基于AM-LFM與BOMP的ISAR成像算法*

盧丁丁 ，張智軍 ，楊博楠 ，馬 贏 ，2，肖冰松

（1.空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，西安 710038；2.解放軍95662部隊(duì)，拉薩 850000）

0 引言

逆合成孔徑雷達(dá)（Inverse Synthetic Aperture Radar，ISAR）微動(dòng)目標(biāo)成像具有成像時(shí)間內(nèi)目標(biāo)姿態(tài)不斷變化的特點(diǎn)，姿態(tài)不斷運(yùn)動(dòng)引起微動(dòng)目標(biāo)的多普勒頻率和成像平面的不斷變化［1-4］，會(huì)對(duì)微動(dòng)目標(biāo)的成像造成散焦，使得傳統(tǒng)成像方法難以獲得目標(biāo)清晰像。微多普勒信號(hào)的頻譜將隨時(shí)間在一個(gè)較大范圍內(nèi)變化，因而目標(biāo)的微多普勒效應(yīng)可能會(huì)遮擋目標(biāo)的大部分主體部分的圖像，即在成像過(guò)程中會(huì)污染目標(biāo)主體部分的成像，使得目標(biāo)難以被識(shí)別出來(lái)［5-6］。針對(duì)含微動(dòng)目標(biāo)的稀疏孔徑ISAR成像問(wèn)題，文獻(xiàn)［7］提出了一種基于 Chirplet［8］變換和 CS重構(gòu)的含旋轉(zhuǎn)部件目標(biāo)稀疏孔徑ISAR成像算法（以下簡(jiǎn)稱Chirplet-CS算法）。該算法在Chirplet基下，將目標(biāo)回波信號(hào)展開(kāi)為函數(shù)加權(quán)的形式，通過(guò)微動(dòng)目標(biāo)回波中主體部分和旋轉(zhuǎn)微動(dòng)部分在Chirplet基下的差異性，將分別分離出目標(biāo)主體部分的信號(hào)和微動(dòng)部分的信號(hào)，再引入CS理論，利用微動(dòng)目標(biāo)的方位向回波在頻域具有的稀疏性進(jìn)行目標(biāo)主體部分的稀疏成像。

基于Chirplet分解和CS微動(dòng)目標(biāo)稀疏孔徑成像算法，對(duì)含微動(dòng)運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)進(jìn)行ISAR成像取得了較好的成像效果。但該算法存在兩個(gè)方面的不足，一是算法使用的Chirplet函數(shù)分解，Chirplet分解存在運(yùn)算量大的缺點(diǎn)；二是在缺少先驗(yàn)信號(hào)稀疏度信息的條件下，為不丟失信號(hào)，正交匹配追蹤［9-12］（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）重構(gòu)算法需要預(yù)設(shè)一個(gè)比稀疏度真值大得多的算法支撐集，這會(huì)導(dǎo)致算法重構(gòu)結(jié)果的稀疏度高于真實(shí)值，加劇了算法的計(jì)算量，并且會(huì)分散真實(shí)信號(hào)能量，使得重構(gòu)精度與魯棒性變差。針對(duì)算法存在的不足，提出基于調(diào)幅-線性調(diào)頻（Amplitude Modulation-Linear Frequency Modulation，AM-LFM）分解和貝葉斯正交匹配追蹤（Bayesian Orthogonal Matching Pursuit，BOMP）的改進(jìn)微動(dòng)目標(biāo)成像算法。

本文圍繞稀疏采樣下的微動(dòng)目標(biāo)聚焦成像問(wèn)題展開(kāi)研究，引入CS技術(shù)用于處理所引起的成像困難。針對(duì)基于Chirplet分解和CS的微動(dòng)目標(biāo)稀疏孔徑成像算法存在計(jì)算量大和重構(gòu)精度、魯棒性差的缺點(diǎn)，引入AM-LFM分解與BOMP重構(gòu)方法，提出改進(jìn)成像算法。最后對(duì)比兩種仿真算法，證明了改進(jìn)算法的有效性。

1 調(diào)幅-線性調(diào)頻分解與分離

文獻(xiàn)［13］提出，一系列的調(diào)幅-線性調(diào)頻（AMLFM）可以擬合成目標(biāo)多普勒信號(hào)，如圖1所示。

圖1 目標(biāo)多普勒信號(hào)擬合圖

在傳統(tǒng)的目標(biāo)ISAR成像中，含微動(dòng)部件的目標(biāo)雷達(dá)回波可以分解成：

其中，ai為起始調(diào)節(jié)頻率，βi為調(diào)節(jié)頻率，ρi（t）稱為調(diào)幅函數(shù)。文獻(xiàn)［11］提出，雷達(dá)對(duì)目標(biāo)主體的回波可以近似為βi≈0，而微動(dòng)結(jié)構(gòu)的回波則為βi≠0。因此，能夠根據(jù)各信號(hào)分量調(diào)頻率的值，采用基于CLEAN的思想對(duì)經(jīng)過(guò)AM-LFM分解后的表示目標(biāo)散射點(diǎn)信號(hào)的原子集進(jìn)行分離，從而實(shí)現(xiàn)微動(dòng)目標(biāo)主體回波信號(hào)和微動(dòng)結(jié)構(gòu)回波信號(hào)的分離。目標(biāo)信號(hào)AM-LFM分解與分離的流程如圖2所示。

