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    平面向量求解中的誤區(qū)警示

    2018-06-04 05:32:20李佳寧
    關(guān)鍵詞:外心共線夾角

    ■李佳寧

    平面向量融數(shù)、形于一體,具有幾何與代數(shù)的“雙重身份”,它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實(shí)際背景。下面匯集了求解向量問題中的種種錯(cuò)誤,并剖析其原因,希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

    誤區(qū)1:忽視向量概念中的特殊情況

    例 1下列四個(gè)命題,其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )。

    A.1 B.2

    C.3 D.4

    錯(cuò)解:四個(gè)命題都正確,應(yīng)選D。

    剖析:根據(jù)向量數(shù)量積的概念,可知0·a應(yīng)是一個(gè)實(shí)數(shù)0,0·a應(yīng)是一個(gè)向量0,①正確,②錯(cuò)誤。由向量的減法運(yùn)算法則和向量共線的意義,可知③正確。由 a·b =a ·b cosθ ,可知當(dāng)θ=0或θ=π時(shí),a·b =a ·b成立,④錯(cuò)誤。應(yīng)選B。

    警示:求解有關(guān)向量問題,一定要注意向量的本質(zhì)屬性,分清特殊情況和一般成立的關(guān)系,注意零向量和實(shí)數(shù)0的區(qū)別。

    變式訓(xùn)練1:下列命題正確的是( )。

    A.a∥b,b∥c?a∥c

    B.若a與b互為相反向量,則a+b=0

    C.平面向量a,b平行的充要條件是存在不全為0的實(shí)數(shù)λ1,λ2,使得λ1a+λ2b=0

    D.若a與b互為相反向量,則a≠b

    提示:當(dāng)b=0時(shí),A錯(cuò)誤?;橄喾聪蛄康暮蜑榱阆蛄慷皇菍?shí)數(shù)0,B錯(cuò)誤。當(dāng)a=0時(shí),其相反向量也是0,此時(shí)a=b,D錯(cuò)誤。應(yīng)選C。

    誤區(qū)2:忽視兩個(gè)向量的夾角

    例 2在△ABC中,a=5,b=8,C=60°,則的值為( )。

    警示:利用向量可以平移的特點(diǎn),將兩個(gè)向量平移為共起點(diǎn)的兩個(gè)向量,再求兩個(gè)向量的夾角。兩個(gè)向量a與b的夾角公式為量a與b的夾角。

    變式訓(xùn)練2:若非零向量a,b滿足|a|=,且 (a - b)⊥ (3a +2b),則向量a與b夾角的正弦值為( )。

    誤區(qū)3:忽視一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影

    例 3已知向量a,b的夾角為45°,且b在a方向上的投影等于( )。

    剖析:上述解法忽視了向量b在a方向上的投影的意義,錯(cuò)解求的是向量a在b方向上的投影。

    故向量b在a方向上的投影等于

    警示:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),〈a,b〉=θ,則向量a在b方向上的投影為問題的兩個(gè)注意點(diǎn):①向量a在b方向上的投影是有序的;②向量a在b方向上的投影是一個(gè)數(shù)量,可正,可負(fù),可為零。

    變式訓(xùn)練3:已知點(diǎn)A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),則向量AB→在CD→方向上的投影為( )。

    誤區(qū)4:忽視向量數(shù)量積與實(shí)數(shù)乘法的區(qū)別

    例 4已知a,b都是非零向量,且向量a+3b與7a-5b垂直,向量a-4b與7a-2b垂直,求向量a與b的夾角。

    錯(cuò)解:由題意可得方程組:

    由2a-b=0,可知a與b同向,故向量a與b的夾角為0°。

    剖析:對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,若a b=0,則a=0或b=0,但對(duì)于向量a,b,若滿足a·b=0,則不一定有a=0或b=0,因?yàn)閍·b=|a|·|b|cosθ與θ有關(guān),當(dāng)θ=90°時(shí),a·b=0恒成立,此時(shí)a,b均可以不為0。

    把b2=2a·b代入7a2+16a·b-15b2=0,得a2=2a·b。

    故a2=b2=2a·b,則cos〈a,b〉=可得〈a,b〉=60°,即向量a與b的夾角為60°。

    警示:向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足結(jié)合律,也不滿足消去律,解題時(shí)要引起大家的注意。

    變式訓(xùn)練4:以下四個(gè)命題,其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )。

    ① (a · b)·c=a·(b · c);②|a+b|≤a +b;③ (a - b)·c=a·c-b·c;④如果a·b=a·c,且a≠0,那么向量b,c在a方向上的投影相等。

