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    同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖像位置關(guān)系探究

    2018-05-26 03:13:23湖北省武漢市武漢中學(xué)劉志江
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2018年9期
    關(guān)鍵詞:增函數(shù)列表交點(diǎn)

    ☉湖北省武漢市武漢中學(xué) 劉志江

    三個(gè)函數(shù)y=ax、y=x和y=logax有哪些位置關(guān)系?當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)y=ax的圖像恒在直線y=x的上方嗎?答案是否定的.事實(shí)上,對(duì)于y=2x,y=3x的圖像來說,它們?cè)谥本€y=x的上方,但是,像y=1.2x,當(dāng)x=2時(shí),y=1.22=1.44<2,即可知f(x)=1.2x不是恒在直線y=x的上方.下面我們利用對(duì)函數(shù)y=ax、y=logax與y=x的圖像之間的位置關(guān)系進(jìn)行探討.

    一、函數(shù)y=ax與y=x的圖像的位置關(guān)系

    令f(x)=ax-x,則f′(x)=axln a-1.

    當(dāng)0<a<1時(shí),f′(x)=axln a-1<0,函數(shù)f(x)=ax-x在(-∞,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),因?yàn)閒(0)=a0-0=1>0,f(1)=a-1<0,所以f(0)f(1)<0,故在區(qū)間(0,1)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=ax與函數(shù)y=x在區(qū)間(0,1)有且僅有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)a>1時(shí),若f′(x)=axln a-1=0,則x=-loga(ln a)存在,此時(shí)f(-loga(ln a))=a-loga(lna)+loga(ln a)=logae+loga(ln a)=loga(eln a).

    當(dāng)a>1時(shí),列表如下:

    x(-∞,-log a(ln a))-log a(ln a)(-log a(ln a),+∞)f′(x)=ax ln a-1-0+f(x)=ax-x減函數(shù)最小值log a(eln a)增函數(shù)

    若最小值log(aeln a)>0,即eln a>1,得這就是說時(shí),函數(shù)(fx)=ax-x沒有零點(diǎn),即y=ax與y=x相離;

    若最大值log(aeln a)=0,即eln a=1,得,這就是說當(dāng)時(shí),函數(shù)(fx)=ax-x只有一個(gè)零點(diǎn),即y=ax與y=x相切,此時(shí)x=-log(aln a)=e,即切點(diǎn)為點(diǎn)(e,e);

    若最大值log(aeln a)<0,即eln a<1,得這就是說當(dāng)時(shí),函數(shù)(fx)=ax-x有兩個(gè)零點(diǎn),即y=ax與y=x相交.

    二、函數(shù)y=log ax與y=x圖像的位置關(guān)系

    令g(x)=logax-x,其中x∈(0,+∞).

    因?yàn)間(′x),所以討論如下:

    1.當(dāng)0<a<1時(shí),<0,函數(shù)g(x)=logx-x在a(0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),由于g1-a>0,所以g,故在區(qū)間)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=logax與y=x在區(qū)間有且僅有一個(gè)交點(diǎn).

    2.當(dāng)a>1時(shí),則x=log e>0存在,a

    當(dāng)a>1時(shí),列表如下:

    x (0,log a e) log a e (log a e,+∞)g′(x)=log a e x-1 + 0 -g(x)=log ax-x 增函數(shù)最大值log a( )1 e log a e 減函數(shù)

    (1)若最大值這就是說當(dāng)時(shí),函數(shù)g(x)=logax-x沒有零點(diǎn),即函數(shù)y=logax與y=x的圖像相離;

    (2)若最大值這就是說當(dāng)時(shí),函數(shù)g(x)=logax-x有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=logax與y=x的圖像相切,此時(shí)x=logae=e,切點(diǎn)為點(diǎn)(e,e);

    (3)若最大值,這就是說當(dāng)時(shí),函數(shù)g(x)=logax-x有兩個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=logax與y=x的圖像相交.

