具有連續(xù)相位調(diào)制特性的甚小線性調(diào)頻鍵控信號(hào)分析

姜俊超， 鄭國(guó)莘， 邱志易， 劉雅君

(上海大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，上海200072)

通信系統(tǒng)的性能在很大程度上由調(diào)制方式所決定.為了在帶寬上獲得較高的傳輸速率，調(diào)制需滿足較高的頻譜利用率及較小的旁瓣等特性.超窄帶調(diào)制方式一經(jīng)提出就以其高效的頻譜利用率而廣受關(guān)注.與傳統(tǒng)的調(diào)制方式如頻移鍵控(frequency shift keying，F(xiàn)SK)、幅移鍵控(amplitude shift keying，ASK)等相比，超窄帶(ultra narrow band，UNB)通信體制能夠在相同數(shù)據(jù)傳輸速率下，只占用前者幾分之一的帶寬［1］，因而，能夠有效地提高通信體制的頻帶利用率.

至今，超窄帶體制已經(jīng)提出了一系列調(diào)制方式，包括 Walker［2］提出的甚小線性調(diào)頻鍵控(very minimum shift keying，VMSK)調(diào)制方式和吳樂南［3-4］提出的甚小波形差鍵控(very-minimum waveform difference keying，VWDK)調(diào)制方式等.本研究提出的甚小線性調(diào)頻鍵控(very minimum chirp keying，VMCK)調(diào)制方式［5-6］，是在一個(gè)比特周期內(nèi)采用升頻或降頻的線性調(diào)制來構(gòu)成二元信號(hào)，具有更窄的帶寬和旁瓣衰減程度，從而愈加受到關(guān)注.

目前，許多針對(duì)VMCK調(diào)制方式的相關(guān)研究，包括波形調(diào)制時(shí)去除VMCK信號(hào)的直流分量［6］、通過波形優(yōu)化的方式去除其旁瓣頻譜處的離散諧波分量［7］、采用多進(jìn)制的二次甚小線性調(diào)頻鍵控(quadrate very minimun chirp keying，QVMCK)調(diào)制方式［8］、VMCK信號(hào)的正交性、VMCK在無線信道傳輸中的誤碼率分析［9］等，均采用了發(fā)送隨機(jī)二進(jìn)制數(shù)字序列的方法來分析VMCK頻譜.

1 VMCK調(diào)制的連續(xù)相位特性

VMCK信號(hào)在單周期t∈［0，T］時(shí)間內(nèi)的波形表達(dá)式為

式中，In表示輸入的二進(jìn)制序列“1”或“0”，取值為+1或-1，0＜α≤1，0＜t≤1/fs.由于VMCK調(diào)制是一種連續(xù)相位調(diào)制，故可以從連續(xù)相位調(diào)制(continuous phase modulation，CPM)的一般表達(dá)式中通過確定相應(yīng)參數(shù)來推導(dǎo)出VMCK信號(hào).

CPM作為一種典型的恒包絡(luò)連續(xù)相位調(diào)制方式，能夠?qū)崿F(xiàn)較窄的頻譜主瓣和較低的諧波分量譜，從而提高了信號(hào)的頻譜利用率［10］.根據(jù)調(diào)制系數(shù)h和積分脈沖g(t)的不同，CPM調(diào)制技術(shù)至今已包含多種分類，如最小頻移鍵控(minimum shift keying，MSK)、正弦頻移鍵控(sine frequency shift keying，SFSK)、連續(xù)相位頻移鍵控(continuous phase frequency shift keying，CPFSK)等.通常，CPM信號(hào)的一般波形表達(dá)式為

式中，ε為信號(hào)碼元能量，T為碼元間隔寬度，fs為載頻，φ0為載波的初始相位，φ(t;I)表示調(diào)制信息的時(shí)變相位函數(shù).在式(2)中確定特定參數(shù)，就可以推導(dǎo)出VMCK的表達(dá)式，首先分析式(2)所示CPM信號(hào)的時(shí)變相位函數(shù)：

不同于常規(guī)的積分脈沖，VMCK調(diào)制中創(chuàng)新性地選用一種隨時(shí)間t呈線性變化的g(t)為積分脈沖，如圖1(b)所示，其表達(dá)式為

圖1 積分脈沖g(t)的時(shí)域波形Fig.1 Time-domain waveforms of integral pulse g(t)

在t∈［0，T］情況下，將式(6)代入式(4)，可以得到VMCK的時(shí)變相位函數(shù)的表達(dá)式為由式(7)易知：當(dāng)t=0時(shí)，φ(t;I)=θn;當(dāng)t=T時(shí)，φ(t;I)=θn.因而不論In取值如何變化，在一個(gè)碼元周期內(nèi)，相位函數(shù)φ(t;I)始終保持連續(xù)變化，并且在整個(gè)碼元周期內(nèi)的改變值為0，可見VMCK符合連續(xù)相位調(diào)制特性.