    A.1 B.2

    C.3 D.4

    提示:向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足結(jié)合律,①錯(cuò)誤。由向量幾何運(yùn)算的意義及平行四邊形法則,可知②正確。由向量的運(yùn)算法則,可知③正確。a·b=a·c,說明b,c在a方向上的投影相等,④正確。應(yīng)選B。

    誤區(qū)5:誤認(rèn)為向量a與b的夾角為鈍角(銳角)?a·b<0(>0)

    例 5已知a=(2,1),b=(λ,1),λ∈R,a與b的夾角為θ。若θ為銳角,則λ的取值范圍是( )。

    剖析:上述解法忽視了向量的夾角與向量的數(shù)量積的關(guān)系。當(dāng)θ為銳角時(shí),應(yīng)滿足0<cosθ<1,而錯(cuò)解中沒有排除cosθ=1,即兩向量共線且同向的情況。

    警示:一般地,向量a,b為非零向量,a與b的夾角為θ,則〈a,b〉為銳角?a·b>0為鈍角?a·b<0且a與b不共線?

    變式訓(xùn)練5:已知a=(1,2),b=(1,1),且a與a+λ b的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為( )。

    提示:由題意得a·(a+λ b)>0,且a與a+λ b的夾角不等于0°。

    誤區(qū)6:忽視共線向量或三點(diǎn)共線的條件

    例 6已知同一平面上的向量a,b,c兩兩所成的角相等,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c的長度。

    錯(cuò)解:易知a,b,c均為非零向量。

    設(shè)a,b,c所成的角均為θ,則3θ=360°,即θ=120°。

    所以a·b=|a|·|b|cos 120°=-1。

    同理可得,b·c=-3,c·a=-。

    由|a+b+c|2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3,可得|a+b+c|=。

    剖析:上述解法是把a(bǔ),b,c看成非共線向量求解的,而當(dāng)a,b,c共線且同向時(shí),它們所成的角都相等且等于0°,也符合題意。

    當(dāng)向量a,b,c共線且同向時(shí),它們所成的角均為0°,這時(shí)|a+b+c|=|a|+|b|+|c|=6;

    當(dāng)向量a,b,c不共線時(shí),由錯(cuò)解可知|a+b+c|=。

    綜上所述,向量a+b+c的長度為6或

    警示:求解共線向量問題時(shí),一定要注意向量 的 方 向。 若(λ,μ 為常數(shù)),則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是λ+μ=1。

    變式訓(xùn)練6:如圖1,在△ABC中,AD=DB,AE=EC,CD與BE交于點(diǎn)F,已知=x a+y b,則(x,y)為( )。

    圖1

    誤區(qū)7:忽視向量的幾何意義與三角形“內(nèi)心”之間的關(guān)系

    例 7設(shè)O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的( )。

    A.外心 B.內(nèi)心

    C.重心 D.垂心

    錯(cuò)解:應(yīng)選A或C或D。

    剖析:上述解法忽視了共起點(diǎn)的兩個(gè)單位向量的和向量為其角平分線,而△ABC的角平分線的交點(diǎn)為內(nèi)心,題設(shè)中的動(dòng)點(diǎn)P 滿點(diǎn)P的軌跡一定經(jīng)過△ABC的內(nèi)心。應(yīng)選B。

    警示:由兩個(gè)單位向量的和向量以及向量共線的條件可得:若P經(jīng)過△ABC的內(nèi)心。

    變式訓(xùn)練7:已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長分別為a,b,c,M 為該三角形所在平面內(nèi)的一點(diǎn),若a=0,則點(diǎn)M是△ABC的( )。

    A.內(nèi)心 B.重心

    C.垂心 D.外心

    提示:如圖2,延長CM 交AB于點(diǎn)D。

    圖2

    由三角形的內(nèi)角平分線定理的逆定理可得CD為∠ACB的平分線。

    同理可證,AM、BM 的延長線也是角平分線。

    故M是△ABC的內(nèi)心。應(yīng)選A。

    誤區(qū)8:忽略向量的幾何意義與三角形“垂心”之間的關(guān)系

    例8已知O是平面上的一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足λ∈(0,+∞),則動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡一定經(jīng)過△ABC的( )。

    A.重心 B.垂心

    C.外心 D.內(nèi)心

    A.垂心 B.重心

    C.內(nèi)心 D.外心

    故點(diǎn)O是△ABC的垂心。應(yīng)選A。

    誤區(qū)9:忽略向量的幾何意義與三角形“外心”之間的關(guān)系

    例 9已知O是平面上的一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足λ∈(0,+∞),則動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡一定經(jīng)過△ABC的( )。

    A.外心 B.內(nèi)心

    C.重心 D.垂心

    錯(cuò)解:應(yīng)選B或C或D。

    A.外心 B.內(nèi)心

    C.重心 D.垂心

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