    三、函數(shù)y=ax與y=log ax的圖像之間的位置關(guān)系

    由于函數(shù)y=ax與y=logax互為反函數(shù),所以由以上的討論可知:

    2.當(dāng)時(shí),函數(shù)y=ax與y=logax的圖像都和直線y=x相切于點(diǎn)(e,e).

    3.當(dāng),由以上討論可知,函數(shù)y=ax與y=logax的圖像有兩個(gè)交點(diǎn),并且這兩個(gè)交點(diǎn)都在直線y=x上.

    4.當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)y=ax與y=logax的圖像之間有怎樣的位置關(guān)系?它們有且僅有一個(gè)交點(diǎn)嗎?為此,我們構(gòu)造函數(shù)如下:

    令h(x)=ax-logax,其中x∈(0,+∞).

    即xax-(logae)2=0.

    為了判斷上式根的個(gè)數(shù),即判斷出方程logax+x=loga(logae)2根的個(gè)數(shù),為此再次構(gòu)造函數(shù)k(x)=logax+x-

    當(dāng)0<a<1時(shí),列表如下:

    x (0,-log a e) -log a e (-log a e,+∞)k′(x)=log a e x +1 - 0 +k(x)=log ax+x-log a(log a e)2減函數(shù)最小值-log a(-elog a e)增函數(shù)

    所以h(x)=ax-logax在x∈(0,+∞)上是增函數(shù).

    因?yàn)閔(a)=aa-logaa=aa-1=aa-a0<0,h(1)=a-loga1=a>0,所以h(a)h(1)<0.

    因此,時(shí),函數(shù)h(x)=ax-logx在x∈(0,+∞)a上有且僅有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax在區(qū)間(a,1)內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).

    5.下面討論當(dāng)0<時(shí)y=ax與函數(shù)y=logx交點(diǎn)情況:a

    函數(shù)k(x)=logax+x-log(alogae)2與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(x1,0)與B(x2,0),0<x1<-logae<x2,所以h(x)=ax-logax在x∈(0,x1)和x∈(x2,+∞)上是增函數(shù),在(x1,x2)上是減函數(shù),所以在x=x1處,函數(shù)h(x)=ax-logax有極大值,在x=x2處,函數(shù)h(x)=ax-logax有極小值.

    由于x→0,h(x)=ax-logax<0,x→+∞,h(x)=ax-logax→+∞;

    由于函數(shù)h(x)在(x1,x2)上是減函數(shù),

    所以h(x1)>h(-logae)>h(x2),

    即h(x1)>0>h(x2),因此函數(shù)y=h(x)在x∈(0,x1)和x∈(x2,+∞)上各有一個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間(x1,x2)也有一個(gè)零點(diǎn),從而得到:

    當(dāng)時(shí),在區(qū)間(0,x),區(qū)間(x,x)和(x,+∞)1122上各有一個(gè)交點(diǎn),這就是說函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax在區(qū)間(0,x1),區(qū)間(x1,x2)和(x2,+∞)各有一個(gè)交點(diǎn),其中在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)它們的交點(diǎn)在直線y=x上,因此0<函數(shù)y=ax與函數(shù)y=logax有三個(gè)不同的交點(diǎn).

    綜上所述,我們有如下結(jié)論:

    a的范圍 0<a<1 111 1<a<e e a=e e a>e e y=ax與y=x 一個(gè)交點(diǎn) 兩個(gè)交點(diǎn) 一個(gè)交點(diǎn) 沒有交點(diǎn)y=log ax與y=x 一個(gè)交點(diǎn) 兩個(gè)交點(diǎn) 一個(gè)交點(diǎn) 沒有交點(diǎn)

    a的范圍 0<a< 1 e 1 1 1 e 1 ee≤a<1 1<a<e e a=e e a>e e y=ax與y=log ax 三個(gè)交點(diǎn) 一個(gè)交點(diǎn) 兩個(gè)交點(diǎn) 一個(gè)交點(diǎn) 沒有交點(diǎn)

    1.錢佩玲,邵光華.數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué).北京師范大學(xué)出版社,2000(3).

    2.宗敏,對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的再探討.考試周刊,2010(3).H

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