圖2 目標(biāo)信號(hào)AM-LFM分解與分離流程圖

2 貝葉斯正交匹配追蹤（BOMP）算法

BOMP算法是在OMP算法重構(gòu)輸出支撐集的基礎(chǔ)上，將其留作候選集，并使用Bayesian檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃Y選該集中的原子，以剔除掉其中的冗余原子部分，再基于迭代篩選后保留下來(lái)的原子集作為新支撐集進(jìn)行重構(gòu)。該算法可有效減少計(jì)算量，增強(qiáng)重構(gòu)精度和抗噪性［14-16］。

在CS理論中，對(duì)信號(hào)，存在稀疏變換基，使信號(hào)x滿足稀疏性，可通過(guò)測(cè)量矩陣得到信號(hào)的量測(cè)值（考慮信號(hào)在噪聲條件下）為：

當(dāng)Θ滿足RIP時(shí)，求解：

可將信號(hào)x從降維觀測(cè)y恢復(fù)出來(lái)。

在式（2）中，假定噪聲向量e滿足高斯分布（I表示單位矩陣），可用貝努利高斯模型［17］分析信號(hào)α，若信號(hào)中的元素αi為零的概率為p，則不為零的概率為1-p，且該元素不為零時(shí)其幅值滿足高斯分布，即。其中qi在αi≠0 時(shí)為 1，其余為 0，記。那么α可以表示為，得到信號(hào)的貝努利高斯模型后采用Bayesian檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)信號(hào)支撐集中的原子進(jìn)行篩選如下：

假設(shè)概率參數(shù)p值已給出，依據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)定信號(hào)粗略估計(jì)的稀疏度為K0（K0僅是初步設(shè)定的冗余值，并不等于信號(hào)的真實(shí)稀疏度）。就可構(gòu)造信號(hào)的Bayesian檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛠?lái)不斷消去粗略估計(jì)稀疏度K0的多余成分。由于，可知q的條件概率密度函數(shù)為：

若將信號(hào)α中的非零元素組建一個(gè)新的向量w，則有，若已知，則w的概率密度函數(shù)可以表示為：

則在已知的條件下，量測(cè)值y的概率密度函數(shù)可表示為：

以上3個(gè)公式即為基于Bayesian模型的參數(shù)估計(jì)表達(dá)式。

根據(jù)Bayesian假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ徒M成似然比函數(shù)篩除掉通過(guò)OMP算法輸出的候選集中的冗余元素，詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程可參閱文獻(xiàn)［18］，依據(jù)該文獻(xiàn)的結(jié)論可得似然比檢驗(yàn)公式為：

其中，

依據(jù)式（10）中的判別準(zhǔn)則，在的條件下，事件 H1（信號(hào) αi≠0）成立，保留候選支撐集中的元素αi并更新支撐集；相反的，在的條件下，事件H0（信號(hào)αi=0）成立，剔除候選支撐集中的元素αi并更新支撐集。這樣對(duì)候選集中的元素進(jìn)行篩選剔除處理后就可估計(jì)出信號(hào)的最終支撐集，最后可采用最小二乘法重構(gòu)出信號(hào)。

綜合上述分析，BOMP算法的具體流程可歸納總結(jié)為：

圖3 BOMP追蹤算法流程圖

3 改進(jìn)微動(dòng)目標(biāo)成像算法流程

基于上述的討論分析，提出基于AM-LFM和BOMP的改進(jìn)微動(dòng)目標(biāo)成像算法，算法流程示意圖如圖4所示。

圖4 基于AM-LFM和BOMP的改進(jìn)算法流程圖

基于AM-LFM和BOMP的改進(jìn)微動(dòng)目標(biāo)成像算法詳細(xì)步驟如下：

步驟1和步驟2：AM-LFM分解與回波分離與剔除。AM-LFM分解與回波分離與剔除具體步驟如圖1，此處不再重復(fù)說(shuō)明。

步驟3：稀疏表示。目標(biāo)方位向回波信號(hào)在頻域滿足稀疏性，因此，可以運(yùn)用CS理論對(duì)微動(dòng)目標(biāo)的主體部分成像。算法中選用逆離散傅立葉變化（IDFT）作為稀疏基構(gòu)建稀疏變化矩陣，對(duì)經(jīng)過(guò)步驟2中分離剔除掉目標(biāo)微動(dòng)部分散射點(diǎn)回波后的距離單元信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，并得到信號(hào)稀疏度。

