兩類ω－超廣義函數(shù)空間的結(jié)構(gòu)表示

薛 琳

（洛陽師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，洛陽471022）

0 引 言

為了更好地解決微分方程理論中出現(xiàn)的各種問題，Bonet，Meise，Taylor和Vogt等人在20世紀(jì)80 年代借助于權(quán)函數(shù)引入了ω－超可微函數(shù)和ω－超廣義函數(shù)，從而擴(kuò)充了廣義函數(shù)的概念［1－10］，也使得ω－超廣義函數(shù)理論的研究成為一個(gè)持續(xù)的熱點(diǎn)．由于ω－超廣義函數(shù)空間構(gòu)造的復(fù)雜性，使得問題的研究變得十分困難．H?rmander［6］和Bonet，Meise，Taylor［1，3－11］等人注意到：超廣義函數(shù)空間與某些實(shí)解析函數(shù)空間之間可以通過Fourier－Lapalace變換建立起某種拓?fù)渫瑯?gòu)關(guān)系．所以，利用實(shí)解析函數(shù)空間來研究超廣義函數(shù)空間的結(jié)構(gòu)和特性成為一個(gè)有效可行的方法．

在文獻(xiàn)［12］中，利用Fourier－Laplace變換探討 了 四 類 加 權(quán) 的 實(shí) 解 析 空 間A（ω）（CN，Ω），A｛ω｝（CN，Ω）和A｛ω｝（CN，Ω），A｛ω｝（CN，Ω）以 及它們和ω－超可微函數(shù)和ω－超廣義函數(shù)之間的關(guān)系，給出了兩類ω－超可微函數(shù)和ω－超廣義函數(shù)的某種結(jié)構(gòu)表示．本文在更為一般的開集上進(jìn)一步地討論了D′＊（Ω）上的結(jié)構(gòu)表示問題；另一方面，還把文獻(xiàn)［12］定理2．6中｛E′＊（Ω）的結(jié)果從開凸集進(jìn)一步擴(kuò)展到了一般的開集，得到：

定理1 設(shè)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開集，令Λ（ω）＝｛σ∶σ 是權(quán)函數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有φ（0）＝0并且

取

定理2 設(shè)ω 是任意的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開集，令Λ（ω）＝｛σ∶σ 是 權(quán) 函 數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有

稱之為φ 的Young共軛．

定義2 設(shè)K 為RN中的緊集，記hK：RN→稱之為K 的支撐函數(shù)，這里

1 預(yù)備知識(shí)

首先給出文中所用到的基本概念和預(yù)備知識(shí)．其中的記法和符號(hào)可參見文獻(xiàn)［1－6］．

定義1 1）設(shè)ω 是［0，∞）→［0，∞）上連續(xù)，單增的函數(shù)，并且ω｜［0，1］＝0．如果ω 滿足下列條件：

（α）存在L≥1，使對(duì)任取的t≥0，都有ω（2t）≤L（1＋ω（t））；

（δ）φ：［0，∞）→［0，∞），φ（t）＝ω（et）為凸函數(shù)．

則稱ω 為一個(gè)權(quán)函數(shù)．對(duì)z∈CN，記ω（z）＝ω（｜z｜），其中

2）對(duì)于權(quán)函數(shù)ω，如果

利用權(quán)函數(shù)，來構(gòu)造ω－超可微函數(shù)空間和ω－超廣義函數(shù)空間：

定義3 設(shè)ω 為定義1中函數(shù)，滿足條件（α）～（γ），K 為RN中的緊集．

1）對(duì)λ＞0，定義Banach空間

2）利用Dλ（K），定義

其中，拓?fù)浞謩e取為歸納極限拓?fù)浜屯队皹O限拓?fù)洌?/p>

3）對(duì)RN中的開集Ω，定義

則稱ω 是偽解析的．反之，如果積分有限，則稱ω是非偽解析的．

3）設(shè)φ 是［0，∞）→［0，∞）的單增凸函數(shù)，

這里的歸納極限取遍Ω 中所有的緊子集K，D（ω）（Ω）及D｛ω｝（Ω）中的元素分別稱為Beurling型和Roumieu型試驗(yàn)函數(shù)．

定義4 設(shè)ω 為權(quán)函數(shù)，Ω 為RN中的開集，定義

和

注1 設(shè)ω 為定義1中函數(shù)，并滿足條件（α）～（γ），設(shè)Ω 是RN中開集，易知

1）D｛ω｝（Ω）?D｛ω｝（Ω）；當(dāng)σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）時(shí)，D｛ω｝（Ω）?D（σ）（Ω）．

2）E｛ω｝（Ω）?E｛ω｝（Ω）；當(dāng)σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）時(shí)，｛E｛ω｝（Ω）?E（σ）（Ω）．

