圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題綜析

☉北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明

圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)教與學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是近幾年高考的熱點(diǎn)和學(xué)生得分的難點(diǎn).原因有三：（1）圓錐曲線常與函數(shù)、平面幾何、不等式、方程、三角、向量等知識(shí)橫向交叉滲透，考查學(xué)生的綜合知識(shí)體系；（2）圓錐曲線涉及的數(shù)學(xué)思想方法較多，例如，轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想，換元法、判別式法、參數(shù)法、消元法、構(gòu)造法等；（3）圓錐曲線計(jì)算量大，要求學(xué)生必須有較強(qiáng)的分析能力和運(yùn)算求解能力.

由于圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題與圖形的幾何特征、函數(shù)的最值及不等式等有密切的聯(lián)系，因此解決的方法很多，比較常見的有：（1）結(jié)合曲線定義借助圖中幾何量間的大小關(guān)系；（2）不等式（組）求解法，根據(jù)題意結(jié)合圖形，列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），得出參數(shù)的取值范圍；（3）函數(shù)值域求解法，把討論的參數(shù)作為一個(gè)變量，選取一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，借助討論函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的范圍；（4）利用代數(shù)基本不等式，基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵要?jiǎng)?chuàng)造條件，進(jìn)行巧妙的構(gòu)思；（5）利用三角函數(shù)的有界性，圓錐曲線參數(shù)方程的一個(gè)共同點(diǎn)是都含有三角式，其價(jià)值在于：①可通過(guò)參數(shù)θ簡(jiǎn)明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來(lái)求解最值、范圍等問(wèn)題；（6）構(gòu)造二次方程，利用判別式Δ≥0求解.

本文主要探究利用構(gòu)建不等式和函數(shù)的方法解決圓錐曲線中的最值和范圍問(wèn)題，同時(shí)涉及解析幾何中常用的數(shù)學(xué)思想方法，以期對(duì)各位讀者有所啟迪.

一、構(gòu)建目標(biāo)不等式

欲求變量的取值范圍，可設(shè)法構(gòu)造含有變量的不等式（組），通過(guò)解不等式（組）來(lái)達(dá)到目的.

類型一——利用已知條件中明顯的不等關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式

例1 已知圓x2+y2=1過(guò)橢圓+=1（a＞b＞0）的兩焦點(diǎn)，與橢圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線l：y=kx+m與圓y=1相切，與橢圓+=1相交于A，B兩點(diǎn).記λ=·2.求k的取值范圍.

解析：易知橢圓的方程為x

2

2+y2=1.因?yàn)橹本€l：y=kx+m與圓x2+y2=1相切，即m2=k2+1.由4kmx+2m2-2=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km （x1+x2）+≤k2≤1，即k的取值范圍

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)直線與圓相切得到k，m的關(guān)系，再利用已知條件中的不等關(guān)系≤λ≤，結(jié)合向量的數(shù)量積及根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造關(guān)于k，m的不等式，再由k，m的關(guān)系，消元得到關(guān)于k的不等式，通過(guò)解不等式達(dá)到目的.

類型二——利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍構(gòu)建不等式

利用題目中隱藏的已知參數(shù)的范圍求新參數(shù)的范圍問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系，將新的參數(shù)的范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的參數(shù)范圍問(wèn)題.

2 已知A是橢圓E：+=1的左頂點(diǎn)，斜率為例k（k＞0）的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MA⊥NA.當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí)，求k的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)已知條件2|AM|=|AN|得到新的參數(shù)k與已知參數(shù)t之間的聯(lián)系，并挖掘題目中隱藏的信息，得到t＞3，據(jù)此建立關(guān)于k的不等式.

類型三——利用點(diǎn)在曲線內(nèi)（外）的充要條件構(gòu)建目標(biāo)不等式

利用點(diǎn)在曲線內(nèi)（外）的充要條件構(gòu)建目標(biāo)不等式的核心是抓住目標(biāo)參數(shù)和某點(diǎn)的關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系構(gòu)建目標(biāo)不等式.

例3 設(shè)拋物線過(guò)定點(diǎn)A（-1，0），且以直線x=1為準(zhǔn)線.若直線l與拋物線頂點(diǎn)的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)M，N，且線段MN恰被直線x=-平分，設(shè)弦MN的垂直平分線的方程為y=kx+m，試求m的取值范圍.