在確定了VMCK時(shí)變相位函數(shù)φ(t;I)的表達(dá)式之后，將其代入式(2)，并設(shè)定波形幅度A=1，初始相位φ0=-π/2，且fs=1/T，則可得

最后，需要確定調(diào)制系數(shù)h.由式(1)可知，對(duì)于VMCK信號(hào)而言，其可達(dá)到的最大角頻率偏移Ωmax=2π·2αfs，則按照定義可得

至此，我們已確定了由式(2)所示的CPM一般表達(dá)式推導(dǎo)至VMCK過程中所需確定的所有參數(shù)，將h=2α代入式(8)，可得

可以看到，當(dāng)In取+1或者-1時(shí)，式(10)的結(jié)果與式(1)所示的VMCK表達(dá)式一致.這表明VMCK信號(hào)可作為一種連續(xù)相位調(diào)制.

2 VMCK調(diào)制的發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu)

對(duì)于VMCK信號(hào)的調(diào)制，通常根據(jù)所發(fā)送的二進(jìn)制序列“1”或“0”，分別進(jìn)行調(diào)制后相加以實(shí)現(xiàn)其發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu)，如圖2所示.

圖2 VMCK發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.2 Transmitter structure of VMCK

而基于連續(xù)相位的觀點(diǎn)，可對(duì)VMCK時(shí)域表達(dá)式作進(jìn)一步分析：

另外，由于cos(Inx)=cos x，sin(Inx)=Insin x，上式可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為

根據(jù)式(11)的結(jié)果，也可以通過如下步驟來實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制VMCK信號(hào)的調(diào)制［12］：

步驟2 將第一路和第二路數(shù)據(jù)分別對(duì)正交的載波cos(2πfst)與sin(2πfst)進(jìn)行雙邊帶調(diào)幅，如圖3所示.

圖3 VMCK的調(diào)制波形Fig.3 Modulation waveform of VMCK

步驟3 將步驟2中所得的兩路正交的雙邊帶信號(hào)疊加后形成VMCK信號(hào).

根據(jù)上述的步驟，可以得到一種新型的VMCK調(diào)制的發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu)，如圖4所示.

圖4 新型的VMCK發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu)Fig.4 New transmitter structure of VMCK

這種新型的發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu)只需要由直接數(shù)字頻率合成(direct digital frequency synthesis，DDS)模塊結(jié)合D/A模塊即可完成調(diào)制，而無需對(duì)“1”，“0”信號(hào)進(jìn)行分別調(diào)制，簡(jiǎn)化了發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu).

3 二進(jìn)制VMCK信號(hào)功率譜分析

為了方便對(duì)二進(jìn)制sVMCK(t)信號(hào)進(jìn)行功率譜分析，我們定義v(t)為信號(hào)sVMCK(t)的等效低通信號(hào)，其表達(dá)式為

那么易知

則s(t)和v(t)二者功率譜密度之間的關(guān)系為

因而，要得出信號(hào)sVMCK(t)的功率譜密度，只需確定其等效低通信號(hào)v(t)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度即可.由于發(fā)送序列{In}為二進(jìn)制序列，并且其中的每一個(gè)符號(hào)都是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立和同分布的，而積分脈沖g(t)=q'(t)在［0，T］之外的值為0，所以求得v(t)的自相關(guān)函數(shù)為

對(duì)式(16)作傅里葉變換，得到其對(duì)應(yīng)的功率譜密度表達(dá)式為

將其表示為G2(τ)，則可定義

由于調(diào)制系數(shù)h=2α，進(jìn)制值M=2，定義常數(shù)

則最終Φvv(f)可化簡(jiǎn)為如下表達(dá)式：

圖5是根據(jù)式(22)在不同調(diào)制系數(shù)h=2α情況下的VMCK信號(hào)歸一化功率譜圖，并與MSK信號(hào)作對(duì)比.

