；當A、B兩點在x軸兩側時，函數一定有零點，而且零點的個數一定是奇數個。

師：三位同學的探究結果都正確，很好！特別是生6同學，不僅在研究函數零點是否存在的問題，還進一步探究了函數零點的個數問題，這是下一步要研究的問題，為他的這種探究精神鼓掌！

設計意圖：讓學生進行兩點位置探究，通過圖形聯(lián)想，猜測可能出現的情況。當兩點在軸同側時，函數有零點甚至多個零點的情況，也可能無零點；當兩點在軸兩側時，函數一定有零點，零點的個數可能是1個，也可能是多個。由此，培養(yǎng)思維的廣闊性，體驗數學探究過程，享受探究成功的快樂。

四、反饋練習，培養(yǎng)思維批判性

1.已知函數的圖象連續(xù)不斷，且有如下對應值表（表1）。

表1 函數圖象對應值

請寫出一定存在零點的區(qū)間_________。

2.能確定在區(qū)間（0,1）上有零點的函數是（ ）。

A.B.

C.D

3.函數在定義域內有則函數在內（ ）。

A.只有一個零點 B.至少有一個零點

C.無零點 D.無法確定有無零點

眾學生獨立完成反饋練習，師巡視指導，挑選同學進行答案展示，大家一起討論。

設計意圖：三個反饋練習，初步體驗定理運用，達到“找出函數零點所在區(qū)間”的問題，通過反饋交流、反思，糾正錯誤，深刻理解函數零點區(qū)間內涵，抓住關鍵，培養(yǎng)思維的批判性。

五、應用知識，提升思維

例2 ：求函數零點的個數。

小組討論解決方案，師巡視指導，參與學生討論，邀請小組派代表展示討論結果。

生11：我們討論的方案是，根據函數的零點，即方程的根，令解方程。方程有多少個根，函數有多少個零點。不過，還沒想到如何解這個方程。師：從零點定義出發(fā)，研究零點個數，方案可行。從概念開始思考，是研究數學的基本方法。如何求這類方程的近似根，是下節(jié)課的內容。生12：我們解決問題的方案是，作函數的圖象，從圖象上觀察函數與軸交點的個數，有幾個交點說明有幾個零點。

表2 函數與軸焦點分析

因為函數在定義域 ( 0,+∞) 內是增函數，所以函數僅有一個零點。

生13：我們組在研究解決方案時，首先嘗試著解方程，但是解不出來。不過我們發(fā)現，函數是由兩個增函數和相加而成，而這兩個函數的零點分別是1和3，計算了，發(fā)現

解：列表。那么在區(qū)間內有零點，而函數在定義域單調遞增，所以在定義域范圍內應該只有一個零點。師：很好！從函數的形聯(lián)想到根，用試根的方式來解決問題，同樣是解方程的重要思考方法。生14：我們組的解決方案是，令，移項得分別作函數和的圖象，方程的根即兩函數圖象交點的橫坐標。觀察圖象，只有一個交點，即函數只有一個零點。將一個我們不熟悉的函數轉變?yōu)閮蓚€我們熟悉的函數，將零點轉化為兩個函數的交點的橫坐標。師：剛才大家提供了四種解決方案，方案1從零點定義出發(fā)解方程，根據根的個數判斷零點個數；方案2描點作函數草圖，結合函數單調性，判斷零點個數；方案3通過試根發(fā)現兩異號函數值，得到有零點區(qū)間，再結合函數單調性判斷零點個數；方案4將一個陌生函數變形為兩個熟悉的函數，利用數形結合判斷零點個數。大家的討論都很到位，四種方法雖思考方法和難易程度不同，但都是我們將來研究函數問題的重要方法。

設計意圖：通過小組合作研究，引導學生從不同的角度探索函數零點存在性判斷方法，開闊學生思維，培養(yǎng)學生思維的全面性，提升數學思維品質。

結 語

數學思維品質是學生在數學學習過程中的思維習慣和思維方式的個性化表現形式，是衡量其數學學習思維程度、水平的重要指標，在數學思維活動中起著決定性作用。可以說，數學思維品質的差異決定了學生數學思維能力的強弱。回顧本節(jié)課，通過以下幾個方面培養(yǎng)數學思維品質。

（1）在探究零點概念以及零點存在性判定定理的形成過程中，培養(yǎng)思維的嚴謹性和深刻性。通過研究“方程的根、函數圖象與軸交點關系”的問題，引入函數零點的概念，并引導學生動手探究零點的存在條件，在經歷定理歸納、辨析、概括的形成過程中，培養(yǎng)思維的嚴謹性和深刻性。

（2）通過引導學生從不同角度思考零點個數的判斷方法，培養(yǎng)學生數學思維的廣闊性。例2是一道函數零點的個數判斷問題，經過小組合作研究、教師適當點撥，學生從不同的角度提出四種解決問題的方案，學生的思維能力在問題的探索中得到發(fā)展，情感在互動交流中得以升華，知識在一步步思考中得以豐富，培養(yǎng)了學生思維品質的廣闊性。

（3）引導學生“說思維”，培養(yǎng)思維的批判性。本課教學中，引導學生“說思維”的活動貫穿始終，讓學生在“說思維”過程中自我肯定的同時及時糾正錯誤，培養(yǎng)數學思維的批判性。

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準(實驗)[S].北京:人民教育出版社,2003:16.

[2]孟勝奇.凸顯數學思維 追求教育本真——“幾何概型”教學實錄與反思[J].中國數學教育,2013,(06):30-33.