非線性動力系統(tǒng)混沌同步動力學(xué)問題

董俊 張爽 張廣軍

摘 要：分岔、混沌等特性是現(xiàn)代非線性科學(xué)研究的重點(diǎn)問題，在自然科學(xué)與工程應(yīng)用中具有普遍的意義。揭示一類非線性動力系統(tǒng)的動力學(xué)行為機(jī)理和規(guī)律具有迫切、重大的需求。近年來在此方面開展了許多相應(yīng)的研究工作，例如生物神經(jīng)元放電節(jié)律、混沌同步、混沌控制等。本文主要闡述近年來對混沌同步方面的研究進(jìn)展，對混沌同步的研究不僅僅是一個應(yīng)用問題，而是從工程應(yīng)用的角度來研究混沌理論及控制問題，研究結(jié)果有利于促進(jìn)人們對混沌同步控制的理解。最后總結(jié)研究進(jìn)展的內(nèi)容并提出對非線性同步動力學(xué)今后研究的展望。

關(guān)鍵詞：非線性系統(tǒng) 分?jǐn)?shù)階 混沌 同步

中圖分類號：O41 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）12（c）-0248-03

Abstract：The bifurcation and chaos etc. phenomena are the key problems of modern nonlinear scientific research， and are of more and more universal significance in natural science and Engineering. It is of exigent and momentous demand in natural science and Engineering to reveal the mechanism of various phenomena and various laws of dynamical behavior of a certain kind of nonlinear dynamical system， though many efforts have been made， for example， the firing rhythm of neuron in neural system and chaos synchronization， etc. This paper mainly focuses on recent advances of chaos synchronization in nonlinear system. The research on chaotic synchronization is not only an application problem， but also the theoretical analysis problem on the chaotic theory and chaotic control from practical application. And the results of research can deepen more the cognition to chaotic control and information processing. Finally， conclusion is drawn and some outlooks of future research are suggested.

Key Words： Nonlinear system；Fractional-order；Chaos；Synchronization

當(dāng)今，非線性動力學(xué)是自然學(xué)科中一門重要的前沿學(xué)科，它是在各門分支學(xué)科的基礎(chǔ)上以非線性為特征逐步發(fā)展起來的綜合性學(xué)科，旨在揭示非線性動力系統(tǒng)的共同性質(zhì)、基本特征和運(yùn)動規(guī)律[1]。隨著近代科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，非線性相關(guān)理論已經(jīng)融入到了數(shù)理科學(xué)、生命科學(xué)、空間科學(xué)等諸多學(xué)科領(lǐng)域，無論是在物理、力學(xué)、化學(xué)領(lǐng)域中，還是在生物和工程等領(lǐng)域中都普遍存在著許多非線性動力系統(tǒng)[2-3]。動力系統(tǒng)總是含有各種各樣的非線性因素，諸如機(jī)械系統(tǒng)中的間隙、干摩擦，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的材料彈塑性、構(gòu)件大變形、流體-結(jié)構(gòu)耦合作用，控制系統(tǒng)中的元器件飽和特性、控制策略非線性等等。通常情況下，將非線性動力方程簡化為線性近似方程去求解。然而，非線性方程在大多數(shù)情形下不存在封閉形式的解析解，且線性化方法有很大的局限性，在許多情況下，不能準(zhǔn)確反映非線性方程的本質(zhì)特性。因此，有待尋求解決非線性力學(xué)問題的有效方法。

自19世紀(jì)末20世紀(jì)初，伴隨著第二次工業(yè)革命前進(jìn)的步伐，非線性動力系統(tǒng)理論研究逐漸興起，Poincaré、Laypunov、Birkhoff、Andronov、Arnold、VK. Melnikov、Smale、Lorenz等一大批數(shù)學(xué)、物理學(xué)方面的科學(xué)家為非線性動力學(xué)理論研究奠定了夯實(shí)基礎(chǔ)。20世紀(jì)60年代以來，隨著計算機(jī)技術(shù)快速發(fā)展，人們對非線性問題進(jìn)行大量的數(shù)值模擬，揭示了非線性動力學(xué)極其豐富的現(xiàn)象。各種現(xiàn)代數(shù)學(xué)、物理等理論的涌現(xiàn)為非線性問題的研究提供了強(qiáng)有力的理論工具。近年來，非線性動力學(xué)從廣度到深度都以空前的速度向前發(fā)展，與其他自然科學(xué)和工程技術(shù)中的非線性問題研究緊密結(jié)合，成為近代科學(xué)技術(shù)中重要的前沿領(lǐng)域[4-6]。其中，分岔、混沌、分形和孤立子是非線性動力系統(tǒng)運(yùn)動普遍現(xiàn)象，內(nèi)在規(guī)律極其豐富而復(fù)雜，需不斷深化完善，是當(dāng)前非線性科學(xué)研究的重要課題。