并且，上面相應(yīng)的包含映射都是連續(xù)的．

如果一 個(gè) 命 題 對(duì) 于E｛ω｝和E（ω）（或 者D｛ω｝和D（ω）都成立時(shí)，為方便計(jì)，用E＊（或者D＊）來代替E｛ω｝和E（ω）（或者D｛ω｝和D（ω））．

定義5 用E′

＊（Ω）和D′＊（Ω）分別表示E＊（Ω）和D＊（Ω）的強(qiáng)對(duì)偶空間，即E＊（Ω）上和D＊（Ω）的線性連續(xù)泛函全體所形成的空間．

定義6 設(shè)ω 是權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開凸集．對(duì)u∈E′

＊（Ω），定義：

稱之為u 的Fourier－Laplace變換．為方便計(jì)，＾u和F（u）都表示u的Fourier－Laplace變換．

定義7 設(shè)Ω 是RN中的開凸集，對(duì)Ω 中的任意緊集K 和非零常數(shù)λ，定義Banach空間

其中H（CN）為CN上的整函數(shù)空間．由此，可以定義下列實(shí)解析函數(shù)空間空間：

注2 由定義易證：

2 主要的結(jié)論和證明

引理1［11］設(shè)ω 是權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開凸集，令Λ（ω）＝｛σ：σ是權(quán)函數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有

引理2［12］設(shè)ω 是權(quán)函數(shù)，ω（t）＝o（t）（t→∞），ω 是RN中的開凸集，則Fourier－Laplace變換

是線性拓?fù)渫瑯?gòu)映射．

引理3［12］設(shè)ω 是權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開凸集，則Fourier－Laplace變換

是線性拓?fù)渫瑯?gòu)映射．

定理3 設(shè)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開集，令Λ（ω）＝｛σ：σ 是權(quán)函數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有

證明 首先，易知當(dāng)σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）時(shí)，有從而下面，來證明相反的包含關(guān)系成立．

對(duì)于開集Ω，取一個(gè)緊集列｛Kn｝，使得

對(duì)于任給的u∈D′｛ω｝（Ω），u 可以表為

那么，由E′｛ω｝（Ω）與A｛ω｝（CN，Ω）線性拓?fù)渫瑯?gòu)（引理3）以及A｛ω｝（CN，Ω）的構(gòu)造即可知，gj＝o（ω）．由此，由文獻(xiàn)［5］命題1．9及注1．8，存在權(quán)函數(shù)δ使對(duì)所有的j有

記Γ 為Ω 的凸殼．那么，由引理3和式（1）可知，uj∈E′（σ）（Γ）．另一方面，由suppuj?Kj＋2＼Kj，可見∑∞j＝1uj在Ω 中是局部有限的．因此，∑∞

j＝1uj在

D′（σ）（Ω）中收斂．所以，u∈D′（σ）（Ω）．故有命題得證．

依照定理3的方法，可以證明同樣的結(jié)論對(duì)于E′｛ω｝（Ω）也成立，即：

推論1 設(shè)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開集，那么

由引理1，2及3，在文獻(xiàn)［12］中得到了下面關(guān)于ω－超廣義函數(shù)空間E′＊（Ω）的一個(gè)結(jié)構(gòu)表示定理：

定理4［12］設(shè)ω 是任意的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開凸集，令Λ（ω）＝｛σ：σ 是權(quán)函數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有

現(xiàn)在，把這一結(jié)果推廣到更為一般的開集中去：為此，先介紹一個(gè)引理：

引理4［9］設(shè)ω 是偽解析的權(quán)函數(shù)，K1，K2是RN中的緊子集．那么，對(duì)任取的supp（u）?K1∪K2，存在u1，u2∈E′｛ω｝（RN），且supp（uj）?Kj（j＝1，2），使得u＝u1＋u2成立．

定理5 設(shè)ω 是任意的權(quán)函數(shù)，Ω 是RN中的開集，令Λ（ω）＝｛σ：σ 是 權(quán) 函 數(shù)，σ（t）＝o（ω（t））（t→∞）｝，則有

證明 對(duì)RN中的開集Ω，當(dāng)ω 是非偽解析的權(quán)函數(shù)時(shí)，推論1已經(jīng)給出結(jié)論：

下面，考慮ω 為偽解析的權(quán)函數(shù)時(shí)的情況．

若Ω 為RN中的開凸集，由定理4已得．

現(xiàn)在設(shè)Ω 為RN中的任意開集．

設(shè)u∈E′｛ω｝（Ω），K＝supp（u）．則K 為RN中的緊集．由有限覆蓋定理，在Ω 中可選取有限多個(gè)開凸集Ωj，使得K?∪Ωj．由引理4，對(duì)每個(gè)j，可取使得

又由定理4，對(duì)每個(gè)j，存在權(quán)函數(shù)σj，使得

現(xiàn)取σ＝max｛σj｝，則對(duì)每個(gè)j有

另一方面

是顯然的．命題得證．

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