二項式定理中的“七意識”

☉南京大學(xué)附屬中學(xué) 杭麗華

二項式定理是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中較為獨特的一個知識點，其內(nèi)容篇幅不多，但其分散于教材及習(xí)題里的解法卻豐富地展示了待定系數(shù)法、特殊值法、構(gòu)造法和逆向思維等中學(xué)數(shù)學(xué)中比較常見的基本思維方法.因此對二項式定理的學(xué)習(xí)也是集中學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法、提高思維能力的好機遇，它對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展、能力培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高十分有益.下面就二項式定理中常見的七種意識的培養(yǎng)與應(yīng)用，結(jié)合實例加以剖析.

一、展開意識

二項式的展開式為（a+b）n=+…++…+b（nn∈N*）.對于一些次數(shù)比較小或一些特殊的二項展開式問題，直接利用展開式加以分析與解決.

例1 若（1+）5=a+ba，b為有理數(shù)），則a+b=（ ）.

A.45 B.55 C.70 D.80

分析：直接對二項式（1+）5加以展開，并通過計算與分析求解相應(yīng)的問題即可.

點評：本題主要考查二項式定理及其展開式，二項展開式的運算屬于基礎(chǔ)知識、基本運算.對于次數(shù)比較小，或沒有其他更好的方法時，往往就是直接對二項式進行展開，通過展開后的特點加以分析與求解.

二、通項意識

凡涉及二項式（a+b）n的展開式的項及其系數(shù)（如常數(shù)項的系數(shù)，某特殊項的系數(shù)）等問題，往往是先寫出其通項公式Tr+1=Crnan-rbr，然后再根據(jù)題意進行求解.

例2的展開式中的常數(shù)項是______（用數(shù)字作答）.

分析：利用二項展開式的通項公式加以轉(zhuǎn)化與化簡，令其對應(yīng)的x的指數(shù)為0，求解相應(yīng)的r的值，再去求解對應(yīng)的常數(shù)項.

解：二項展開式的通項公式為，令6-2r=0，解得r=3，則展開式中的常數(shù)項為（-1）3=-20.

點評：本題主要考查二項展開式及其應(yīng)用.本題通過二項式定理的通項公式，結(jié)合條件熟練寫出所需的項，解題思路實質(zhì)上是利用方程思想，根據(jù)條件列出對應(yīng)的方程，從而解出對應(yīng)項的值等問題.

三、賦值意識

對于（1+x）n=+x+x2+…+xn的展開式是關(guān)于x的一元n次多項式，此等式是任何數(shù)集上的恒等式，給x賦值，可得到相應(yīng)的系數(shù)或系數(shù)和.

例3若（1-2x）2018=a0+a1x+…+a2018x2018（x∈R），則的值為（ ）.

A.2 B.0 C.-1 D.-2

分析：根據(jù)要求解的二項展開式的系數(shù)所對應(yīng)的關(guān)系式，同時觀察所求關(guān)系式的特點，通過2次賦特殊值法來求解，最后結(jié)合條件轉(zhuǎn)化求值即可.

點評：本題主要考查了二項式定理的本質(zhì)屬性，展開式為特殊關(guān)系式的和，通過兩次對恒等式進行賦特殊值，再利用整體思維達到求解的目的.二項式定理就是一個恒等式，其對一切x的允許值都能成立.當(dāng)求展開式的相關(guān)系數(shù)的關(guān)系式或者證明有關(guān)組合數(shù)的恒等式時，常常利用此方法——賦特殊值法.

四、轉(zhuǎn)化意識

在二項式定理的有關(guān)問題中，經(jīng)常會碰到比較復(fù)雜的多項式問題，比如多于二項的多項式或其他類型的多項式，求解時，主要是將復(fù)雜的多項式問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的二項式定理的問題來分析求解.

點評：本題主要考查二項式定理中求特定項問題.解決問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化意識的應(yīng)用，通過把較為復(fù)雜的二項式問題進行必要的運算等轉(zhuǎn)化，使其變?yōu)檩^為簡單的常規(guī)的二項式問題，這樣處理起來就達到去繁為簡、方便簡單的目的.

五、方程意識

在二項式定理的有關(guān)問題中，二項式定理往往和方程中的相關(guān)問題加以綜合，根據(jù)題中問題的條件，建立相應(yīng)的方程（組），通過解方程（組）來達到目的.

例5 已知（1+ax）5=1+10x+bx2+…+a5x5，則b=______.

分析：通過對應(yīng)項的系數(shù)的關(guān)系式聯(lián)立方程，求解含有參數(shù)a、b的方程來求解對應(yīng)的二項式定理問題.

解：由于Tr+1=（ax）r，結(jié)合展開式有·a1=10且a2=b，解得a=2，b=40.

點評：主要考查二項展開式及其計算，以及求解相關(guān)的方程組.通過二項式定理通項公式的分析，結(jié)合關(guān)系式聯(lián)立方程（組），通過求解方程（組）來解決對應(yīng)的二項式定理問題.

六、模型意識

對于一些特殊的二項展開式問題，如果給出相關(guān)項的特征，可以結(jié)合組合模型的特征，通過從相關(guān)二項式所對應(yīng)的因式中按要求提取出相關(guān)的因式，進而達到滿足條件的目的，通過組合計數(shù)模型來解決相應(yīng)的系數(shù)問題.

例6 （x2+x+y）5的展開式中，x5y2的系數(shù)為（ ）.

A.10 B.20 C.30 D.60

分析：根據(jù)題目條件，把二項展開式看成5個因式，根據(jù)所求的項的特征，分配各相應(yīng)的因式中所要取的關(guān)系式，利用組合模型特征來分析與處理.

解：在（x2+x+y）5的5個因式中，要使得取出的項為x5y2，那么應(yīng)該從這5個因式中，其中2個因式取x2，剩余的3個因式中1個取x，其余2個因式取y，這樣可使得展開式中的項滿足條件，根據(jù)組合模型的特征，可得x5y2的系數(shù)為=30.故選C.

點評：本題主要考查二項式定理、組合的性質(zhì)與運算.解決此類問題往往回歸二項式定理的本質(zhì)特征——組合，利用組合模型特征來分析，方法巧妙，簡單易懂，同時處理問題也自然流暢.

七、整除意識

二項式定理的一個重要用途是用于近似計算.還可以用來證明整除或求余數(shù)問題，在證明整除或求余數(shù)問題時要進行合理的變形，使被除式（數(shù)）展開后的每一項都含有除式的因式，要注意變形的技巧.

例7 若x+x2+…+xn能被7整除，則x，n的值可能為（ ）.

A.x=4，n=3 B.x=4，n=4

C.x=5，n=4 D.x=6，n=5

分析：逆用二項式定理，并加以變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合各選擇項分析與判斷能被7整除所對應(yīng)的參數(shù)值的可能取值.

解：由于x+x2+…+xn=（1+x）n-1，只有當(dāng)x=5，n=4時，（1+x）n-1=64-1=35×37能被7整除，故選C.

點評：主要考查二項式定理的逆向運用與對應(yīng)的運算問題.通過對二項式定理的變形，結(jié)合整除問題的特征加以判斷與選擇.

二項式定理內(nèi)容是高考中必考內(nèi)容之一，其中二項展開式中各項及系數(shù)是考查的重點，以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，偶爾也在解答題中出現(xiàn).在解答相應(yīng)的二項式問題時，除了需要熟練掌握公式本身，還要綜合掌握以上相關(guān)的數(shù)學(xué)意識，并加以靈活應(yīng)用.F