高中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用三角函數(shù)解決問題的方法探究

陳銀州

【摘 要】三角函數(shù)是高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心內(nèi)容，其應(yīng)用范圍之廣，是所有理科專業(yè)的學(xué)生在學(xué)習(xí)中都能運(yùn)用到的一種計(jì)算方法。因此，學(xué)好高中階段的三角函數(shù)是所有理科生必須完成的任務(wù)。然而三角函數(shù)雖然看似簡(jiǎn)單，但是其中蘊(yùn)含的一部分知識(shí)對(duì)于高中階段的學(xué)生們來說在理解上也會(huì)出現(xiàn)一些難度。對(duì)此，筆者就多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)談一談教師在教學(xué)中如何才能有效的提高學(xué)生關(guān)于三角函數(shù)學(xué)習(xí)的信心，并列舉出一些幫助教師進(jìn)行三角函數(shù)教學(xué)的方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；方法

一、運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決具體的問題

高中數(shù)學(xué)中關(guān)于三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)相對(duì)初中來說多了很多，除了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本算法以外，還需要學(xué)生們熟練運(yùn)用一些公式來解決一些具體的問題，還涉及圖像、圖像的移動(dòng)、向量等問題的一些綜合性的運(yùn)用。所以，教師在帶領(lǐng)學(xué)生們進(jìn)行三角函數(shù)學(xué)習(xí)時(shí)要引導(dǎo)同學(xué)們熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)，只有掌握了基礎(chǔ)知識(shí)，才能更好的靈活運(yùn)用一些公式，避免出錯(cuò)，才能更好的做題。

例如考察三角函數(shù)定義的運(yùn)用這類問題時(shí)，學(xué)生要掌握好正弦、余弦、正切這三類函數(shù)的關(guān)系，以及各個(gè)公式之間的誘導(dǎo)公式，只要掌握相應(yīng)的三角函數(shù)的變換規(guī)律，才能解決相應(yīng)的問題，得到正確的答案。

二、選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q具體問題

1.數(shù)形結(jié)合的方法

高中三角函數(shù)說到底就是一類函數(shù)的一個(gè)形式。解決不同的函數(shù)問題往往需要使用不同方法。對(duì)于三角函數(shù)來說，數(shù)形結(jié)合正是解決此類問題的一個(gè)常用的方法。因?yàn)楹芏囝}目都是需要通過畫出圖像、進(jìn)行平移或者旋轉(zhuǎn)、拉長(zhǎng)或者縮短等一般圖像變換的方式解決的。因此，高中三角函數(shù)問題的解答如果使用數(shù)形結(jié)合的方法會(huì)對(duì)學(xué)生有很大的幫助。例如高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)中有一道題是方程cos3x=cosx在區(qū)間（0，2π）的解有多少個(gè)。這道題就可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行解決。

2.代入法解決問題

不僅是數(shù)形結(jié)合的方法，代入法對(duì)于三角函數(shù)的解題也起到非常大的作用。其作為數(shù)學(xué)中的常用方法，常被普遍運(yùn)用到學(xué)生們各個(gè)學(xué)習(xí)階段。

例如：已知一個(gè)函數(shù)y=sinx+cosx，x∈R。求當(dāng)x為何取值時(shí)，y才能達(dá)到最大值。此類問題常常需要用到代入的方法，現(xiàn)將已知函數(shù)利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成一個(gè)普通的方程，在考慮當(dāng)x為多大值時(shí)y能達(dá)到最大值，也就是說將y的最大值代入解出x的值。以上就是解決此類問題時(shí)常用的方式。

3.學(xué)會(huì)利用綜合分析法解決問題

在解題過程中，學(xué)生可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法和代入法將通過已知題目所能想到的思路進(jìn)行整理，從而解決問題，以便于能夠有效的解決三角函數(shù)問題，避免不必要的分?jǐn)?shù)的丟失。下面以該題為例進(jìn)行此方法的具體講解：

已知集合A={？茁|cos？茁

在解決此類問題時(shí)，我們首先要仔細(xì)閱讀題目，注意題目中的三角函數(shù)符號(hào)位置以及相關(guān)的變化問題。這需要我們對(duì)于三角函數(shù)問題以及相關(guān)知識(shí)有正確的了解，以及熟練的掌握。在解決問題時(shí)，不僅要考慮怎樣正確解答問題，還要考慮應(yīng)該用何種方法才能達(dá)到解決相關(guān)問題的目的。

