帶非光滑核的奇異積分算子交換子的加權有界性估計

吳翠蘭， 王云杰， 束立生

(1.江蘇師范大學 數學與統(tǒng)計學院,江蘇 徐州 221116；2.江蘇師范大學 科文學院,江蘇 徐州 221116；3.安徽師范大學 數學與統(tǒng)計學院,安徽 蕪湖 241003)

1 引言及主要結果

對1

其中f為具有緊支集的連續(xù)函數,且x?suppf。若K(x,y)滿足

及

稱K(x,y)滿足H?rmander條件。

核函數K(x,y)滿足H?rmander條件的奇異積分算子和交換子的有界性得到了廣泛的研究,并取得了許多結果,見文[1]等。1999年,Duong等[2]在核函數滿足更弱的條件下證明了具有非光滑核的奇異積分算子T在Lp(1

Duong和Mcintosh在文[2]中引入了具有非光滑核的奇異積分算子,定義如下:

定義1.1設at(x,y)(t>0)是定義在屬于Rn×Rn上的可測函數,At是以at(x,y)為核函數的算子。如果對任意的f∈Lp(Rn),1p<,

(1)

且對于(x,y)∈Rn×Rn,t>0,有

|at(x,y)|ht(x,y)

(2)

其中g是正的有界遞減函數且滿足

(3)

這里ε>0,稱算子族{At:t>0}為恒等逼近。

若K滿足下列條件:

(i)存在一恒等逼近{Bt:t>0},使得TBt具有相關的核函數kt(x,y),且存在C1,C2>0,使得對所有的y∈Rn,有

(ii)存在一恒等逼近{At:t>0},使得AtT具有相關的核函數Kt(x,y)滿足

|K(x,y)-Kt(x,y)|

在文[2]中,Duong和Mcintosh證明了如果選取合適的恒等逼近,條件(i)和(ii)比添加給Calderón-Zygumd算子一些常見的條件(如H?mander條件)弱。同時,作者還證明了如果算子T滿足(i),則算子T不僅是弱(1)型的,而且還是強(p,p)(1p2)的。此外,若算子T滿足(i)和(ii),則算子T是強(p,p)(1

1985年,Bloom在文[7]中得到經典的奇異積分算子的交換子定理:

定理A設1

2008年,Hu和Gu在文[8]中研究了Calderón-Zygumd奇異積分算子T的加權Lipschtiz估計。

定理B設T是Calderón-Zygumd奇異積分算子,μ∈A1,1/q=1/p-β/n,0<β<1,1

2012年,陳曉莉等在[9]中研究了具有非光滑核的奇異積分算子交換子的加權BMO估計,結論如下:

定理C設算子T是具有非光滑核的奇異積分算子,μ,v∈Ap,1

||[b,T]f||Lp(ν)C||b||*,ω||f||Lp(μ)。

受以上研究的啟發(fā),本文將文獻[2]中結果推廣到加權情形,討論具有非光滑核的奇異積分算子交換子的加權估計。我們的結論是:

定理1.1設算子T是具有非光滑核的奇異積分算子,b∈Lipβ,ν,v∈A1,1/q=1/p-β/n,其中0<β<1,1

2 預備知識

定義2.1極大函數Mf(x),Sharp極大函數M#f(x)分別定義如下:

此外,對δ>0,定義

定義2.2(1)設1

如果存在常數C,使得

Mω(x)Cω(x)a.e.x∈Rn，

則稱ω∈A1.

(2)如果

其中1/p+1/p'=1,則稱ω∈A(p,q)(1

定義2.3設b為Rn上局部可積函數,1p,v∈A(Rn),如果

設f∈Lp(Rn)(10}相關的Sharp極大函數

Martell在文[11]中證明了下面的引理:

引理2.1[11]若f∈Lp(Rn)(1

引理2.2[10](1)若v∈A1,b∈Lipβ,v,x∈B。則

|b2jB-bB|Cjv(x)||b||Lipβ,νv(2jB)β/n。

(2)若v∈A1,b∈Lipβ,ν,則

引理2.3若ν∈A1,則對r>1及任何球B,有

由Ap權的定義及性質即可證明引理2.3.

