考慮中間主應力效應的筒倉側壓力計算

孫珊珊，趙均海，張常光

(長安大學 建筑工程學院，陜西 西安 710061)

0引 言

筒倉倉料產(chǎn)生的倉壁側壓力是作用在筒倉結構上的主要荷載，側壓力計算的正確與否是筒倉合理設計的基礎，是確保工程安全和經(jīng)濟性的前提[1-6]。

對于深倉，各國規(guī)范均以Janssen公式為基礎[7]，但所采用的側壓力系數(shù)計算方法有很大不同，常用的側壓力系數(shù)有Rankine主動土壓力系數(shù)、靜止土壓力系數(shù)或修正靜止土壓力系數(shù)，以及考慮倉壁摩擦由平衡條件求得的側壓力系數(shù)等[7]。

對于淺倉，各國規(guī)范對倉壁側壓力的計算方法各有不同，經(jīng)典的淺倉側壓力計算理論主要有[7]Rankine理論、修正Coulomb理論，二者均基于Mohr-Coulomb(M-C)準則，并未考慮中間主應力的影響。Rankine理論建立在無限長擋土墻的基礎上，不考慮淺倉的邊界條件，并且忽略了倉料與倉壁間的摩擦力；修正Coulomb理論考慮了倉料與倉壁的摩擦力及倉料內(nèi)所形成的楔體，且假定滑動面是平面。二者計算的側壓力均與倉料頂面或倉料錐體重心到計算截面的距離呈線性增大關系，差異在于側壓力系數(shù)的不同，Rankine理論中側壓力系數(shù)為主動土壓力系數(shù)，而修正Coulomb理論采用的側壓力系數(shù)與倉料內(nèi)摩擦角以及倉壁外摩擦角相關。

實際上，筒倉內(nèi)的倉料處于三向不等應力作用的平面應變狀態(tài)，倉料強度受中間主應力的影響顯著，不考慮中間主應力影響的M-C準側不能真實反映倉料的強度潛能，得到的倉壁側壓力偏于保守，選擇一個合理又恰當?shù)恼嫒S強度準則，例如Drucker-Prager(D-P)準則、Matsuoka-Nakai(M-N)準則、Lade-Duncan(L-D)準則和統(tǒng)一強度理論(UST)，不僅可以提高工程的質量和耐久性，而且還能帶來巨大的經(jīng)濟效益和社會效益。

因此，本文基于D-P準則、M-N準則、L-D準則以及UST理論，分別推導了平面應變狀態(tài)下4種考慮中間主應力影響的側壓力系數(shù)表達式，并給出了相應的適用條件，進而將其應用于深倉和淺倉的側壓力計算，并與試驗數(shù)據(jù)和多國規(guī)范值進行了比較和驗證，所得結果可為筒倉優(yōu)化設計提供一定的理論指導和建議。

1筒倉側壓力原理及基本假定

1.1筒倉側壓力原理

筒倉側壓力示意如圖1所示。對于深倉，倉壁水平側壓力Ph的計算公式為

Ph=Chγρ(1-e-μks/ρ)/μ

(1)

式中：Ch為修正系數(shù)，與計算高度有關，按照《鋼筋混凝土筒倉設計規(guī)范》[8]取值；γ為倉料重度；ρ為筒倉水平凈截面的水力半徑；μ為倉料與倉壁的摩擦因數(shù)；k為側壓力系數(shù)；s為倉料頂面或倉料錐體重心到計算截面的距離。

對于淺倉，倉壁水平側壓力Ph的計算公式為

Ph=kγs

(2)

當采用Rankine理論時，側壓力系數(shù)k為

(3)

采用修正Coulomb理論時，側壓力系數(shù)k為

(4)

式中：φ為倉料的內(nèi)摩擦角；φ′為倉壁的外摩擦角。

可見，不管是深倉還是淺倉，側壓力計算的關鍵均是側壓力系數(shù)k的合理確定。同時，倉料屬于顆粒狀的巖土類材料，可類比擋土墻問題確定砂性土產(chǎn)生的側向土壓力方法，來求解平面應變狀態(tài)下的側壓力系數(shù)k。

1.2基本假定

(1)將筒倉側壓力計算視為平面應變問題[9-10]，并且中間主應力σ2為大主應力σ1和小主應力σ3的平均值，即

(5)

