一類滯環(huán)非線性時(shí)滯系統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面控制方法

唐曉博

(國網(wǎng)哈爾濱供電公司，黑龍江哈爾濱150010)

隨著人們對(duì)智能材料關(guān)注的不斷提高，新型功能材料得到了廣泛的應(yīng)用和快速的發(fā)展．目前，比較常見的新型功能材料有磁致伸縮材料、形狀記憶合金材料、壓電陶瓷材料等．滯環(huán)特性作為智能材料中的一種固有非線性特性嚴(yán)重影響著系統(tǒng)的穩(wěn)定性．目前，針對(duì)具有滯環(huán)輸入的非線性系統(tǒng)歸納起來，補(bǔ)償方式主要有兩種，第一種是建立滯環(huán)逆，這種方法的優(yōu)點(diǎn)是可以根據(jù)滯環(huán)模型的算子建立逆算子，再級(jí)聯(lián)到控制系統(tǒng)中，精確的補(bǔ)償滯環(huán)帶來的影響;缺點(diǎn)是由于滯環(huán)非線性系統(tǒng)的復(fù)雜性導(dǎo)致滯環(huán)模型的建立困難，在此基礎(chǔ)上，實(shí)現(xiàn)滯環(huán)模型的求逆運(yùn)算就更加困難．因此，第二種方式即將滯環(huán)與研究對(duì)象看作一個(gè)整體，通過自適應(yīng)控制方法設(shè)計(jì)控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制的優(yōu)勢(shì)就突顯出來．文獻(xiàn)［1］對(duì)于一類含有未知PI滯環(huán)模型和未知擾動(dòng)的嚴(yán)反饋系統(tǒng)，通過動(dòng)態(tài)面方法的設(shè)計(jì)，不但實(shí)現(xiàn)了對(duì)于系統(tǒng)控制律的設(shè)計(jì)，同時(shí)在反步過程中實(shí)現(xiàn)對(duì)滯環(huán)的抵消，通過引入初始化技術(shù)，保證了系統(tǒng)跟蹤誤差的L"性能．文獻(xiàn)［2］針對(duì)帶有傳統(tǒng)的PI模型的滯環(huán)非線性系統(tǒng)，采用反推與變結(jié)構(gòu)相結(jié)合的自適應(yīng)控制方法．針對(duì)同時(shí)含有滯環(huán)和時(shí)滯的非線性系統(tǒng)，文獻(xiàn)［3］應(yīng)用變結(jié)構(gòu)的自適應(yīng)控制方法補(bǔ)償了系統(tǒng)中的磁滯影響，與此同時(shí)，建立Lyapunov－Krasovskii泛函進(jìn)行穩(wěn)定性分析．在眾多的自適應(yīng)控制方法中，動(dòng)態(tài)面的控制方法在干擾不確定的非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)中優(yōu)勢(shì)明顯，另外隨著智能算法的研究的深入，將動(dòng)態(tài)面的控制方法與智能算法相結(jié)合可以擴(kuò)大其應(yīng)用范圍．但是采用動(dòng)態(tài)面算法來補(bǔ)償滯環(huán)帶來的影響研究的并不多，針對(duì)同時(shí)具有滯環(huán)和時(shí)滯的非線性系統(tǒng)的研究更是少之又少．本文針對(duì)狀態(tài)變量全部可測(cè)的一類滯環(huán)非線性時(shí)滯系統(tǒng)首先建立帶有PI滯環(huán)模型的非線性系統(tǒng)的前期狀態(tài)方程;其次，設(shè)計(jì)基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)的動(dòng)態(tài)面控制方法，繼而，進(jìn)行穩(wěn)定性分析;最后，通過對(duì)二階非線性系統(tǒng)的仿真，證明了方案的可行性．

1 控制系統(tǒng)描述

1．1 系統(tǒng)模型

考慮如下非線性系統(tǒng):

其中:∈ Ri是狀態(tài)變量且狀態(tài)信息已知;是未知光滑函數(shù);fi(·)是未知光滑時(shí)滯函數(shù);是時(shí)滯狀態(tài)變量，其中 τi是未知時(shí)滯常數(shù);di(t)表示未知干擾項(xiàng);y∈R是輸出量;ω∈R表示滯環(huán)模型輸出，可以表示成ω(t)=∏(u(t))，u為滯環(huán)輸入．

1．2 滯環(huán)模型

本文中選用的描述滯環(huán)現(xiàn)象的模型為PI模型［4］，它常常用于控制器的設(shè)計(jì)．其數(shù)學(xué)定義為:

其中:λ是一個(gè)未知正常數(shù)，它的取值與密度函數(shù)有關(guān);Fr是Stop算子，p(r)≥0且是Stop算子的密度函數(shù)，通常由實(shí)驗(yàn)得到．

2 相關(guān)假設(shè)及引理

假設(shè)3 τi，i=1，…，n屬于一個(gè)已知的緊集［0，τM］．τM＞ 0是一個(gè)已知常數(shù)，表示 τi的上確界．

假設(shè)4輸出軌跡yr光滑且yr(0)待設(shè)計(jì)，當(dāng)t≥0時(shí)，屬于一個(gè)已知緊集．

其中:dimax表示正常數(shù)．

引理1［5］設(shè)f(ξ)是一個(gè)在緊集Ωξ∈Rn上的光滑函數(shù)，當(dāng)τ∈［0，τM］為一個(gè)緊集時(shí)，通過ξ=(ξ(t)，ξ(t－ τ)) 的選取，使得ξ=(ξ(t)，ξ(t－ τ)) 一致連續(xù)．那么，對(duì)于任意給定的δ0＞ 0，存在［0，τM］上的有限劃分0≤t1＜t2＜…tm＜τM，對(duì)于點(diǎn)τ－∈{t1，…，tm}，滿足

假設(shè)1 存在已知常數(shù)pmax使得p(r)＜pmax，保證滯環(huán)模型有界．

假設(shè)2 對(duì)于干擾項(xiàng)di(t)，i=1，…，n滿足

注1 假設(shè)1～假設(shè)3來自文獻(xiàn)［6］，對(duì)于含有不確定項(xiàng)的非線性系統(tǒng)的控制器設(shè)計(jì)，需將未知項(xiàng)用已知的連續(xù)函數(shù)來界定．

注2 假設(shè)4來自文獻(xiàn)［7］，為動(dòng)態(tài)面設(shè)計(jì)方法中必需假設(shè)．

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)動(dòng)態(tài)面控制方法設(shè)計(jì)

下面將應(yīng)用動(dòng)態(tài)面的控制算法設(shè)計(jì)控制律，設(shè)計(jì)過程共分為n步，實(shí)際的控制律將在最后一步給出．將PI模型代入到系統(tǒng)模型中有

記β=λgn(xn)．在上述模型中，gi(·)，i=1，…，n－1是已知的;另外，假設(shè)存在著常數(shù)gmin，gmax，βmin和βmax，使和β滿足條件

第1步:定義第1個(gè)誤差面

其中:yr是待設(shè)計(jì)的跟蹤輸出軌跡．考慮如下的二次型函數(shù)

根據(jù)引理 1，存在點(diǎn) τi/i，…，τn/n，∈ {t1，…，tm}，其中 t1，…，tm滿足 0 ≤ t1＜ t2＜ …tm＜ τM有

其中:是一個(gè)給定的正常量．結(jié)合下列不等式

并對(duì)式(7)求導(dǎo)，有

用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)估計(jì)未知項(xiàng)，有

其中:

假定神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的估計(jì)誤差

設(shè)計(jì)虛擬控制律:

令x2d經(jīng)過一個(gè)一階低通濾波器，有

其中:ζ2是濾波器的時(shí)間常數(shù)．

第i(2≤i≤n－1)步:與第1步方法類似，定義第i個(gè)面的誤差

考慮如下的二次型函數(shù)

求其導(dǎo)數(shù)，有

設(shè)計(jì)虛擬控制律:

令xi+1d經(jīng)過一個(gè)一階低通濾波器得到zi+1，有

其中:ζi+1是濾波器的時(shí)間常數(shù)．

第n步:定義第n個(gè)面的誤差

考慮如下二次型函數(shù):

其中:γθn和 γpr是待設(shè)計(jì)參數(shù)．記的估計(jì)值．

求其導(dǎo)數(shù)，有

設(shè)計(jì)控制律如下:

調(diào)參律如下:

其中:pλmax=Pmax/λ，γθ，ηθ，γpr，ηpr為待設(shè)計(jì)參數(shù)．

4 穩(wěn)定性分析

由于采用了動(dòng)態(tài)面的控制算法，大大簡(jiǎn)化了控制律的設(shè)計(jì)過程，但是由于引入新的低通濾波器誤差項(xiàng)，增加了穩(wěn)定性分析的難度．

定義通過一階低通濾波器的誤差y2和yi+1，i=2，…，n－1如下:

分別求y2和yi+1對(duì)于時(shí)間的微分，有

其中:ζi+1，i=1，…，n－1為低通濾波器的時(shí)間常數(shù)．對(duì)于任意的i=1，…，n－1，Bi+1為一個(gè)連續(xù)函數(shù)．

