牛頓力學(xué)和拉格朗日力學(xué)的聯(lián)系和區(qū)別

摘要：質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的問(wèn)題，既可以用牛頓力學(xué)也可以用拉格朗日力學(xué)（還有哈密頓原理）中的任何一種基本原理來(lái)表述。經(jīng)典力學(xué)中惟一可以用實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證的是牛頓第二定律，也正是這一定律，構(gòu)成了牛頓質(zhì)點(diǎn)力學(xué)的基礎(chǔ)，而拉格朗日力學(xué)卻要求抽象的虛位移、虛功，顯然這種依賴(lài)于思維的原理是不可能用實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證的。、

關(guān)鍵詞：牛頓力學(xué)；拉格朗日力學(xué)；聯(lián)系；區(qū)別

下面就兩種力學(xué)理論的主要聯(lián)系和區(qū)別進(jìn)行說(shuō)明：

一、兩種理論的區(qū)別

（一）力學(xué)規(guī)律的比較

牛頓力學(xué)的基本觀念：時(shí)間的絕對(duì)性與時(shí)空分離的觀念，使得它只適用于物體運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)小于光速的范圍，為了擺脫經(jīng)典概念的束縛，而且成為自然地過(guò)渡向非經(jīng)典力學(xué)的橋梁，拉格朗日力學(xué)為這種過(guò)渡做出了最好的準(zhǔn)備。

拉格朗日方程是以達(dá)朗伯原理為基礎(chǔ)，而達(dá)朗伯原理的出發(fā)點(diǎn)是牛頓運(yùn)動(dòng)方程，后面進(jìn)行的所有推導(dǎo)都只是改變表述的形式。如引進(jìn)廣義坐標(biāo)是為了使變量獨(dú)立，利用虛功原理是為了去掉約束力的貢獻(xiàn)，這些過(guò)程既沒(méi)有增加也沒(méi)有減少力學(xué)規(guī)律的內(nèi)容。但它得到的力學(xué)系統(tǒng)在完全一般性廣義坐標(biāo)描下具有不變形式的動(dòng)力學(xué)方程，概括了比牛頓力學(xué)要廣泛得多的系統(tǒng)，同時(shí)它也提供對(duì)力學(xué)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)、穩(wěn)定性、振動(dòng)方程作一般性研究的可能，并發(fā)

展研究了非完整系統(tǒng)，特別是非線(xiàn)性完整系統(tǒng)的研究。

（二）理論研究的切入點(diǎn)的比較

拉格朗日力學(xué)與牛頓力學(xué)的著眼點(diǎn)是不一樣的。牛頓力學(xué)方法是以質(zhì)點(diǎn)為對(duì)象，把著眼點(diǎn)放在作用于物體上的外界因素（力），在處理質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)問(wèn)題時(shí)，須分別考慮各個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力，然后來(lái)推斷整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，而拉格朗日在處理問(wèn)題時(shí)，以整個(gè)力學(xué)系統(tǒng)作為對(duì)象，用廣義坐標(biāo)來(lái)描述整個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的位形，著眼于體系的能量（如動(dòng)能和勢(shì)能）概念。實(shí)際上在拉格朗日表述中沒(méi)有一處引入過(guò)力的概念，這主要是因?yàn)槟芰渴菢?biāo)量，并且一系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)是不隨坐標(biāo)變化而變化的；在力學(xué)系統(tǒng)受到理想約束時(shí)，可在不考慮約束力的情況下來(lái)解決系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題；另外牛頓力學(xué)用矢量（如力速度、角速度、力矩等）形式來(lái)考慮力學(xué)系統(tǒng)，而在拉格朗日力學(xué)中運(yùn)動(dòng)方程完全是在位形空間以標(biāo)量運(yùn)算的形式獲得的因而往往我們可以把在普通空間中很復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)方程變換到位形空間，并適當(dāng)選擇位形空間可使問(wèn)題得到很大的簡(jiǎn)化如求解雙擺問(wèn)題、陀螺運(yùn)動(dòng)等等）。