1 混沌研究現(xiàn)狀

法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家Poincaré在研究天體力學(xué)中的三體運(yùn)動問題時，發(fā)現(xiàn)存在混沌現(xiàn)象。他發(fā)現(xiàn)三體在引力相互作用下能產(chǎn)生復(fù)雜的動力學(xué)特性，可以理解為確定性動力學(xué)方程的某些解具有不可預(yù)見性，也就是我們所說的混沌現(xiàn)象。1963年，Lorenz在《大氣科學(xué)》上發(fā)表了“確定性非周期流”一文[7]，真實(shí)報道了“對初始條件的敏感性”這一混沌的基本性態(tài)，即著名的“蝴蝶效應(yīng)”。1971年，法國Ruelle和荷蘭Takens聯(lián)名發(fā)表了著名論文《論湍流的本質(zhì)》，提出用混沌理論來描述湍流形成機(jī)理的新觀點(diǎn)[8]。1975年，李天巖和Yorke在《美國數(shù)學(xué)》上發(fā)表了“周期三意味著混沌”一文[9]，深刻地揭示了從有序到無序的演化過程。1977年，有關(guān)混沌理論的國際會議第一次在意大利召開，標(biāo)志著混沌學(xué)的誕生。此后，在世界范圍內(nèi)掀起了人們對混沌理論的認(rèn)識和研究熱潮。目前雖然混沌研究非常蓬勃，但其理論還遠(yuǎn)未成熟，其研究主要包括：產(chǎn)生混沌的機(jī)理和途徑；混沌的判據(jù)和統(tǒng)計特征；混沌吸引子的吸引域的幾何結(jié)構(gòu)；混沌的控制與應(yīng)用等等。近年來，混沌控制理論在實(shí)際應(yīng)用中已成為最具有挑戰(zhàn)性的研究課題之一。

2 混沌同步在非線性科學(xué)理論研究概況

非線性動力系統(tǒng)應(yīng)用研究已受到了科學(xué)與工程界越來越多的關(guān)注，例如混沌在生命科學(xué)、保密通信、信號檢測、分析和處理、信息處理等領(lǐng)域的應(yīng)用?；煦缧畔⒃谔幚碇邪缪葜匾慕巧?，而混沌保密通信的關(guān)鍵技術(shù)是混沌同步控制，因此混沌同步控制理論研究具有非常重要的理論意義。

2.1 整數(shù)階系統(tǒng)混沌同步控制

1990年，美國科學(xué)家Ott、Grebogi和Yorke[10]用參數(shù)小擾動法（即OGY法）成功地對混沌進(jìn)行控制。同年，美國海軍實(shí)驗室的研究人員Pecora和Carrol首次在電路上實(shí)現(xiàn)了混沌同步，并成功用于保密通信中[11]，這一開創(chuàng)性工作引起了人們的極大興趣，推動了混沌同步的迅速發(fā)展。隨后相關(guān)學(xué)者從不同的角度實(shí)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的混沌同步，如完全同步、廣義同步、投影同步、反相同步[12-13]等等。例如，2005年，嚴(yán)建平和李常品研究了廣義投影同步[14]，利用主動控制方法，構(gòu)造非線性反饋控制器，分別實(shí)現(xiàn)了Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)的廣義投影同步。2007年，李國輝教授[15]在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，使得驅(qū)動系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的所有對應(yīng)狀態(tài)變量可以按照不同的比例因子投影同步。2011年，阿布都熱合曼·卡的爾[16]等采用全狀態(tài)混合投影自適應(yīng)同步和主動控制同步兩種方法，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)參數(shù)已知時統(tǒng)一超混沌系統(tǒng)投影同步問題；同年，李震波[17]等通過引進(jìn)特殊矩陣并基于Lyapunov穩(wěn)定性理論，提出了一種改進(jìn)的主動控制法來實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)的廣義投影同步，與以往的主動控制相比，簡化了相關(guān)運(yùn)算步驟和復(fù)雜度。之后，李農(nóng)[18]提出一種實(shí)現(xiàn)混沌系統(tǒng)投影同步的統(tǒng)一方法，通過構(gòu)建一個廣義矩陣和一個合適的響應(yīng)系統(tǒng)，建立了混沌投影同步的通用模型，將各種投影同步方法表達(dá)為混沌系統(tǒng)的統(tǒng)一投影同步，該方法具有普適性好、實(shí)用性強(qiáng)等特點(diǎn)。可見，對此類混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理及其應(yīng)用前景的研究，將成為混沌系統(tǒng)同步研究的一個嶄新分支。