步驟4：非相關(guān)觀測(cè)。該算法根據(jù)有效子孔徑的稀疏結(jié)構(gòu)構(gòu)建有效測(cè)量矩陣Φ，用于獲得微動(dòng)目標(biāo)的主體部分散射點(diǎn)回波信號(hào)低維的觀測(cè)值，即壓縮測(cè)量數(shù)據(jù)。測(cè)量矩陣Φ可表示為：

式中，是第h段子孔徑回波中第Nh個(gè)脈沖的序號(hào)，M為第h段子孔徑前回波缺失的脈沖總數(shù)。

步驟5：BOMP算法重構(gòu)。信號(hào)經(jīng)過(guò)上述步驟處理后可得到回波信號(hào)稀疏度K、壓縮測(cè)量數(shù)據(jù)y，然后再經(jīng)過(guò)BOMP重構(gòu)算法就可得到稀疏信號(hào)的最終估計(jì)。BOMP重構(gòu)算法在OMP重構(gòu)算法的基礎(chǔ)上將OMP算法中的支撐集留作候選集，利用Bayesian檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃Y選該集中的所有原子以剔除掉其中的冗余部分，再基于篩選后的新支撐集進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)。詳細(xì)實(shí)現(xiàn)流程如下：

1）初始化：剩余信號(hào)為r=y，支撐集，迭代次數(shù)k=1；

2）OMP算法粗重構(gòu)：先對(duì)信號(hào)使用OMP重構(gòu)算法，就可得到初步的支撐集和初步的重構(gòu)回波信號(hào)，用于后續(xù)Bayesian檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮Y選與剔除，詳細(xì)處理過(guò)程可參照OMP算法的具體實(shí)現(xiàn)流程；

3）篩選與剔除：以初步的支撐集作為候選集，將其維度作為‖q‖0的估值，初步的重構(gòu)信號(hào)作為Qr的估值，可計(jì)算出門(mén)限值Thj，然后篩選出候選集中大于門(mén)限的元素并保留作為最終支集；

4）最小二乘法估計(jì)：使用最小二乘法對(duì)信號(hào)估計(jì)取得其最終的估計(jì)值，進(jìn)而獲得目標(biāo)最終成像。

4 實(shí)驗(yàn)仿真及分析

4.1 算法定性對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)

為了便于直觀對(duì)比實(shí)驗(yàn)效果，采用歐洲直升機(jī)公司制造的AS350直升機(jī)模型仿真數(shù)據(jù)對(duì)算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。AS350直升機(jī)的旋翼由3片直徑為10.69 m的旋轉(zhuǎn)葉片組成，轉(zhuǎn)速約為6.6 r/s；尾翼由2片直徑為1.86 m的旋轉(zhuǎn)葉片組成，轉(zhuǎn)速為34.8 r/s；假設(shè)每個(gè)旋轉(zhuǎn)葉片等效于中部和頂端散射點(diǎn)組成的點(diǎn)散射模型，其中雷達(dá)發(fā)射線性調(diào)頻（LFM）信號(hào)，脈寬為 Tp=1 μs，信號(hào)載頻 fc=10 GHz，帶寬B=600 MHz，脈沖重復(fù)頻率PRF=1000 Hz。直升機(jī)散射點(diǎn)模型的運(yùn)動(dòng)參數(shù)與成像雷達(dá)取孔徑稀疏度為50%，在上述條件下進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。這里主要對(duì)比Chirplet-CS算法與改進(jìn)CS（基于AM-LFM和BOMP改進(jìn)）微動(dòng)目標(biāo)成像算法以及傳統(tǒng)傅里葉ISAR成像效果獲得的目標(biāo)ISAR像效果圖，如下頁(yè)圖5所示。

對(duì)比改進(jìn)CS算法得到的ISAR像（圖5（c））、Chirplet-CS算法得到的ISAR像（圖5（b））的成像與傳統(tǒng)傅里葉ISAR算法得到的圖像（圖5（a））。由圖5的結(jié)果可知：傳統(tǒng)傅里葉ISAR算法圖像中微動(dòng)部分的回波信號(hào)與其主體部分回波信號(hào)重疊，嚴(yán)重干擾了直升機(jī)主體回波信號(hào)，獲得的目標(biāo)直升機(jī)ISAR圖像聚焦性較差，難以從圖像中識(shí)別和分辨出目標(biāo)；而稀疏條件下基于CS的兩種方法則可重構(gòu)出目標(biāo)較好的成像，將圖5（b）和圖5（c）加以對(duì)比可知改進(jìn)CS算法得到的目標(biāo)像（圖5（c））在細(xì)節(jié)處成像效果要好于Chirplet-CS算法得到的成像（圖5（b）），實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合理論分析中的結(jié)論（BOMP重構(gòu)精度優(yōu)于OMP重構(gòu)精度）。