（三）方程形式的比較

拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程取較簡(jiǎn)潔的形式。對(duì)于有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)所組成，受到k個(gè)約束條件限制的力學(xué)體系，應(yīng)用牛頓定律將需要3n+k個(gè)方程聯(lián)立求解，而用拉格朗日方程只有3n-k個(gè)，約束越多，這一優(yōu)點(diǎn)就越明顯。另外，在上述已談到，牛頓運(yùn)動(dòng)方程是從物體受力角度導(dǎo)出的，而拉格朗日方程是從能量的角度來(lái)寫(xiě)動(dòng)力學(xué)方程的，這樣的好處是：一是，力是矢量，能量是標(biāo)量，一般來(lái)說(shuō)處理標(biāo)量比處理矢量要方便。二是，力僅是力學(xué)范圍內(nèi)的一個(gè)物理量，而能量則是整個(gè)物理學(xué)的一個(gè)基本物理量，這就為把力學(xué)規(guī)律應(yīng)用到其他物理學(xué)領(lǐng)域開(kāi)辟了可能性，使拉格朗日方程成為力學(xué)和物理學(xué)其他分支相聯(lián)系的橋梁。但由拉格朗日方程得到的各種表達(dá)式的物理圖像，又不如應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)方程式那樣直觀和簡(jiǎn)單。

二、兩種理論的聯(lián)系

從以上我們看到似乎牛頓力學(xué)與拉格朗日力學(xué)的觀點(diǎn)有著根本的差異，好像是兩套理論來(lái)解力學(xué)問(wèn)題，其間沒(méi)有相同的地方，實(shí)際上，這是一種表面現(xiàn)象，由下面我們可看到它們對(duì)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)所做出的正確描述都是等價(jià)的，只不過(guò)是觀點(diǎn)不同，而結(jié)果是相同的。

122.1兩種理論的方程

考慮保守情形考慮保守系情形，選取直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，對(duì)單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：

拉格朗日方程為：

i=1，2，3……

拉格朗日函數(shù)：L=T-U

方程可寫(xiě)為：

對(duì)保守系：

故上式可寫(xiě)為：

又對(duì)保守系：

則

即

這正是牛頓第二定律的表達(dá)式，表明在廣義坐標(biāo)就是直角坐標(biāo)情形下，拉格朗日方程和牛頓動(dòng)力學(xué)方程是完全等價(jià)的。

2.2兩種理論的力的分類(lèi)

在質(zhì)點(diǎn)系牛頓力學(xué)，將力分為外力和內(nèi)力的結(jié)果，導(dǎo)致了有關(guān)內(nèi)力的一個(gè)特別的公理，即牛頓第三定律：

同樣，拉格朗日力學(xué)中每一個(gè)有界力要不是一個(gè)“約束力”，要不就不是約束力（稱(chēng)之為“給定力”），也需要有一個(gè)關(guān)于約束力的特別的公理，這個(gè)公理就是達(dá)朗貝爾原理：在質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，約束力總體可以不予考慮；單從力分類(lèi)所存在的公理角度來(lái)看牛頓力學(xué)與拉格朗日力學(xué)等價(jià)，這種等價(jià)只是對(duì)應(yīng)于內(nèi)力和外力、約束力和給定力所各自相應(yīng)的公理存在而言。當(dāng)然，不管是內(nèi)力還是外力都可能包含有約束力和給定力，也就是它們對(duì)力的分類(lèi)是不相當(dāng)?shù)?，不過(guò)在這我們只是從存在的“公理”來(lái)看等價(jià)的。

3.總結(jié)

綜上所述：牛頓力學(xué)在數(shù)學(xué)處理方面著重于幾何和矢量的應(yīng)用，拉格朗日力學(xué)則偏重于解析數(shù)學(xué)，它們處理問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)不一樣，但所得的結(jié)論是一致的。在學(xué)習(xí)中我們看到在拉格朗日力學(xué)中并沒(méi)有在任何意義上建立新的理論，只不過(guò)是在力學(xué)中引人虛位移和虛功的概念把牛頓觀點(diǎn)進(jìn)行擴(kuò)展的結(jié)果，這也正是這兩種不同風(fēng)格的力學(xué)理論，在力學(xué)范疇內(nèi)所包含的內(nèi)容完全等價(jià)的原因所在。但我們也看到，由于拉格朗日力學(xué)具有普適的表達(dá)方式，使它有可能超越力學(xué)范圍，推廣到其他學(xué)科中應(yīng)用。

【作者簡(jiǎn)介：翟晨光 （1998-） 男 漢族 河北石家莊市人 學(xué)生 本科 西北工業(yè)大學(xué) 飛行器設(shè)計(jì)與工程 】