淺議知識的源頭與上游的教學(xué)意義

☉青海省西寧市第二中學(xué) 趙小衛(wèi)

源頭之下有無限的可能，具有強(qiáng)大生命力的源頭才能不停泛起思想的漣漪，推演出無盡的變化，更能有效激發(fā)出具有開拓性的創(chuàng)造力，事實(shí)上在知識與問題之間尤其不能只徘徊于知識的下游，或僅在知識的末端就耗盡我們的一切，正如墨子所言“原濁者，流不清”，為此關(guān)注數(shù)學(xué)知識及方法的上游和源頭才能找到數(shù)學(xué)思想的根基，喚起人們最原始的求知欲和創(chuàng)造力.源頭在于開創(chuàng)，知識的上游決定著知識體系的設(shè)計(jì)和應(yīng)用方法的形成，倘若只局限于知識的下游最多也只能解決在相關(guān)知識體系下的個(gè)別問題，而難以找到全新的視角和開創(chuàng)性的舉措.

從求知到求解如果沒有“源文化和源思想”我們很多時(shí)候就只能無助的困在原地.從源頭或者上游進(jìn)行審視，必能清醒我們的頭腦，引導(dǎo)推理的路徑，合理我們的選擇，提高求解時(shí)的效率.以下借助幾個(gè)問題推本溯源，從相關(guān)知識的上游對這些問題做一個(gè)審視.

一、重溫Ceva定理

為證三角形中的三線共點(diǎn)，人們可謂是用盡了辦法，從不同的角度用不同的方法來予以詮釋和證明，目前除了一些平面幾何的方法，還有向量法以及用杠桿原理作為工具的物理方法等.拋開各種技巧如果按照從源頭順流而下的方式思考，這就需要先重溫一下Ceva定理：

Ceva定理 設(shè)D、E、F分別為三角形ABC的邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且=γ，則直線AD，BE，CF共點(diǎn)的充要條件是λμγ=1.

這是一個(gè)三角形中有關(guān)三線共點(diǎn)的定理，如果置Ceva定理在知識的上游，那么自Ceva定理順流而下，向下審視我們就會看到三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心、旁心，還有葛耳剛納點(diǎn)等一些貌似互不相干的問題，推本溯源其實(shí)都是Ceva定理下的幾個(gè)特殊情況，如圖1.相反如果孤立起來看將永遠(yuǎn)看不到三角形這些特征的統(tǒng)一性.

圖1

二、問題在課堂引發(fā)的沖突與思考

題1 如圖2所示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)（-1，2），且與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1，x2，其中-2＜x1＜-1，0＜x2＜1，則函數(shù)關(guān)系式中a的取值范圍是什么？

課堂實(shí)錄：這一問題在學(xué)生的練習(xí)中出現(xiàn)了以下兩種不同的算法和結(jié)果：

學(xué)生1：由圖2可知，a+b+c＜0； ①

a-b+c=2； ②

圖2

其中，從③得b＞2a，a＜.

由②得c=b-a+2. ④

實(shí)錄：當(dāng)這一解法呈現(xiàn)出來的時(shí)候，幾乎所有的人都認(rèn)為這已經(jīng)是確信無疑的了，一位平時(shí)很有主見而且數(shù)學(xué)成績較優(yōu)異的同學(xué)，在默默思考后又給出了如下的另外一種解法：

學(xué)生2：由題意知，a-b+c=2； ①

a+b+c＜0； ②

4a-2b+c＜0. ③

由①得b=a+c-2. ④

將④代入②，得a+a+c-2+c＜0，2a+2c＜2，a+c＜1， ⑤

將④代入③，得4a-2（a+c-2）+c＜0，4a-2a-2c+4+c＜0，2a-c＜-4. ⑥

⑤＋⑥，得3a＜-3.

因此a＜-1.

實(shí)錄：這位同學(xué)無疑給平靜的湖面投下了一枚不小的石子，頓時(shí)疑惑和不解自此開始回蕩在學(xué)生中間……

回顧一下，兩個(gè)結(jié)論相比很明顯 {a∈R|a＜-1}?

，說明其中的一個(gè)要么冗余，要么漏解，

這讓大家如何取舍呢？面對突如其來的情況，大家做出的第一反應(yīng)是重新檢查兩位同學(xué)的解題過程，可并沒有找到非常明顯的破綻，那就只好利用特例來進(jìn)行檢驗(yàn)，在檢驗(yàn)中大家慢慢開始對方法1逐漸產(chǎn)生了懷疑，細(xì)究起來方法2應(yīng)該比方法1的精確度更好一些，方法1的偏差主要是由“二次放大”造成的.如果對于這一點(diǎn)課前毫無意識，恐怕一堂課會留下無以彌補(bǔ)的質(zhì)疑和迷茫.

