郭麗杰,韓明花,周 碩
(東北電力大學(xué)理學(xué)院,吉林吉林132012)
在工程技術(shù),特別是結(jié)構(gòu)動力模型修正技術(shù)領(lǐng)域經(jīng)常遇到與二次特征值相反的問題,我們稱為二次特征值反問題[1~4].結(jié)構(gòu)動力模型修正技術(shù)[5~6]利用實(shí)測模型數(shù)據(jù)對有限元方法所得的質(zhì)量矩陣M~,阻尼矩陣C~和剛度矩陣K~進(jìn)行修正,使修正的質(zhì)量矩陣M,阻尼矩陣C和剛度矩陣K滿足理論上的譜約束條件即并且矩陣[M,C,K]最佳逼近矩陣矩陣擴(kuò)充問題即為子矩陣約束下的矩陣反問題,研究矩陣擴(kuò)充問題對矩陣?yán)碚摷捌鋵?shí)際應(yīng)用具有重要意義[7~9];本文利用矩陣對的商奇異值分解[10]方法,研究中心主子陣約束下矩陣方程MXΛ2+CXΛ+KX=0的廣義反中心對稱矩陣解及其最佳逼近問題.
令Rn×m表示所有n×m階實(shí)矩陣集合;Ik表示k階單位陣;用AT、R(A)、N(A)分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣、列空間、零空間;對矩陣 A=(aij) ∈ Rs×t,B=(bij)s×t∈ Rs×t,A*B=(aijbij)s×t表示矩陣 A 與 B 的Hadamard積;Rn×m中矩陣A與B的內(nèi)積定義為(A,B)=tr(BTA),由此內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)為則此范數(shù)為矩陣A的Frobenius范數(shù),且Rn×m構(gòu)成一個完備的內(nèi)積空間.
定義1 P∈Rn×n稱為對稱正交矩陣,如果它滿足:(1)P=PT,(2)P2=In.
定義2 設(shè)P∈Rn×n,Q∈Rm×m為對稱正交矩陣,若A∈Rn×m滿足PAQ=A,則稱A為廣義中心對稱矩陣;若A∈Rn×m滿足PAQ=-A,則稱A為廣義反中心對稱矩陣.
研究如下兩類問題:
問題1 給定X=[x1,x2,…,xs]∈Rm×s,Λ =diag(λ1,λ2,…,λs) ∈Rs×s,M0,C0,K0∈Rq×q和對稱正交矩陣 P ∈ Rn×n,Q ∈ Rm×m,求廣義反中心對稱矩陣 M,C,K ∈ Rn×m
使得
其中:M0,C0,K0分別是矩陣M,C,K的q階中心主子陣(n,m與q具有相同的奇偶性).
其中:SMCK是問題1的解集.
問題 2 給定 M*,C*,K*∈ Rn×m,求 M^,C^,K^∈ SMCK,使得
引理1 設(shè)P∈Rn×n,Q∈Rm×m為對稱正交矩陣,則存在n階正交陣U和m階正交陣V,使得P,Q的譜分解分別為
引理2 設(shè)A∈Rn×m,則A為廣義反中心對稱矩陣當(dāng)且僅當(dāng)
其中:A1∈ Rt×(m-k),A2∈ R(n-t)×kU ∈ Rn×n,V ∈ Rm×m為正交矩陣.
其中:Q0∈ Rn×(3m-r)是任意的矩陣.
其中:Σi()為ri階正定對角矩陣∈ OR3(m-k)×3(m-k),U21∈ R3(m-k)×r2,Vi∈ ORs×s,則矩陣方程 MXΛ2+CXΛ +KX=0 有廣義反中心對稱解M,C,K ∈ Rn×m,且其通解為
其中:Q1∈ R(n-t)×(3k-r1),Q2∈ Rt×(3(m-k)-r2)是任意矩陣,
記(0,Iq,0)U=(D1,D2),其中:D1∈ Rq×t,D2∈ Rq×(n-t).
設(shè)D1,D2的商奇異值分解分別為
其中:E ∈ Rq×q可逆矩陣,R ∈ Rt×t,F(xiàn) ∈ R(n-t)×(n-t)均為正交陣,
其中:S=diag(α1,α2,…,αs1),αi> 0,(i=1,2,….s1),s1=rank(D1)+rank(D2) - l1,l1=rank(D1,D2),t1=l1- rank(D2),0,O1,O2為相應(yīng)階數(shù)的零矩陣.
設(shè)P1U12,P2U22的商奇異值分解為
其中:G ∈ R3q×3q可逆矩陣,H ∈ R(3k-r1)×(3k-r1),K ∈ R(3(m-k)-r2)×(3(m-k)-r2)均為正交陣,
其中:C=diag(β1,β2,…,βs2),βi> 0,(i=1,2,….s2),l2=rank(P1U12,P2U22),s2=rank(P1U12)+rank(P2U22) - l2,t2=l2- rank(P2U22),0,O3,O4為相應(yīng)階數(shù)的零矩陣.
設(shè)
其中:A11∈ Rt1×t2,A22∈ Cs1×s2,A33∈ R(l1-t1-s1)×(l2-t2-s2),A44∈ R(q-l1)×(3q-l2).由引理 4 及矩陣對的商奇異值分解可得如下結(jié)論.
定理1 給定X=[x1,x2,…,xs]∈Rm×s,Λ =diag(λ1,λ2,…,λs) ∈Rs×s,M0,C0,K0∈Rq×q和對稱正交矩陣P∈Rn×n,Q∈Rm×m,問題1有解的充分必要條件是
且一般解的形式為
其中:U ∈ Rn×n,V ∈ Rm×m,R ∈ Rt×t,F(xiàn) ∈ R(n-t)×(n-t),K ∈ R(3(m-k)-r2)×(3(m-k)-r2),H ∈ R(3k-r1)×(3k-r1)為正交矩陣,U12∈ R3k×(3k-r1),U22∈ R3(m-k)×(3(m-k)-r2)為列正交矩陣如公式(7),
若問題1有廣義反中心對稱解,則SMCK為一閉凸集,那么對任意給定矩陣M*,C*,K*∈Rn×m,在SMCK中存在唯一最佳逼近解[M^,C^,K^].
引理 5 給定 E,F(xiàn) ∈ Cn×n,Λ1=diag(α1,α2,…,αn),Λ2=diag(β1,β2,…,βn),則 G - E2+Λ1GΛ2- F2=min有唯一解G^∈Cn×n,且G^=Φ*(E+Λ1FΛ2),其中:Φ =(φij)∈Rn×n,φij= 1 1+αi
2βj2
定理 2 對給定 X=[x1,x2,…,xs]∈ Rm×s,Λ =diag(λ1,λ2,…,λs) ∈ Rs×s,和對稱正交矩陣 P ∈Rn×n,Q∈Rm×m,M*,C*,K*∈Rn×m,問題1的解集由公式(15) 給出,則問題2有唯一最佳逼近解M^,C^,K^∈SMCK,且可以表示為
證明 由定理1及引理5,可得此定理的證明.
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