圖5 不同調(diào)制系數(shù)α情況下等效低通VMCK歸一化功率譜密度Fig.5 Equivalent low-pass normalized power spectral densityofVMCK in differentmodulation factor α

圖5分別給出了調(diào)制系數(shù)α=0.9，0.7，0.3和0.1時(shí)，二進(jìn)制等效低通VMCK信號(hào)的功率譜密度，其中橫坐標(biāo)為歸一化頻譜fT，即橫坐標(biāo)零點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的載頻f=fs.可以看到，VMCK的頻譜能量主要集中于載頻fs周邊的一個(gè)很窄的帶寬之內(nèi)，并且隨著調(diào)制系數(shù)α的降低，其信號(hào)旁瓣的功率譜也呈下降態(tài)勢(shì)，這種頻譜特性也表明了VMCK調(diào)制具有相當(dāng)窄的傳輸帶寬，因而調(diào)制信號(hào)的頻帶利用率也進(jìn)一步得到提高.

4 VMCK與MSK信號(hào)功率譜比較

對(duì)于MSK信號(hào)而言，其代表“1”和“0”的2個(gè)波形信號(hào)具有如下相關(guān)系數(shù)：

而對(duì)于VMCK調(diào)制而言，當(dāng)調(diào)制系數(shù)α=0.7時(shí)［5］，其二進(jìn)制信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)同樣也為ρ=0，這也就表明了在α=0.7的情況下，VMCK信號(hào)也是一種正交調(diào)制.因而在調(diào)制信號(hào)正交的情況下，MSK和VMCK在解調(diào)時(shí)的誤碼率Pe與信噪比Eb/n0的關(guān)系均為

這就意味著MSK和VMCK(α=0.7時(shí))在相同信噪比情況下有著相同的解調(diào)誤碼率.為了進(jìn)一步比較這2種正交調(diào)制方式下的信號(hào)功率譜密度，我們?cè)O(shè)定二者的數(shù)據(jù)傳碼率相同，通過快速傅里葉變換計(jì)算二者的功率譜，并對(duì)其進(jìn)行幅度歸一化，如圖6所示.可以直觀地看出，VMCK(正交調(diào)制α=0.7時(shí))的頻譜能量主要集中在一個(gè)類似于沖擊函數(shù)的單譜線內(nèi)(即載頻fs處)，其余頻譜分量處明顯低于載頻，并且其旁瓣功率下降較快;而MSK信號(hào)的頻譜能量在主瓣處較為集中，但相比VMCK的線頻，MSK在主瓣處明顯占用了更多的帶寬，并且其旁瓣功率的衰減速度也不如VMCK來得迅速.

圖6 二進(jìn)制VMCK與MSK功率譜對(duì)比Fig.6 Compared power spectrum of binary VMCK with the MSK

為定量分析MSK和VMCK信號(hào)，圖7給出了二者在VMCK調(diào)制系數(shù)α從0.2～0.8之間變化的5種情況的百分比功率帶寬對(duì)比.

從圖7可以看出，MSK信號(hào)的功率譜主要集中在0.6fs頻帶范圍之內(nèi)，越靠近載頻處，MSK功率譜密度越大，而隨著頻率逐漸遠(yuǎn)離載頻處，其功率譜密度下降較為平和.而VMCK在載頻f=fs周邊一個(gè)極窄的帶寬內(nèi)所占有的功率譜能量占整個(gè)頻域能量很大的比重，并且隨著頻率逐漸遠(yuǎn)離載頻處，其功率譜密度瞬間急劇下降，這就意味著VMCK的大量頻譜能量集中在載頻周圍的一個(gè)極窄的頻帶范圍內(nèi)，因而具有明顯的超窄帶調(diào)制特性.

圖7 VMCK和MSK百分比功率帶寬比較Fig.7 Compared power percentage bandwidth of VMCK with the MSK

由圖7還可以看到，伴隨著VMCK信號(hào)調(diào)制系數(shù)α的減小，其在相同百分比功率譜情況下所占用的帶寬也變窄，主要是因?yàn)殡S著α減小，其旁瓣功率衰減將越為迅速.如當(dāng)α=0.3時(shí)，整個(gè)VMCK信號(hào)90%的功率譜密度幾乎都集中在載頻處，這也就意味著VMCK信號(hào)在頻域上90%的能量都集中在靠近載頻的極窄的帶寬內(nèi)，而MSK的90%的功率譜帶寬約為0.4fs，這就體現(xiàn)出了VMCK信號(hào)在頻帶利用率上的優(yōu)勢(shì).但是，當(dāng)α選取較小數(shù)值時(shí)，二元信號(hào)的互相關(guān)系數(shù)將大于0，致使系統(tǒng)的抗噪性能下降.

