矩陣方程的三對(duì)角中心對(duì)稱最小二乘解

張 翔， 王卿文

(1.上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444;2.遵義師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，貴州遵義563000)

本研究中，Rm×n代表所有 m×n階實(shí)矩陣，ORm×m代表所有正交m×m階矩陣，Ik表示k階單位矩陣，‖.‖表示矩陣的Frobenius模.由于很多工程和電子信息問(wèn)題都需要解決矩陣的逆問(wèn)題，即給定A，B∈Rm×n，尋求m×m階實(shí)矩陣X，使得XA= B［1-3］.根據(jù)問(wèn)題的不同需要，存在不同類型的解X.三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣的結(jié)構(gòu)較一般對(duì)稱矩陣更復(fù)雜，并且關(guān)于三對(duì)角中心對(duì)稱解的研究也很少見(jiàn).但是三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣在噪音處理、工程技術(shù)等方面有著重要應(yīng)用［4-10］.因此，本研究考慮在給定A，B∈Rm×n的情況下，尋求n×n階實(shí)三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣X，使得‖AX-B‖最小.

1 定義及初步結(jié)果

定義1 如果A=(aij)∈Rn×n是中心對(duì)稱的，且為三對(duì)角矩陣，則該矩陣為三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣，記作CSTRn×n.

引理1［4］(1)如果X為2k×2k階實(shí)三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣，則X可表示為

(2)如果X為(2k+1)×(2k+1)階實(shí)三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣，則X可表示為

在式(1)，(2)中，M為k×k階實(shí)三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣，Sk=(ek，ek-1，…，ei，…，e1)，ei為Ik的第i列，u∈Rk×1，且u=(0，0，…，b)T，a，b為實(shí)數(shù).

引理2［4］(1)如果n=2k，令

則所有的實(shí)2k×2k階三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣X可表示為

(2)如果n=2k+1，令

則所有的實(shí)(2k+1)×(2k+1)階三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣X可表示為

2 定理及其證明

文獻(xiàn)［5］列出了當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)本問(wèn)題的解和最小二乘解.為保證定理的完整性，在此僅列出n為偶數(shù)的情況，而主要論證n為奇數(shù)的情形.

定理1 (1)如果n=2k+1，假設(shè)A，B∈Rm×n，AD=(A1，A2)，BD=(B1，B2)，其中 A1，B1∈Rm×(k+1)，A2，B2∈Rm×k，則矩陣方程AX=B存在三對(duì)角中心對(duì)稱解當(dāng)且僅當(dāng)

其中

式中，U，V分別為A1的奇異值分解，P，Q為A2的奇異值分解，并且

(2)如果n=2k，假設(shè)A，B∈Rm×n，AD=(A1，A2)，BD=(B1，B2)，其中 A1，B1∈Rm×k，A2，B2∈Rm×k，則矩陣方程AX=B存在三對(duì)角中心對(duì)稱解當(dāng)且僅當(dāng)

其中

式中，U，V為A1的奇異值分解P，Q為A2的奇異值分解.

證明 由Frobenius模的正交不變性，有

注意到AX=B與‖AX-B‖=0等價(jià)，因而，AX=B存在三對(duì)角中心對(duì)稱解當(dāng)且僅當(dāng)

即證.

定理2 (1)如果n=2k+1，假設(shè)A，B∈Rm×n，AD=(A1，A2)，BD=(B1，B2)，其中 A1，B1∈Rm×(k+1)，A2，B2∈Rm×k，則存在三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣X，使得‖AX-B‖最小的充分必要條件為

式中，Λ1，Λ2，U1，V1，P1，Q1，X11同定理1.

(2)如果n=2k，假設(shè)A，B∈Rm×n，AD=(A1，A2)，BD=(B1，B2)，其中A1，B1∈Rm×k，A2，B2∈Rm×k，則存在三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣X，使得‖AXB‖最小的充分必要條件為

式中，Λ1，Λ2，U1，V1，P1，Q1同定理1.

證明 由定理1的證明可得，存在三對(duì)角中心對(duì)稱矩陣X，使得‖AX-B‖最小的充分必要條件為

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