圖5（a） 傳統(tǒng)傅里葉ISAR成像效果圖

圖5（b） Chirplet-CS算法得到的ISAR像

圖5（c） 改進(jìn)CS算法得到的ISAR像

4.2 算法定量對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)

為了定量分析提出的改進(jìn)CS算法微動(dòng)目標(biāo)成像的算法性能，仿真從算法的重構(gòu)精度、魯棒性與計(jì)算效率3方面展開(kāi)，對(duì)比分析了改進(jìn)算法與原算法的性能。

仿真1：重構(gòu)精度與魯棒性分析

算法的重構(gòu)性能可以由實(shí)際成像結(jié)果的重構(gòu)誤差與最終估計(jì)矢量a的克拉美羅下界（Cramer-Rao lower bound，CRLB）進(jìn)行對(duì)比分析可得，魯棒性可由不同信噪比條件下算法的重構(gòu)誤差對(duì)比可得，仿真中輸入不同信噪比的信號(hào)，設(shè)定信噪比SNR=0∶2∶12 dB，蒙特卡羅仿真次數(shù)取500次，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6所示。

由圖6分析可知，隨著輸入信噪比值的不斷增大，兩種算法的重構(gòu)誤差均表現(xiàn)出不斷減少的趨勢(shì)，且不斷趨近于理論的CRLB值。輸入信噪比值較低時(shí)，改進(jìn)算法的重構(gòu)誤差低于原算法，更靠近CRLB值，且由圖6可以看出改進(jìn)算法受噪聲的影響小于原算法。因此，改進(jìn)算法在低信噪比的重構(gòu)精度與魯棒性要優(yōu)于原算法。這符合算法的原理分析（因?yàn)樵惴ú捎肙MP重構(gòu)，改進(jìn)算法采用BOMP重構(gòu)）。

仿真2：計(jì)算效率分析

從算法的原理分析可知，改進(jìn)算法與原算法的計(jì)算量差異主要由兩部分組成，一部分是在信號(hào)分解時(shí)產(chǎn)生的，原算法使用Chirplet分解而改進(jìn)算法采用AM-LFM分解，Chirplet分解運(yùn)算量大，因此，可知信號(hào)分解中改進(jìn)算法的計(jì)算量將明顯小于原算法；另一部分計(jì)算量差異是在CS重構(gòu)中產(chǎn)生的，主要來(lái)源是因?yàn)楦倪M(jìn)算法的BOMP重構(gòu)中需要在原算法OMP粗重構(gòu)的基礎(chǔ)上篩選支撐集，此計(jì)算量為部分矩陣的加與乘，可忽略不計(jì)。在缺少先驗(yàn)信號(hào)稀疏度信息的條件下，OMP重構(gòu)算法要預(yù)設(shè)一個(gè)冗余稀疏度支撐集，加劇了算法的計(jì)算量。運(yùn)算時(shí)間如圖7所示。

圖6 重構(gòu)誤差與魯棒性對(duì)比分析仿真結(jié)果圖

圖7 仿真運(yùn)行時(shí)間比較圖

從仿真運(yùn)行時(shí)間對(duì)比中可以看出，改進(jìn)算法的計(jì)算量要明顯少于原算法，仿真驗(yàn)證了BOMP算法具有重構(gòu)速度快的優(yōu)勢(shì)。

5 結(jié)論

本文針對(duì)稀疏采樣下微動(dòng)目標(biāo)的ISAR成像問(wèn)題展開(kāi)研究，針對(duì)基于Chirplet變換和CS技術(shù)的含旋轉(zhuǎn)部件目標(biāo)稀疏孔徑ISAR成像算法存在的運(yùn)算量大、重構(gòu)精度與魯棒性差的缺點(diǎn)，引入了基于AM-LFM分解和BOMP重構(gòu)的算法。這種改進(jìn)CS算法可以有效消除微多普勒效應(yīng)，并生成聚焦良好的主體部分二維像；最后進(jìn)行仿真對(duì)比，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該改進(jìn)CS算法在稀疏采樣條件下的有效性與其成像優(yōu)勢(shì)，結(jié)果表明針對(duì)目標(biāo)成像的改進(jìn)算法在計(jì)算量、重構(gòu)精度、魯棒性優(yōu)于原算法，且其運(yùn)算效率得到明顯提高。

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