考慮到VMCK解調(diào)端選用相干解調(diào)，因此，仍選用VMCK正交調(diào)制時(shí)α=0.7的情況［5］與MSK進(jìn)行定量對(duì)比.此時(shí)，VMCK調(diào)制和MSK調(diào)制在相同的信噪比情況下具有相同的誤碼率.從圖6中可以看出，在采用低于75%的功率譜百分比情況下，VMCK信號(hào)(正交時(shí)α=0.7)的帶寬明顯小于MSK信號(hào)，體現(xiàn)出了其作為超窄帶通信調(diào)制方式的窄帶特性.而當(dāng)選用較大的功率百分比時(shí)，MSK信號(hào)帶寬則小于VMCK信號(hào).

5 結(jié)束語(yǔ)

本研究對(duì)CPM一般公式中的積分脈沖g(t)與調(diào)制系數(shù)h進(jìn)行選定，把傳統(tǒng)CPM中的積分脈沖由矩形脈沖或升余弦脈沖改變成隨時(shí)間t呈線性變化的形式，推導(dǎo)出了具有相位連續(xù)特性的VMCK超窄帶調(diào)制表達(dá)式.通過對(duì)VMCK信號(hào)的表達(dá)式的分析，給出了一種新型的調(diào)制步驟和發(fā)射機(jī)結(jié)構(gòu)，其具有調(diào)制信號(hào)在單一路徑的特點(diǎn)，有利于簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu).此外，通過自相關(guān)函數(shù)傅里葉變換得到VMCK的功率譜密度解析表達(dá)式具有一般性.據(jù)此，對(duì)VMCK等效低通信號(hào)的功率譜密度與MSK調(diào)制方式對(duì)比，發(fā)現(xiàn)當(dāng)功率百分比小于75%時(shí)，VMCK具有較高的頻帶利用率，可以適用于某些“見縫插針”的通信場(chǎng)合.

［1］ WALKERH R.Ultra narrow band modulation textbook［EB/OL］.［2009-12-09］.http：∥www.vmsk.org/ Textbook.pdf.

［2］ WALKERH R.VPSK and VMSK modulation transmit digital audio and video at 15 bits/sec/Hz［J］.IEEE Transactions on Broadcasting，1997，43(1)：96-103.

［3］ SAYHOODK H，WUL N.Raise bandwidth efficiency with sine-wave modulation VMSK［J］.Microwaves and RF Mag，2001，40(4)：79-84.

［4］ 吳樂南.超窄帶高速通信進(jìn)展［J］.自然科學(xué)進(jìn)展，2007，17(11)：1467-1473.

［5］ ZHENGG X，F(xiàn)ENGJ Z，JIAM H.Very minimum chirp keying as a novel ultra narrow band communication scheme［C］∥ICICS.2007：238-241.

［6］ ZHENGG X，YANGW Y，HEH，et al.Non DC offset very minimum chirp keying modulation as a novel ultra narrow band communication scheme［C］∥ CCWMSN07 Proceeding.2007：755-758.

［7］ 賈東立，鄭國(guó)莘，張立，等.甚小線性調(diào)頻鍵控調(diào)制波形的正弦基擬合優(yōu)化［J］.上海大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2010，16(4)：331-335.

［8］ JIW L，ZHENGG X，BAOM Q.Ultra-narrowband wireless communication technology based on QVMCK modulation［C］∥Proceeding of 2008 China-Japan Joint Microwave.2008：185-187.

［9］ BAOM Q，ZHENGG X，JIW L.BER performance analysisofultra-narrowband wireless communication technology based on VMCK modulation［C］∥Proceeding of China-Japan Joint Microwave.2008：193-196.

［10］ 馮思泉.連續(xù)相位調(diào)制(CPM)技術(shù)研究［D］.昆明：昆明理工大學(xué)，2007.

［11］ 孫明，林君，陳祖斌，等.基于DDS技術(shù)的chirp信號(hào)產(chǎn)生系統(tǒng)［J］.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2004(4)：22-24.

［12］ 孫錦華，李建東，金力軍.連續(xù)相位信號(hào)的調(diào)制及解調(diào)方法：中國(guó)，CN1710898［P］.2005-12-21.