(2)倉料類比砂性土，其黏聚力c=0。

(3)以壓應力為正，拉應力為負。

2考慮中間主應力影響的側壓力系數(shù)

2.1D-P準則

D-P準則[11-14]屬于廣義Mises準則，視中間主應力與小主應力對材料強度的影響一樣，其表達式為

(6)

(7)

I1=σ1+σ2+σ3

(8)

式中：J2為應力偏量第二不變量；I1為應力張量第一不變量。

將式(5)，(7)，(8)代入式(6)，整理得基于D-P準則的側壓力系數(shù)kDP為

(9)

2.2M-N準則

M-N準則[15-19]是基于空間滑動理論提出的，適用于無黏性材料的強度準則，克服了M-C準則偏平面上的奇異性和D-P準則的拉壓強度同性，并能在一定程度上反映材料強度的中間主應力效應。

M-N準則的表達式為

(10)

I2=σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1

(11)

I3=σ1σ2σ3

(12)

式中：I2，I3分別為應力張量第二和第三不變量。

將式(5)，(11)，(12)代入式(10)，可推得基于M-N準則的側壓力系數(shù)kMN為

(13)

2.3L-D準則

L-D準則[18-19]與M-N準則的表達式類似，但L-D準則的π平面極限線稍大于M-N準則。

L-D準則的表達式為

(1-sin(φ))]}

(14)

將式(5)，(8)，(12)代入式(14)，可得基于L-D準則的側壓力系數(shù)kLD為

7sin(φ))-[(9-7sin(φ))(27(1-sin(φ))+

(15)

2.4UST理論

統(tǒng)一強度理論[20-21]可覆蓋外凸強度準則上下限之間的所有區(qū)域，充分考慮了中間主應力效應及其區(qū)間性，可適用于各種不同拉壓特性的材料。

UST理論的表達式為

(16)

(17)

式中：b為統(tǒng)一強度理論參數(shù)，反映的是中間主應力σ2對材料強度的影響程度，取值范圍為0≤b≤1。

參數(shù)b與中間主應力σ2效應具有正相關性，b越大，中間主應力對材料強度的提高越多。同時，b也是選擇強度準則的參數(shù)，b=0時統(tǒng)一強度理論退化為M-C準則，b=1時為雙剪應力準則，0

由基本假定可知，式(17)滿足平面應變狀態(tài)。將式(5)代入式(17)，可得基于UST理論的側壓力系數(shù)kUST為

(18)

2.5適用條件

將式(9)，(13)，(15)，(18)分別代入式(1)和式(2)，即可得到考慮中間主應力影響的4種真三軸強度準則所對應的深倉和淺倉側壓力計算公式，應用十分簡潔、方便。

由筒倉側壓力計算理論[7]可知，倉料只會對倉壁產(chǎn)生擠壓，即側壓力系數(shù)應為非負值，進而得到適用條件為

(19)

另外，4種真三軸強度準則的側壓力系數(shù)僅與倉料的內(nèi)摩擦角φ有關。因此，倉料內(nèi)摩擦角φ需滿足隱式不等式(19)。對于不同的真三軸強度準則，只有當式(19)成立時，側壓力的計算結果才有效。經(jīng)計算，對于D-P準則，倉料需滿足內(nèi)摩擦角φ≤42.22°，其余準則相應的倉料內(nèi)摩擦角均無限值要求，適用條件較為廣泛。

3對比和討論

為探討4種考慮中間主應力影響的真三軸強度準則在筒倉側壓力計算中的適用性，分別將其側壓力系數(shù)應用于深倉(H/D≥1.5，H，D分別為筒倉高度和內(nèi)徑)、淺倉(H/D<1.5)的側壓力計算，并將計算結果與試驗實測值以及多國規(guī)范值進行比較和驗證。

3.1深 倉

劉定華等[22]采用模型試驗對圓筒煤倉倉壁的側壓力分布進行了測量，在倉壁埋設2列共12個壓力傳感器。模型筒倉為有機玻璃，倉壁高H=600 mm，內(nèi)徑D=300 mm，高徑比H/D=2。倉料分別為末煤、小麥、干砂，末煤重度為10 kN·m-3，內(nèi)摩擦角為33°，摩擦因數(shù)為0.45；小麥重度為8 kN·m-3，內(nèi)摩擦角為28°，摩擦因數(shù)為0.4；干砂重度為16 kN·m-3，內(nèi)摩擦角為32.5°，摩擦因數(shù)為0.43。