2.2 分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)混沌同步控制

在整數(shù)階混沌系統(tǒng)發(fā)展的基礎(chǔ)上，人們通過大量研究發(fā)現(xiàn)：整數(shù)階微積分是分?jǐn)?shù)階微積分的特例，整數(shù)階混沌系統(tǒng)都是對實(shí)際混沌系統(tǒng)的理想化處理[19-25]。若將分?jǐn)?shù)階微分算子引入到混沌系統(tǒng)中，則分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)仍然能產(chǎn)生復(fù)雜的動力學(xué)行為，具有非常強(qiáng)的隨機(jī)性和不可預(yù)測性。例如，當(dāng)階次為2.7時，分?jǐn)?shù)階Chua電路仍可以產(chǎn)生混沌吸引子[21]；當(dāng)階次低于2時，非自治的Duffing系統(tǒng)仍然可以表現(xiàn)出混沌行為[22]。此外分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)[23]、分?jǐn)?shù)階Chen系統(tǒng)[24]、分?jǐn)?shù)階Lü系統(tǒng)[25]等一系列分?jǐn)?shù)階動力系統(tǒng)相繼被人們發(fā)現(xiàn)和研究。隨著分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步控制在工程實(shí)踐中的應(yīng)用，人們相繼提出了眾多的分?jǐn)?shù)階混沌同步控制方法。2007年，張成芬[26]研究了分?jǐn)?shù)階Liu混沌系統(tǒng)和統(tǒng)一混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為，利用主動控制方法實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階Liu系統(tǒng)與分?jǐn)?shù)階Lorenz系統(tǒng)及分?jǐn)?shù)階Lü系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步；2010年，周平[27]基于追蹤控制的思想，利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論，實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)與整數(shù)階混沌系統(tǒng)之間的混沌同步，給出了補(bǔ)償器和反饋控制器的選擇方法。2011年，孫寧[28]通過設(shè)計新型滑?？刂破?，應(yīng)用主動控制原理和滑模控制原理，實(shí)現(xiàn)了新的分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的投影同步，該方法將分?jǐn)?shù)階混沌同步擴(kuò)展到超混沌系統(tǒng)；胡建兵[29]在此基礎(chǔ)上又提出了階次不等的分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)同步問題，提出了一種將不等階分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的同步問題轉(zhuǎn)化為等階的異結(jié)構(gòu)同步問題，該性質(zhì)對混沌保密通信具有一定的理論意義。在此基礎(chǔ)上，有學(xué)者進(jìn)一步研究了參數(shù)均未知時的自適應(yīng)同步及參數(shù)辨識問題，從而很好地解決了參數(shù)攝動問題，具有良好的魯棒性能。董俊等人[30]利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和自適應(yīng)控制方法，構(gòu)造出相應(yīng)的非線性控制器和未知參數(shù)的辨識規(guī)則，實(shí)現(xiàn)了參數(shù)不確定的三維分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)與四維分?jǐn)?shù)階超混沌系統(tǒng)之間的函數(shù)投影同步及參數(shù)辨識。

從上述報道中我們看到，混沌同步控制歷經(jīng)十多年的研究，國內(nèi)外學(xué)者雖然已經(jīng)提出了很多混沌同步的理論方法，并已成功地應(yīng)用工程實(shí)踐。但是由于非線性理論的復(fù)雜性及不確定性，而且該領(lǐng)域的研究還在快速發(fā)展之中，很多問題仍有待于進(jìn)一步探討；而且國際上對分?jǐn)?shù)階動力系統(tǒng)的研究仍然處于起步階段。

3 結(jié)語

當(dāng)今處于“互聯(lián)網(wǎng)+信息”時代，非線性動力系統(tǒng)混沌同步控制應(yīng)用于保密通信中，必將在信息安全和通信對抗中扮演重要的角色。本文介紹了我們近年來對混沌同步控制方面的研究進(jìn)展。首先，介紹了整數(shù)階系統(tǒng)的同步控制問題，給出了適當(dāng)?shù)目刂品椒āＨ缓?，介紹了將整數(shù)階混沌同步推廣至分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，針對一類分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)的同步問題進(jìn)行了相關(guān)的研究。作者進(jìn)一步研究了參數(shù)均未知時分?jǐn)?shù)階異結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)函數(shù)投影同步及參數(shù)辨識問題，該方法為多種整數(shù)階混沌同步方法應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階混沌系統(tǒng)奠定了理論基礎(chǔ)，很好地解決了參數(shù)攝動問題，具有良好的魯棒性能。我們期待這些研究能夠?qū)ΜF(xiàn)實(shí)混沌保密通信方案的應(yīng)用提供理論指導(dǎo)。

由于非線性動力系統(tǒng)呈現(xiàn)非常復(fù)雜的動力學(xué)特性，探索復(fù)雜非線性動力系統(tǒng)混沌同步控制的物理機(jī)制仍然比較欠缺。大多數(shù)學(xué)者們已意識到，非線性動力系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階微積分理論與經(jīng)典的整數(shù)階微積分理論相比理論更復(fù)雜，非線性動力學(xué)的重要定理和方法還沒有推廣到分?jǐn)?shù)階非線性動力系統(tǒng)中，相關(guān)理論有待于進(jìn)一步研究。目前，在非線性動力系統(tǒng)的混沌同步控制研究中尚存在一些難點(diǎn)，尤其在工程實(shí)際應(yīng)用中，比如噪音在信息傳遞中的處理問題、保密通信中穩(wěn)定性的平衡問題等，需進(jìn)一步通過深入研究來逐步解決這些難點(diǎn)。

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