引理2.4[3,11]設T是具有非光滑核的奇異積分算子,v∈A1,則

||Tf||Lp(v)C||f||Lp(v)。

引理2.5[10]若0<β<1,1r<,ν∈A(p,q),記

||Mβ,ν,r(f)||Lq(ν)C||f||Lp(ν)。

引理2.6設{At:t>0}是恒等逼近,0<β<1,b∈Lipβ,ν,ν∈A1,1

證明設f∈Lp(v)(p>1),對任意的x∈Rn,B是包含x的任意球,則由定義1.1

(4)

首先估計I1。由(2)式及g是正的有界遞減函數,對y∈B,z∈2B,有

htB(y,z)

因此,由引理2.2,引理2.3及H?lder不等式可得

(5)

下面我們估計I2。當y∈B,z∈2j+1B2jB時,有|y-z|≥2j-1rB,且

htB(y,z)

從而

(6)

類似于I1的估計方法,可得

(7)

由(6)-(7)得

由(3)式得

從而

I2C||b||Lipβ,νv(x)Mβ,v,r(f)(x)。

(8)

根據I1和I2的估計

3 定理的證明

為證明定理1.1,先證明下列引理.

引理3.1設算子T是具有非光滑核的奇異積分算子,b∈Lipβ,v,v∈A1,1/q=1/p-β/n,1r0,使得

證明設f∈Lp(v)(p>1),固定x∈Rn及x∈B,令

f(x)=f(x)χ2B(x)+f(x)χ(2B)c(x)=f1(x)+f2(x)。

由于

=AtB((b-bB)Tf)(y)-AtBT((b-bB)f1)(y)-AtBT((b-bB)f2)(y)。

因此

=I+II+III+IV+V。

對于I,取1

對于II,由H?lder不等式及算子T的Lr有界性,有

至于III,由引理2.6得

對于IV,類似于II的估計,易得

綜合I-V的估計,可得

定理1.1的證明由v∈A1知v1-q∈Aq,又1

||[b,T]f||Lq(v1-q)||M([b,T]f)||Lq(v1-q)

定理1.1證畢。

參考文獻:

[2] DUONG X T,MCINTOSH A.Singular integral operators with non-smooth kernels on irregular domains [J].Rev Math Iberoamericana,1999,15(2):233-265.

[3] DENG D G,YAN L X.Commutators of singular integral operators with non-smooth kernels [J].Acta Math Sci,2005,25(1):137-144.

[4] LIU Lanzhe.Boundedness properties for multilinear singular integral operators with non-smooth kernels [J].Acta Math Scientia,2010,30A(1):167-178.

[5] LIAN J L,WU H X.Lipschitz estimates for the commutators of multilinear singular integrals with non-smooth kernels [J].Advances in mathematics,2013,42(6):748-762.

[6] XU J H.Multilinear commutators of singular integral operators with non-smooth kernels [J].Taiwanese Journal of Mathematics,2007,11(2):483-496.

[7] BLOOM S.A commutator theorem and weighted BMO [J].Trans Amer Math Soc,1985(292):103-122.

[8] HU B,GU J J.Necessary and sufficient conditions for boundedness of some commutators weighted Lipschitz functons [J].J Math Anal Appl,2008(340):598-605.

[9] CHEN X L,CHEN J H.Weighted BMO estimates for commutators of singular integrals with non-smooth kernels [J].Acta Math Sinica,2012,55(5):861-868.

[10] GARCIA-CUERVA J,RUBIO DEFRANCIA J L.Weighted norm inequalities and related topics [M].New York:North-Holland Amsterdam,1985.

[11] MARTELL J M.Shap maximal functions associated with approximations of the identity in spaces of homogeneous type and applications [J].Studia Math,2004(161):113-145.