平面向量題型歸類解析

■肖 斌

平面向量由于具有“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以它是溝通代數(shù)與幾何的一種工具，有著極其豐富的實際背景，成為高考命題的良好載體。縱觀近幾年的高考題，我們發(fā)現(xiàn)?？碱}型主要有填空題和選擇題，下面歸類解析，以供大家參考。

一、平面向量的線性運算

例1設D為△ABC所在平面內(nèi)一點，，則( )。

評析：本題考查了平面向量的加、減法運算。在△ABC中，這是平面向量的減法法則，熟練掌握這一結論有助于快速解題。

二、平面向量的平行

例 2已知向量a=(-2，8)，b=(-4，λ)，若a∥b，則實數(shù)λ的值為____。

解：因為a∥b，所以-2λ=8×(-4)，解得λ=16。

評析：本題考查了向量的平行、向量的坐標運算，解答本題要熟記兩個向量平行的坐標表示。

三、平面向量的垂直

例 3設向量a=(-1，2)，b=(m，1)，若向量a+b與a垂直，則m=____。

解：因為a=(-1，2)，b=(m，1)，所以a+b=(-1，2)+(m，1)=(m-1，3)。又因為向量a+b與a垂直，所以(a+b)·a=(m-1)×(-1)+3×2=-m+7=0，解得m=7。

評析：本題考查了平面向量垂直的坐標運算。平面向量的垂直是高考考查的重點，向量垂直問題主要是利用垂直關系求問題中的參數(shù)。

四、平面向量的基本定理

評析：本題考查了平面向量的加、減法運算及平面向量的基本定理。

五、平面向量的坐標運算

例5已知點A(0，1)，B(3，2)，=(-4，-3)，則=( )。

A.(-7，-4) B.(7，4)

C.(-1，4) D.(1，4)

解：由已知可得(3，1)，則=(-4，-3)-(3，1)=(-7，-4)。應選A。

評析：解答本題的關鍵是熟記向量的坐標運算：若點A(x1，y1)，點B(x2，y2)，則AB→=(x2-x1，y2-y1)；若向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a±b=(x1±x2，y1±y2)。

六、平面向量的數(shù)量積

例6已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，點D，E分別是邊AB，BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE=2EF，則的值為( )。

解：由DE=2EF，可知點E為DF的一個三等分點。

評析：本題考查了平面向量的線性運算及平面向量的數(shù)量積運算。

七、平面向量的夾角

A.30° B.45°

C.60° D.120°

評析：本題考查了平面向量的夾角計算。解答的關鍵是熟記向量的夾角公式。

八、平面向量的模

例 8已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=。

解：|a+2b|

評析：本題考查了平面向量的夾角、平面向量的模等知識。本題也可以利用數(shù)形結合的方法求解，同學們不妨試一試。

九、平面向量的綜合應用

(1)求點P的軌跡方程。

(2)設點Q在直線x=-3上，且=1。證明:過點P且垂直于O Q的直線l過曲線C的左焦點F。

因為點M(x0，y0)在曲線C上，所以=1，即點P的軌跡方程是x2+y2=2。

(2)因為曲線C為橢圓，由此可知橢圓的左焦點為F(-1，0)。

設點Q(-3，t)，點P(m，n)，則(-3，t)=(-1-m，-n)=3+3m-t n。

由(1)知m2+n2=2，故3+3m-t n=0。

所以

又因為過點P存在唯一直線垂直于O Q，所以過點P且垂直于O Q的直線l過點C的左焦點F。

評析：本題考查了直線與曲線的位置關系、直線恒過定點等問題。