對(duì)一道書(shū)本習(xí)題改編的思考

浙江省杭州市淳安縣大墅鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué) 占憲輝

一、問(wèn)題的提出

要深化落實(shí)新課程的標(biāo)準(zhǔn)，作為新時(shí)期的教師要學(xué)會(huì)利用好教材的資源，理解其本質(zhì)，并對(duì)資源進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木?，以凸顯其數(shù)學(xué)本質(zhì)。

初中數(shù)學(xué)中，研究線段之間的數(shù)量關(guān)系往往要借助全等三角形或相似三角形來(lái)進(jìn)行，而全等三角形的構(gòu)建往往是借助圖形的變換而得來(lái)，其中包括旋轉(zhuǎn)變換、平移變換、軸對(duì)稱(chēng)變換等等，本文就借教材中的一道習(xí)題通過(guò)適當(dāng)?shù)母木?，凸顯旋轉(zhuǎn)變換在探究線段之間的關(guān)系，圖形之間關(guān)系中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

【原題呈現(xiàn)】

如圖,E是正方形ABCD的AD

邊上一點(diǎn),延長(zhǎng)BA至點(diǎn)F,使BF＝DE,連結(jié)CE,CF.能通過(guò)旋轉(zhuǎn)△DEC得到△FBC嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由.

解答：能.理由:由已知,BC=CD, BF＝DE,∴Rt△FBC≌Rt△EDC.∴∠DCE=∠BCF.∴∠FCE=∠DCB,CF=CE.所以把△DEC繞點(diǎn)C按順時(shí)方向旋轉(zhuǎn)90°時(shí),CE與CF重合,DC與BC重合,也就是得△FBC.

通過(guò)解答讓學(xué)生明確三角形旋轉(zhuǎn)變換的條件：一是有旋轉(zhuǎn)中心，二是各部分按同一方向轉(zhuǎn)動(dòng)同一角度。但是如果這道題目就到這里為止,顯然沒(méi)有發(fā)揮出它應(yīng)有的價(jià)值,特別是發(fā)揮旋轉(zhuǎn)變換在解決三角形和四邊形中線段之間關(guān)系中的作用,筆者根據(jù)有關(guān)習(xí)題改編的方法,通過(guò)通過(guò)將條件和結(jié)論互換、增加條件、減少條件、改變圖形等一系列改編,進(jìn)行橫向的拓展和縱向延伸.

二、對(duì)該題的改編

（一）結(jié)論和條件互換——用好旋轉(zhuǎn)三角形的性質(zhì)

【改編1】

如圖1，將Rt△DEC旋轉(zhuǎn)繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90度，得到Rt△FBC，延長(zhǎng)DE和FB交于點(diǎn)A，你能發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD是什么特殊的四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

解題分析：在圖形沒(méi)有改變的條件下，顯然學(xué)生能夠猜想到這是一個(gè)正方形，而且根據(jù)正方形的判定方法，顯然只要先證明它是矩形再根據(jù)鄰邊相等，就可以得出。而這些結(jié)論的得出都需要利用好旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì).（具體證明過(guò)程略）

（二）增加條件——抓準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)的三角形

【改編2】

如圖2，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，G分別在邊DA、BA上，且∠ECG=45°.

(1)將△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBF，試分析BG與DE的和與EG有什么數(shù)量關(guān)系？

(2)如圖3，若點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，G在BA的延長(zhǎng)線上，∠ECG=45°，則BG、DE、EG三條線段還有原先的數(shù)量關(guān)系嗎？如果有加以說(shuō)明，如果沒(méi)有，請(qǐng)寫(xiě)出新的數(shù)量關(guān)系.

解題分析：第（1）小題由∠E C G=45°可知△FCG≌△ECG,從而得到EG=FG，而FG=BG+BF=BG+ED,因此BG+ED=EG .

第（2）小題，只是點(diǎn)E的位置改變到AD的延長(zhǎng)線上，仍可以將△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBF，由∠ECG=45°可知△FCG≌△ECG,仍可得到EG=FG，而此時(shí)FG=BG－BF=BG－ED，即EG= BG－ED.

（三）減少條件——構(gòu)造旋轉(zhuǎn)三角形

若將圖1中的正方形部分隱藏掉.將原來(lái)的三角形的旋轉(zhuǎn)變成了一條線段的旋轉(zhuǎn)，這樣雖然從圖形上看是簡(jiǎn)單了，但對(duì)于線段之間數(shù)量關(guān)系的發(fā)現(xiàn)卻增加了很大的難度，因此在解題中可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)將原圖形補(bǔ)全來(lái)解.

【改編3】

如圖6，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC+CD＝10，∠A＝∠C= 90°，求四邊形ABCD的面積.

【改編4】

如圖7，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB＝AD，AC＝1，∠ACD＝60°，求四邊形ABCD的面積.

解題分析：引申3可以過(guò)點(diǎn)A作BC及CD所在的直線的垂線，垂足為E、F（如圖8），由AB＝AD，∠A＝∠C= 90°可以證明△ABE≌△ADF，因此四邊形的面積轉(zhuǎn)化為正方形AECF的面積，再根據(jù)BC+CD＝10，可得正方形的邊長(zhǎng)為5，面積為25.

引申4可以延長(zhǎng)CD至B′使得DB′=BC連結(jié)AB′（如圖9），顯然△ABC≌△ADB,所以AC=AB′，由∠ACD＝60°可得△A B′C為等邊三角形，從而把四邊形ABCD的面積轉(zhuǎn)化為△A B′C的面積，由AC＝1，可以求出△A B′C的面積為

（四）改變圖形——重構(gòu)旋轉(zhuǎn)三角形

通過(guò)改編5已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)不一定要在正方形中進(jìn)行，正三角形中也經(jīng)?？梢越柚D(zhuǎn)來(lái)解決，進(jìn)一步可以探究出只要符合一定的條件均可以借助旋轉(zhuǎn)來(lái)分析線段之間的數(shù)量及位置關(guān)系。

【改編5】

如圖10，四邊形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，△ABC是正三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，求CD的長(zhǎng).

解法分析：此題的解法較多，但不管什么辦法都是借助三角形的旋轉(zhuǎn)將兩條已知線段和所要求的線段長(zhǎng)放在一個(gè)直角三角形中利用勾股定理來(lái)進(jìn)行計(jì)算，求得CD=4.現(xiàn)將幾種利用旋轉(zhuǎn)的解法圖形呈現(xiàn)如下（具體解題過(guò)程略）：

數(shù)學(xué)教育家弗賴(lài)登塔爾說(shuō)過(guò)：“反思是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的核心動(dòng)力，沒(méi)有反思，學(xué)生的理解就不可能從一個(gè)水平升華到更高的水平”反思可以深化對(duì)問(wèn)題的理解，優(yōu)化思維過(guò)程，揭示問(wèn)題的本質(zhì)、溝通知識(shí)間的聯(lián)系、促進(jìn)知識(shí)的同化和遷移、進(jìn)而產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)，是提高學(xué)生解題能力的重要途徑。