解法一：利用數(shù)形結(jié)合的方法，先畫出A集合的圖像，在畫出B集合的圖像，找出A集合和B集合的∩即可。

解法二：利用代入法將選項(xiàng)中的答案帶到集合當(dāng)中，并結(jié)合排除法，最終選得正確的選項(xiàng)。

結(jié)合以上的解題方法可以看出，運(yùn)用綜合法解決問題的前提是要充分的對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行知識(shí)的積累和歸納，這樣才能從多個(gè)角度出發(fā)思考問題，最后才能更簡(jiǎn)便的解決問題。教師在教學(xué)中應(yīng)該重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，這樣才能更好的培養(yǎng)學(xué)生的解題思路和解題能力，從而達(dá)到更高的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。

三、善于運(yùn)用技巧解決問題

三角函數(shù)雖然看似復(fù)雜，但是其解題方式卻是有規(guī)律的。下面將介紹幾種具體的解決三角函數(shù)問題的技巧：

化切函數(shù)為弦函數(shù)。此方法就是要做題者將題目中所出現(xiàn)的所有正切函數(shù)、余切函數(shù)、正割函數(shù)、余割函數(shù)全部轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)。例如化簡(jiǎn)sin45°（1+3tan10°）這類問題時(shí)，題目中出現(xiàn)了正弦函數(shù)和正切函數(shù)這兩種三角函數(shù)，將正切函數(shù)轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，并運(yùn)用正確的誘導(dǎo)公式就可以得到正確的答案。

化弦函數(shù)為切函數(shù)。此方法就是通過三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式，將函數(shù)公式中所給出的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)變成對(duì)問題簡(jiǎn)單的形式，從而達(dá)到更好的解決三角函數(shù)問題的目的。

利用角的變換解決問題。此方法就是將題目中所給出的復(fù)雜的角轉(zhuǎn)變成有利于我們解決問題的角。例如再求sin70°cos20°+sin10°cos50°的值時(shí)我們可以根據(jù)三角函數(shù)的一些特殊值來進(jìn)行計(jì)算，將不好計(jì)算的角度轉(zhuǎn)變成方便我們計(jì)算的角度，相互轉(zhuǎn)變后問題也就變得簡(jiǎn)單了，我們也就更能達(dá)到想要的目的了。

四、鍛煉學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

三角函數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用性十分的強(qiáng)，很多現(xiàn)象都可以利用三角函數(shù)進(jìn)行表達(dá)。例如物理中的電流，生活中的天氣預(yù)報(bào)，建筑設(shè)計(jì)等都可以利用三角函數(shù)來進(jìn)行相關(guān)問題的解決。因此，鍛煉學(xué)生們對(duì)于三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是至關(guān)重要的。教師可以在課堂上提出一個(gè)問題，安排學(xué)生們課下組隊(duì)進(jìn)行解決。

高中三角函數(shù)的公式反復(fù)眾多，十分雜亂，這一特點(diǎn)對(duì)于初學(xué)的同學(xué)，往往是丈二和尚摸不著頭腦。但是三角函數(shù)的公式又是學(xué)習(xí)三角函數(shù)的重中之重，三角函數(shù)相當(dāng)于一把鎖，而公式就是打開這把鎖的鑰匙。初學(xué)者對(duì)于公式的態(tài)度往往分為兩種：一種是漠不關(guān)心，覺得公式用一回就回了就記住了。這種人在考場(chǎng)上往往是將公式混為一談，肯本分不清。第二種人就是死記硬背，這種人和第一種人一樣，在考場(chǎng)上一籌莫展，找不到解題的方向。因此，對(duì)于公式的學(xué)習(xí)，需要理解記憶，對(duì)一些比較難的題型進(jìn)行歸類和分析，找出其中的解題精髓。對(duì)此，教師在教學(xué)時(shí)，需要引領(lǐng)學(xué)生講各種公式進(jìn)行分類，并且將每一個(gè)公式配備相應(yīng)的題型，加強(qiáng)公式的練習(xí)。同樣的道理對(duì)于三角函數(shù)其他知識(shí)的學(xué)習(xí)也需要隨時(shí)進(jìn)行歸納分析，隨時(shí)注意課本知識(shí)與習(xí)題的聯(lián)系。注意題目難度的分布，對(duì)于中等難的題型進(jìn)行重點(diǎn)練習(xí)。對(duì)于困難的題型，要取其精華，棄其糟粕。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉志勇《讓新課標(biāo)下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)發(fā)揮作用》中國(guó)教育技術(shù)裝備 2010年13期.

[2]高中數(shù)學(xué)《三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)》的教學(xué)案例分析2011年23期.