三、對二次函數(shù)取最值的多重理解

（1）二次函數(shù)y=a（x-x1）（x-x2）表示和x軸有兩個(gè)交點(diǎn)并且交點(diǎn)坐標(biāo)分別是（x1，0）和（x2，0）的這樣一條拋物線，我們還可以將其變形成y=-a（x-x1）（x2-x），當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，由基本不等式mn≤ （）2所講“和定積最大”可得，

當(dāng)x-x1=x2-x，即x=時(shí)，如果a＜0，則y取最大值；如果a＞0，則y取最小值.

（2）以上從幾何角度來看，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)，x-x1和x2-x可以作為一個(gè)矩形的兩條邊，按照“邊數(shù)及周長給定的多邊形，以正多邊形面積最大”這一定理，當(dāng)x-x1=x2-x，即x=時(shí)，矩形的長和寬兩邊相等，矩形成為正方形時(shí)，面積（x-x1）（x2-x）取最大值，此時(shí)，如果a＜0，則y取最大值；如果a＞0，則y取最小值.

當(dāng)然，即便拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)，我們依然可以通過坐標(biāo)系的平移變換，用同樣的方法對二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）取得最值的條件和最值的大小予以討論.

（3）令f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f′（x）=0，得x=-判別導(dǎo)數(shù)兩側(cè)的符號，列表如下：

a的符號 -∞，-b 2a（ ）-b 2a -b 2a，+∞（ ）f′（x）-0+a＞0f（x）↘取極小值4ac-b2 4a↗f′（x）+0-a＜0f（x）↗取極大值4ac-b2 4a↘

以上站在源自不同方向知識的上游，從不同的角度對同一問題進(jìn)行相互印證，這既可以體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思想方法的科學(xué)性，又能反映出數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在關(guān)系，如果沒有來自知識上游的文化審視，就不能形成從不同視角可以聚焦在一起的知識體系.

四、可叩問反函數(shù)以尋求答案的一個(gè)問題

我們知道函數(shù)y=（fx）的圖像和它的反函數(shù)y=f-（1x）的圖像關(guān)于直線y=x對稱.而反比例函數(shù)y=的圖像本身就關(guān)于直線y=x對稱，這說明反比例函數(shù)y=其反函數(shù)上的點(diǎn)仍就在y=的圖像上.并且相互對稱兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)順序相反.

題2（2015年成都卷）已知：一次函數(shù)y=-x+4的圖像與反比例y=（k為常數(shù)，且k≠0）的圖像交于A（1，a），B兩點(diǎn).

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）略

分析：由題意，a=-1+4=3，所以A（1，3），k=1×3=3.

所以所求反比例函數(shù)解析式為y=.

又雙曲線y=關(guān)于直線y=x對稱，直線y=-x+4垂直于直線y=x，所以點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線y=x對稱，從而由互為反函數(shù)的圖像關(guān)系可知A、B兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)次序相反，因此所求B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，1）.

五、來自定比分點(diǎn)的觀點(diǎn)

題3 如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2-2ax-3a（a＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），經(jīng)過點(diǎn)A的直線

l：y=kx+b與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，且CD=4AC.

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求直線l的函數(shù)表達(dá)式（其中k、b用含a的式子表示）；

（2）、（3）略.

圖3

分析：設(shè)P1、P2是直線l上兩點(diǎn)，點(diǎn)P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使=λ，λ叫做P分有向線段所成的比.進(jìn)一步，如果有P（x，y）、111P2（x2，y2）、P（x，y），那么

根據(jù)題意，A（-1，0），C（0，b）按定比分點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系式易得D點(diǎn)的橫坐標(biāo)x可滿足=0（其中λ=4），解得x=4，從而D（4，5a）.然后再通過待定系數(shù)法得直線l的解析式為y=ax+a.經(jīng)類比，過點(diǎn)D向x軸引一條垂線，再根據(jù)平行線分線段成比例定理就可以用平面幾何的方法計(jì)算出D點(diǎn)的橫坐標(biāo)了.

六、小結(jié)

對于問題，它只是一個(gè)問題的終結(jié)，還是一系列問題的開始；對于方法，它能否是一個(gè)可以得到廣泛應(yīng)用的方法，還是一個(gè)完全被禁錮僅此而已的做法.我們對問題的把握是否存在曲解數(shù)學(xué)的情況，還是根本就沒能抓住數(shù)學(xué)的靈魂，問題若不能產(chǎn)生出足夠的思想和智慧就會失去真正的數(shù)學(xué)價(jià)值.

尋求文化自信就必須突出對思想與知識源頭的思索，哪些內(nèi)容和方法屬于同根同源，有助于把分散的知識面收縮成知識點(diǎn).看到不同內(nèi)容的“血緣”關(guān)系，源頭既是知識的根又是孕育思想的魂，正如唐朝的重臣魏征所言：臣聞求木之長者，必固其根本；欲流之遠(yuǎn)者，必浚其泉源；思國之安者，必積其德又.源不深而望流之遠(yuǎn)，根不固而求木之長，德不厚而思國之安，臣雖下愚，知其不可.F