張家康等[23]給出了1組筒倉倉料側壓力實測數(shù)據(jù)，在倉壁埋設2列共10個土壓力傳感器。模型筒體為有機玻璃，倉身高H=564 mm，內(nèi)徑D=282 mm，高徑比H/D=2。倉料為小米，重度為8.22 kN·m-3，內(nèi)摩擦角為33°，摩擦因數(shù)為0.292。

3.1.1各準則對比

將文獻[22]，[23]共計4組試驗數(shù)據(jù)與各準則計算結果進行比較，如圖2所示。共討論6種強度準則的計算結果，分別為D-P準則、M-N準則、L-D準則和統(tǒng)一強度理論UST(參數(shù)b=0，1/2，1)，僅參數(shù)b=0時統(tǒng)一強度理論即M-C準則未考慮中間主應力的影響。

由圖2可以看出：倉壁側壓力的強度準則效應顯著，即不同強度準則計算的深倉側壓力差異顯著；各準則計算的側壓力Ph呈現(xiàn)規(guī)律性變化，由大到小依次為UST理論(b=0)、UST理論(b=1/2)、M-N準則、UST理論(b=1)、L-D準則、D-P準則。文獻[22]的3組試驗中，各準則Ph計算值與試驗實測值之比的平均值由大到小依次為1.21，1.10，1.07，1.03，0.97，0.70；文獻[23]試驗中，各準則Ph計算值與試驗實測值之比的平均值由大到小依次為1.45，1.30，1.26，1.22，1.12，0.72?？梢姡蓞?shù)b=0時統(tǒng)一強度理論(未考慮中間主應力影響的M-C準則)得到的Ph最大，而D-P準則視中間主應力影響與小主應力影響相同，夸大了中間主應力對倉料強度的提高作用，計算得到的Ph最小，L-D準則計算的Ph與試驗數(shù)據(jù)吻合最好，參數(shù)b=1/2時統(tǒng)一強度理論與M-N準則的Ph值較為接近。

3.1.2準則與規(guī)范對比

中國規(guī)范[8]采用的側壓力系數(shù)為Rankine主動土壓力系數(shù)[式(3)]，美國規(guī)范[24]采用的側壓力系數(shù)為靜止土壓力系數(shù)，即1-sin(φ)，歐洲規(guī)范[25]以修正靜止土壓力系數(shù)1.1[1-sin(φ)]作為側壓力系數(shù)。

將深倉的4組試驗數(shù)據(jù)與歐洲規(guī)范、美國規(guī)范、中國規(guī)范、中間主應力效應影響最小的UST理論(b=0)以及影響最大的D-P準則的Ph計算值進行比較，如圖3所示。

由圖3可以看出，計算的倉壁側壓力大小依次為歐洲規(guī)范、美國規(guī)范、中國規(guī)范、UST理論(b=0)、D-P準則；文獻[22]的3組試驗中，各規(guī)范和準則計算的Ph值與試驗實測值之比的平均值從大到小依次為1.70，1.61，1.21，1.21，0.70。可見，各規(guī)范因未考慮中間主應力的影響均較為保守；參數(shù)b=0時統(tǒng)一強度理論(M-C準則)與中國規(guī)范計算的側壓力結果較一致；實測數(shù)據(jù)基本都分布于UST理論(b=0)曲線與D-P準則曲線所形成的區(qū)域之間，說明深倉側壓力計算中應合理考慮中間主應力的影響。

3.2淺 倉

原方[26]對徐州國家糧食儲備庫儲糧淺倉中的4號、7號、8號倉進行了實倉試驗，筒倉內(nèi)徑D=30 m，高度H=15 m，存儲高度分別為6.35，8，11.4 m；倉料為小麥，重度為7.88 kN·m-3，內(nèi)摩擦角為25°，外摩擦角為21.8°；4號倉布置2排土壓力傳感器，7號和8號倉均布置1排。