定義關(guān)于控制器設(shè)計(jì)每一步的面誤差、濾波器誤差的Lyapunov函數(shù):

其中:yi+1為濾波器誤差．

求式(34)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可以得到

根據(jù)調(diào)參律式(27)可以得到

根據(jù)調(diào)參律式(28)可以得到

則

定義如下的緊集

由緊集的性質(zhì)可知Ω1×Ω2也是緊集，Bi+1在Ω1×Ω2上存在量大值，記為Mi+1，i=1，2，…，n+1．

則如下不等式成立

其中:μ為任意正常數(shù)．

則可以得到

令

其中:m為待設(shè)計(jì)常數(shù)，且滿足

將公式(43)～公式(45)代入公式(42)，可以得到

解式(46)的微分不等式可以得到

因此，當(dāng)t→"時(shí)，有

由上述證明過程可知，當(dāng)V=p時(shí)，V·≤0，即V(t)≤p是一個(gè)不變集，對(duì)于任意的t≥0，V(t)≤p成立．當(dāng)t→"時(shí)，V一致有界．這樣，閉環(huán)系統(tǒng)內(nèi)的所有信號(hào)一致有界．由于m的值可以任意大，因此系統(tǒng)的跟蹤誤差可以任意?。?/p>

5 算例仿真

針對(duì)如下二階非線性系統(tǒng):

控制的目標(biāo)是使經(jīng)控制器的系統(tǒng)輸出x1跟蹤期望輸出yr，其中yr=sin(2．5x)．在上述系統(tǒng)中g(shù)1(x1)=2，g2(x2)=2，d1=0．1sin(t) 且d2=0．1cos(t)3x1x2(τ2(t))，滯環(huán)模型中的參數(shù)為 p(r)=0．5e－0．00105r2，時(shí)延項(xiàng) τ1(t)=t－ 1，τ2(t)=t－ 0．5．仿真中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入向量 ξ1=(x1，S1) ∈ Ωξ，ξ2=(x1，x2，S2) ∈ Ωξ; 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高斯基函數(shù)為 ψ(ξi)=基函數(shù)ψ(ξ1) 和基函數(shù)ψ(ξ2) 分別選擇81個(gè)和161個(gè)中心點(diǎn)，ζj均勻分布在［－ 4，4］×［－ 4，4］×［－ 4，4］上，基寬ηj=1;各個(gè)參數(shù)的選取為α1=α2=3，k1=8，k2=2，γθ=2，ηθ=0．5，γpr=3 仿真初始狀態(tài)選為 x1(0)=－ 0．1，x2(0)=0．1．

圖1顯示了系統(tǒng)輸出x1對(duì)于期望輸出yr的跟蹤情況，其中，黑色實(shí)線表示系統(tǒng)期望輸出yr=sin(2．5t);紅色虛線表示系統(tǒng)的輸出．從圖1可以清楚的看到，隨著時(shí)間的遞增，所設(shè)計(jì)的控制器可以使系統(tǒng)輸出x1對(duì)期望輸出yr具有良好的跟蹤效果．圖2顯示了跟蹤誤差的變化情況，從圖2中可以看出，本控制方案保證了跟蹤誤差收斂在某一鄰域內(nèi)，這符合動(dòng)態(tài)面方法將跟蹤誤差收斂的某一個(gè)小鄰域內(nèi)的特點(diǎn)．圖3和圖4為RBF權(quán)值向量估計(jì)值．

圖1 系統(tǒng)輸出x1與期望輸出yr

圖2 跟蹤誤差/第1個(gè)面誤差

圖3 RBF權(quán)值向量估計(jì)

圖4 RBF權(quán)值向量估計(jì)

6 結(jié)束語

本文以狀態(tài)變量全部可測(cè)的一類滯環(huán)非線性時(shí)滯系統(tǒng)為研究對(duì)象，提出了一種基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)面自適應(yīng)控制方法．本方案將PI滯環(huán)模型代入到控制對(duì)象中，采用RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法估計(jì)了未知時(shí)滯函數(shù)，避免了復(fù)雜的Krasovskii函數(shù)的建立，實(shí)現(xiàn)了在時(shí)滯未知情況下控制器的設(shè)計(jì);動(dòng)態(tài)面方法的使用大大簡(jiǎn)化了控制器的設(shè)計(jì)過程;穩(wěn)定性分析表明了該方案可以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定．仿真結(jié)果證明了此控制方法的有效性．

［1］ Zhang X，Lin Y，Mao J．A Robust Adaptive Dynamic Surface Control for a Class of Nonlinear Systems with Unknown Prandtl－Ishilinskii Hysteresis［J］．International Journal of Robust and Nonlinear Control，2011，21(13):1541－1561．

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