圖1

解法1：易知此拋物線頂點(diǎn)的軌跡C的方程為x2+=1（x≠1）.設(shè)弦MN的中點(diǎn)為yN），則由M，N為橢圓C上的點(diǎn)，可知兩式相減，得4（xM-xN）（xM+xN）+（yM-yN）（yM+代入上式得k=-在弦MN的垂直平分線上，所以y=-k+m，所以m=y+k=y.由于000點(diǎn)P（-，y）在線段BB′上（B′，B為直線x=-與橢圓的0交點(diǎn)，如圖1所示），所以yB′＜y0＜yB，即-＜y0＜

點(diǎn)評(píng)：本題求解的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)差法得到目標(biāo)參數(shù)m與點(diǎn)P（-，y）的關(guān)系， 再根據(jù)點(diǎn)P（-，y）與橢圓的00位置關(guān)系得到y(tǒng)0的取值范圍，從而求得目標(biāo)參數(shù)m的取值范圍.本題還可利用判別式構(gòu)建目標(biāo)不等式.

二、構(gòu)建函數(shù)模型

若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)建函數(shù)模型求最值，一般情況下，可以構(gòu)建二次型函數(shù)、雙曲線型函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)等.

類型一——構(gòu)建二次型函數(shù)

122C相交于A，B兩點(diǎn)，△F1AB的周長(zhǎng)為T（2，0），若λ∈［-3，-1］，求+|的取值范圍.

解析：易知橢圓C的方程為=1.當(dāng)直線l的斜率不存在，即λ=-1時(shí)，A

當(dāng)直線l的斜率存在，即λ∈［-3，-1］時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x-1）.

由，可得（2+3k2）x2-6k2x+3k2-6=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），顯然y1≠0，y2≠0，則由根與系數(shù)的關(guān)系可

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義、向量的坐標(biāo)表示、幾何問(wèn)題代數(shù)化等.其中難點(diǎn)是代數(shù)化之后，目標(biāo)函數(shù)比較復(fù)雜，如果直接計(jì)算相當(dāng)麻煩，但是通過(guò)分析發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)函數(shù)都有相同的式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使函數(shù)轉(zhuǎn)化成一個(gè)簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，把未知的、復(fù)雜的題目轉(zhuǎn)化為已知的、簡(jiǎn)單的題目，注意替換后變量取值范圍的變化.

類型二——構(gòu)建雙曲線型函數(shù)

雙曲線型函數(shù)主要有：y=a+（b≠0），y=ax+（ab≠0）.

例5 已知橢圓（a＞b＞0） 的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，以F1F2為直徑的圓與直線ax+2by-ab=0相切.如圖2，過(guò)F1作直線l與橢圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，若△PQF2的周長(zhǎng)為，求的最大值.

圖2

解析：因?yàn)椤鱌QF2的周長(zhǎng)為4，所以4a=4，所以a=，易知b2=1，橢圓方程為+y2=1，且焦點(diǎn)F（1-1，0），F(xiàn)（21，0）.

②若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），

點(diǎn)評(píng)：本題的求解思路是先利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算及根與系數(shù)的關(guān)系得到的目標(biāo)函數(shù)， 然后分離參數(shù)，構(gòu)建y=a+（b≠0）型函數(shù)，再利用函數(shù)單調(diào)性即可求其取值范圍.注意當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是分式函數(shù)時(shí)，通?？梢酝ㄟ^(guò)參數(shù)分離的方法，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化成雙曲線函數(shù)處理.

類型三——構(gòu)建多項(xiàng)式型函數(shù)

例6 如圖3，已知拋物線x2=y，線上的點(diǎn)B作直線AP的垂線，垂足為Q.

（1）求直線AP斜率的取值范圍；

（2）求|PA|·|PQ|的最大值.

圖3

解析：（1）由題意可知，P（x，x2），-＜x＜，所以∈（-1，1），故直線AP斜率的取值范圍是（-1，1）.

所以|PA·||PQ|的最大值為

點(diǎn)評(píng)：本題第（2）問(wèn)利用向量坐標(biāo)運(yùn)算及根與系數(shù)的關(guān)系易得|PA|·|PQ|=（1+k）3（1-k），此時(shí)目標(biāo)函數(shù)是次數(shù)較高的多項(xiàng)式函數(shù)，其最值不易求出，可構(gòu)建多項(xiàng)式型函數(shù)f（x）=（1+x）3（1-x），-1＜x＜1，x≠0，通過(guò)求導(dǎo)的方式研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值.

綜上，圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題的主要求解策略是將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化成不等式求解問(wèn)題或目標(biāo)函數(shù)最值問(wèn)題，在構(gòu)建目標(biāo)不等式時(shí)要注意挖掘題目中隱藏的不等關(guān)系，熟練轉(zhuǎn)化幾何關(guān)系，靈活運(yùn)用基本不等式；在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，要抓住式子結(jié)構(gòu)，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的類型進(jìn)行預(yù)判，注意目標(biāo)函數(shù)往往都不是簡(jiǎn)單的初等函數(shù)，而是幾個(gè)基本初等函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，求解過(guò)程中需要靈活運(yùn)用換元法、消元法、導(dǎo)數(shù)法等.F