陳長冰[27]選取河南省國家糧食儲備庫的4號倉作為試驗倉，筒倉內(nèi)徑D=28 m，高度H=26 m，存儲高度分別為6.3，13.5，22.3 m；倉料為小麥，重度為7.88 kN·m-3，內(nèi)摩擦角為25°，外摩擦角為21.8°；沿倉壁共布設27個土壓力傳感器。

因不同存儲高度下的筒壁側壓力分布規(guī)律類似，本節(jié)僅選取文獻[26]中4號和7號倉的第1次和第2次試驗，以及8號倉的第1次試驗和文獻[27]中4號倉第1次試驗的實測數(shù)據(jù)進行驗證。

3.2.1各準則對比

將淺倉6組試驗數(shù)據(jù)與6種強度準則計算結果進行比較，如圖4所示。由圖4可知，無論是錐堆還是平堆，不同強度準則計算的淺倉側壓力之間的差異非常顯著，側壓力由大到小依次為UST理論(b=0)、UST理論(b=1/2)、M-N準則、UST理論(b=1)、L-D準則、D-P準則，與深倉側壓力變化一致。6組試驗中，各準則Ph計算值與試驗實測值之比的平均值依次為1.21，1.09，1.07，1.01，1.00，0.82。參數(shù)b=0時統(tǒng)一強度理論(M-C準則)對應的Ph最大，D-P準則對應的Ph最小，始終小于試驗數(shù)據(jù)；參數(shù)b=1/2時統(tǒng)一強度理論與M-N準則的Ph計算值較為接近，參數(shù)b=1時統(tǒng)一強度理論與L-D準則的Ph計算值較為接近；試驗數(shù)據(jù)與L-D準則對應的Ph計算值吻合最好，二者之比平均為1.00。

3.2.2準則與理論對比

將6組淺倉試驗數(shù)據(jù)與Rankine理論、修正Coulomb理論、中間主應力效應影響最小的UST理論(b=0)以及影響最大的D-P準則計算的Ph值進行比較，如圖5所示。

由圖5可知：計算的倉壁側壓力大小依次為修正Coulomb理論、Rankine理論、UST理論(b=0)、D-P準則；6組試驗中，各理論和準則計算的Ph值與試驗實測值之比的平均值從大到小依次為1.56，1.21，1.21，0.82。Rankine理論和修正Coulomb理論由于未考慮中間主應力的影響，計算的側壓力均較為保守；參數(shù)b=0時統(tǒng)一強度理論(M-C準則)與Rankine理論的結果相同；實測數(shù)據(jù)均分布在UST理論(b=0)與D-P準則的曲線之間，同樣說明淺倉側壓力計算中合理考慮中間主應力影響的必要性。

4結語

(1)根據(jù)筒倉側壓力原理和基本假定，本文基于D-P準則、M-N準則、L-D準則和統(tǒng)一強度理論，推導了平面應變狀態(tài)下4種考慮中間主應力影響的側壓力系數(shù)，除應用D-P準則時倉料內(nèi)摩擦角應不大于42.22°以外，其他3種準則均無限制要求，適用條件較為廣泛，且側壓力計算公式應用簡潔、方便，并與深倉、淺倉側壓力的文獻實測數(shù)據(jù)和多國規(guī)范值進行了比較及驗證。

(2)對于深倉側壓力，歐洲規(guī)范計算結果最為保守，美國規(guī)范次之，中國規(guī)范與參數(shù)b=0時統(tǒng)一強度理論的結果相同；參數(shù)b=1/2時統(tǒng)一強度理論與M-N準則的結果較為接近。對于淺倉側壓力，修正Coulomb理論最為保守，Rankine理論與參數(shù)b=0時統(tǒng)一強度理論的結果相同；參數(shù)b=1/2時統(tǒng)一強度理論與M-N準則的結果較為接近；參數(shù)b=1時統(tǒng)一強度理論與L-D準則的結果較為接近。

(3)深倉和淺倉側壓力計算的強度準則效應均很顯著，本質反映的是不同準則對中間主應力影響的不同考慮；參數(shù)b=0時統(tǒng)一強度理論(M-C準則)由于不能考慮中間主應力的影響，所對應的結果偏于保守，而D-P準則視中間主應力影響與小主應力影響相同，得到的結果偏于危險；L-D準則合理考慮了倉料強度的中間主應力效應，整體上與實測數(shù)據(jù)吻合最好，應優(yōu)先考慮選用。

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